Офіційні завдання НМТ 2022 року з математики — 20 завдань, 60 хв, максимум 30 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «На рисунку показано точками найвищу і найнижчу температури повітря з понеділка до п'ятниці…»
На рисунку показано точками найвищу і найнижчу температури повітря з понеділка до п'ятниці в деякому місті України. У який день різниця між найвищою та найнижчою температурами повітря була найбільшою?
А. Понеділок
Б. Вівторок
В. Середа
Г. Четвер
Д. П'ятниця
Відповідь
Правильна відповідь: Г — Четвер
Завдання 2
У під'їзді шістнадцятиповерхового будинку на першому поверсі розташовано 6 квартир, а на кожному з решти поверхів – по 8. На якому поверсі квартира № 31, якщо квартири від № 1 і далі пронумеровано послідовно від першого до останнього поверху?
А. 3
Б. 4
В. 5
Г. 6
Д. 7
Відповідь
Правильна відповідь: В — 5
Завдання 3
Розгортку якого з наведених многогранників зображено на рисунку?
Прямі $AB$ і $CK$ паралельні, $CB$ – бісектриса кута $ACK$. Визначте градусну міру кута $ABC$, якщо $\angle BAC = 52^\circ$.
А. $38^\circ$
Б. $52^\circ$
В. $64^\circ$
Г. $69^\circ$
Д. $128^\circ$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $64^\circ$
Завдання 6
Графік функції, визначеної на проміжку $[-5;\,4]$, проходить через одну з наведених точок (див. рисунок). Укажіть цю точку.
А. $(-5;\,-2)$
Б. $(1;\,-3)$
В. $(-1;\,4)$
Г. $(-3;\,1)$
Д. $(0;\,-2)$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $(-3;\,1)$
Завдання 7
Скоротіть дріб $\dfrac{10ab^3}{5a^2b}$.
А. $\dfrac{2b^2}{a}$
Б. $\dfrac{b^4}{2a^3}$
В. $50a^3b^4$
Г. $\dfrac{2b^4}{a^3}$
Д. $\dfrac{b^2}{a^2}$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $\dfrac{2b^2}{a}$
Завдання 8
Графік довільної функції $y = f(x)$ паралельно перенесли вздовж осі $y$ на 3 одиниці вниз. Графік якої з наведених функцій отримали?
А. $y = f(x+3)$
Б. $y = f(x) + 3$
В. $y = 3f(x)$
Г. $y = f(x) - 3$
Д. $y = f(x-3)$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $y = f(x) - 3$
Завдання 9
$\log_5 49 + 2\log_5 \dfrac{5}{7} =$
А. 25
Б. $\log_5 70$
В. $\log_5 49\dfrac{5}{7}$
Г. $\log_5 35$
Д. 2
Відповідь
Правильна відповідь: Д — 2
Завдання 10
Об'єм циліндра дорівнює $72\pi$. Визначте висоту цього циліндра, якщо радіус його основи дорівнює 3.
А. 24
Б. 12
В. 9
Г. 8
Д. 6
Відповідь
Правильна відповідь: Г — 8
Завдання 11
Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} 3\sqrt{x} = 12, \\ x - 2y = 26. \end{cases}$ Якщо $(x_0;\,y_0)$ – розв'язок системи, то $x_0 + y_0 =$
А. 11
Б. 21
В. $-7$
Г. $-10$
Д. $-14$
Відповідь
Правильна відповідь: А — 11
Завдання 12
Обчисліть значення похідної функції $f(x) = 2x^3 - 5$ у точці $x_0 = -1$.
А. $-11$
Б. $-7$
В. 1
Г. 3
Д. 6
Відповідь
Правильна відповідь: Д — 6
Завдання 13
Розв'яжіть нерівність $10^{x+1} > 0{,}01$.
А. $(-\infty;\,-3)$
Б. $(-\infty;\,-2)$
В. $(-3;\,+\infty)$
Г. $(-2;\,+\infty)$
Д. $(1;\,+\infty)$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $(-3;\,+\infty)$
Завдання 14
Обчисліть значення виразу $4\sin^2\alpha$, якщо $4\cos^2\alpha = 1$.
А. 0
Б. $\dfrac{1}{4}$
В. $\dfrac{3}{4}$
Г. 3
Д. 4
Відповідь
Правильна відповідь: Г — 3
Завдання 15
На рисунках (1–3) зображено графіки функцій, кожна з яких визначена на проміжку $[-3;\,3]$. Установіть відповідність між графіком (1–3) функції та властивістю (А – Д) цієї функції.
Графік функції
Властивість функції
А. графік функції двічі перетинає графік функції $y = 2^x$
Б. графік функції є фрагментом графіка функції $y = 1 - x$
В. графік функції є фрагментом графіка функції $y = 1 + x$
Г. функція є непарною
Д. функція зростає на проміжку $[0;\,3]$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — А, 3 — Д
Завдання 16
Установіть відповідність між числовим виразом (1–3) та його значенням (А – Д), якщо $a = \dfrac{25}{4}$.
Вираз
$\dfrac{2a}{3}$
$\dfrac{1}{a}$
$|9 - 2a|$
Значення виразу
А. $2\dfrac{1}{2}$
Б. $\dfrac{4}{25}$
В. $3\dfrac{1}{2}$
Г. $4\dfrac{1}{6}$
Д. $-3\dfrac{1}{2}$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — Б, 3 — В
Завдання 17
На рисунку зображено п'ять прямокутників (А – Д) та зазначено довжини їхніх сторін. Установіть відповідність між твердженням (1–3) та зображеним на рисунку прямокутником (А – Д), для якого це твердження є правильним.
Твердження
діагональ прямокутника дорівнює 14
кут між діагоналями прямокутника дорівнює $60^\circ$
площа прямокутника дорівнює 48
Прямокутник
А.
Б.
В.
Г.
Д.
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — Б, 3 — В
Завдання 18
У прямокутній системі координат у просторі зображено прямокутний паралелепіпед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, вершина $B$ якого збігається з початком координат, а вершини $A$, $C$ та $B_1$ належать осям $x$, $y$ і $z$ відповідно (див. рисунок). Вершина $D_1$ має координати $(4;\,8;\,12)$. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
Серединою відрізка $BC$ є точка
Точка, що належить відрізку $DD_1$ і віддалена від точки $D$ на 4 одиниці, має координати
Точка $C_1$ має координати
Закінчення речення
А. $(0;\,8;\,12)$.
Б. $(4;\,0;\,0)$.
В. $(4;\,8;\,0)$.
Г. $(0;\,4;\,0)$.
Д. $(4;\,8;\,4)$.
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — Д, 3 — А
Завдання 19
У геометричній прогресії $(b_n)$ $b_3 = 0{,}2$, $b_4 = \dfrac{3}{4}$. Визначте знаменник цієї прогресії.
Відповідь
Правильна відповідь: 3.75
Завдання 20
У прямокутній трапеції $ABCD$ проведено середню лінію $MN$ (див. рисунок). $BC = 9$ см, $MN = 13$ см, $\angle ADC = 45^\circ$. Визначте довжину (см) сторони $AB$.
