ЗНО 2015 з математики

Офіційні завдання ЗНО 2015 року з математики — 38 завдань, 180 хв, максимум 56 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «2(5x + 6) =…»

⏱ Пройти як на ЗНО Тренування з перевіркою

Завдання 1

$2(5x + 6) =$
  1. А. $10x + 12$
  2. Б. $10x + 6$
  3. В. $7x + 8$
  4. Г. $7x + 12$
  5. Д. $5x + 8$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $10x + 12$

Завдання 2

Рисунок до завдання 2
На рисунку зображено рівнобедрений трикутник $ABC$ ($AB = BC$). Визначте градусну міру кута $BAC$, якщо $\angle B = 40^\circ$.
  1. А. $80^\circ$
  2. Б. $70^\circ$
  3. В. $60^\circ$
  4. Г. $50^\circ$
  5. Д. $40^\circ$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $70^\circ$

Завдання 3

Розв'яжіть нерівність $0{,}2x - 54 < 0$.
  1. А. $(-\infty;\,27)$
  2. Б. $(270;\,+\infty)$
  3. В. $(-\infty;\,2{,}7)$
  4. Г. $(-\infty;\,270)$
  5. Д. $(10{,}8;\,+\infty)$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $(-\infty;\,270)$

Завдання 4

Рисунок до завдання 4
Графік функції, визначеної на проміжку $[-5;\,4]$, проходить через одну з наведених точок (див. рисунок). Укажіть цю точку.
  1. А. $(-5;\,-2)$
  2. Б. $(1;\,-3)$
  3. В. $(-1;\,4)$
  4. Г. $(-3;\,1)$
  5. Д. $(0;\,-2)$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $(-3;\,1)$

Завдання 5

Сергій і Петро збирали яблука. Сергій зібрав яблук у 5 разів більше, ніж Петро. Яку частину всіх яблук зібрав Петро?
  1. А. $\dfrac{1}{5}$
  2. Б. $\dfrac{1}{6}$
  3. В. $\dfrac{1}{2}$
  4. Г. $\dfrac{5}{6}$
  5. Д. $\dfrac{4}{5}$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $\dfrac{1}{6}$

Завдання 6

Рисунок до завдання 6
На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Яка з наведених прямих паралельна площині $(AA_1B_1)$?
  1. А. $BC$
  2. Б. $BD$
  3. В. $C_1D$
  4. Г. $CB_1$
  5. Д. $A_1B$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $C_1D$

Завдання 7

Розв'яжіть рівняння $4^x = 8$.
  1. А. $\dfrac{1}{2}$
  2. Б. $\dfrac{2}{3}$
  3. В. $\dfrac{3}{2}$
  4. Г. 2
  5. Д. 32
Відповідь
Правильна відповідь: В — $\dfrac{3}{2}$

Завдання 8

Рисунок до завдання 8
На рисунку зображено прямокутний трикутник з катетами $a$ і $b$, гіпотенузою $c$ та гострим кутом $\alpha$. Укажіть правильну рівність.
  1. А. $\cos\alpha = \dfrac{a}{b}$
  2. Б. $\cos\alpha = \dfrac{c}{b}$
  3. В. $\cos\alpha = \dfrac{a}{c}$
  4. Г. $\cos\alpha = \dfrac{c}{a}$
  5. Д. $\cos\alpha = \dfrac{b}{c}$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $\cos\alpha = \dfrac{b}{c}$

Завдання 9

Випущено партію з 300 лотерейних білетів. Імовірність того, що навмання вибраний білет із цієї партії буде виграшним, дорівнює 0,2. Визначте кількість білетів без виграшу серед цих 300 білетів.
  1. А. 6
  2. Б. 60
  3. В. 294
  4. Г. 150
  5. Д. 240
Відповідь
Правильна відповідь: Д — 240

Завдання 10

Спростіть вираз $\dfrac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}$.
  1. А. $\cos^2\alpha$
  2. Б. $\sin^2\alpha$
  3. В. $\operatorname{tg}^2\alpha$
  4. Г. $\operatorname{ctg}^2\alpha$
  5. Д. 1
Відповідь
Правильна відповідь: А — $\cos^2\alpha$

Завдання 11

На якому рисунку зображено ескіз графіка функції $y = \sqrt{x - 2}$?
  1. А.
  2. Б.
  3. В.
  4. Г.
  5. Д.
Відповідь
Правильна відповідь: Г —

Завдання 12

На діагоналі $AC$ квадрата $ABCD$ задано точку, відстань від якої до сторін $AB$ і $BC$ дорівнює 2 см і 6 см відповідно. Визначте периметр квадрата $ABCD$.
  1. А. 16 см
  2. Б. 24 см
  3. В. 32 см
  4. Г. 48 см
  5. Д. 64 см
Відповідь
Правильна відповідь: В — 32 см

Завдання 13

Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} 3\sqrt{x} = 12, \\ x - 2y = 26. \end{cases}$ Для одержаного розв'язку $(x_0;\,y_0)$ системи обчисліть суму $x_0 + y_0$.
  1. А. 11
  2. Б. 21
  3. В. $-7$
  4. Г. $-10$
  5. Д. $-14$
Відповідь
Правильна відповідь: А — 11

Завдання 14

Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см, а сторона її основи – 12 см. Знайдіть довжину бічного ребра піраміди.
  1. А. 6 см
  2. Б. $3\sqrt{5}$ см
  3. В. $5\sqrt{3}$ см
  4. Г. 9 см
  5. Д. 15 см
Відповідь
Правильна відповідь: Г — 9 см

Завдання 15

Яку властивість із наведених має функція $y = 2x - 9$?
  1. А. є парною
  2. Б. є непарною
  3. В. є періодичною
  4. Г. є спадною
  5. Д. є зростаючою
Відповідь
Правильна відповідь: Д — є зростаючою

Завдання 16

Розв'яжіть рівняння $\dfrac{|x|}{10} = 2$.
  1. А. $-5;\ 5$
  2. Б. $-20;\ 20$
  3. В. 20
  4. Г. 5
  5. Д. $-0{,}2;\ 0{,}2$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $-20;\ 20$

Завдання 17

Рисунок до завдання 17
Лист заліза, що має форму прямокутника $ABCD$ ($AB = 50$ см), згортають таким чином, щоб отримати циліндричну трубу (див. рисунки 1 і 2). Краї $AB$ і $CD$ зварюють між собою без накладання одного краю на інший. Обчисліть площу бічної поверхні отриманого циліндра (труби), якщо діаметр його основи дорівнює 20 см. Виберіть відповідь, найближчу до точної. Товщиною листа заліза та швом від зварювання знехтуйте.
  1. А. 1570 см2
  2. Б. 3150 см2
  3. В. 5240 см2
  4. Г. 6300 см2
  5. Д. 1000 см2
Відповідь
Правильна відповідь: Б — 3150 см2

Завдання 18

Укажіть проміжок, якому належить число $\log_5 4$.
  1. А. $(0;\,1)$
  2. Б. $(1;\,2)$
  3. В. $(2;\,3)$
  4. Г. $(3;\,4)$
  5. Д. $(4;\,5)$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $(0;\,1)$

Завдання 19

Укажіть рівняння прямої, яка може бути дотичною до графіка функції $y = f(x)$ у точці з абсцисою $x_0 = 2$, якщо $f'(2) = -3$.
  1. А. $y = -\dfrac{3}{2}x + 1$
  2. Б. $y = 3x - 2$
  3. В. $y = 2x + 3$
  4. Г. $y = \dfrac{3}{2}x - 1$
  5. Д. $y = -3x + 2$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $y = -3x + 2$

Завдання 20

Розв'яжіть нерівність $\dfrac{(x - 6)(x + 2)^2}{x - 3} \leqslant 0$.
  1. А. $\{-2\} \cup (3;\,6]$
  2. Б. $(-\infty;\,-2] \cup (3;\,6]$
  3. В. $[-2;\,6]$
  4. Г. $(-\infty;\,6]$
  5. Д. $(-\infty;\,3) \cup (3;\,6]$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $\{-2\} \cup (3;\,6]$

Завдання 21

Рисунок до завдання 21
Установіть відповідність між функцією (1–4) та координатними чвертями (А – Д), у яких розміщений графік цієї функції (координатні чверті показано на рисунку).
Функція
  1. $y = -x^2 - 1$
  2. $y = x + 1$
  3. $y = -\dfrac{1}{x}$
  4. $y = \cos x$
Координатні чверті
  1. А. II та IV
  2. Б. III та IV
  3. В. I, II та III
  4. Г. I, III та IV
  5. Д. I, II, III та IV
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — В, 3 — А, 4 — Д

Завдання 22

Установіть відповідність між твердженням про дріб (1–4) та дробом (А – Д), для якого це твердження є правильним.
Твердження про дріб
  1. є скоротним
  2. є неправильним
  3. менший за 0,5
  4. є оберненим до дробу $1\dfrac{2}{5}$
Дріб
  1. А. $\dfrac{5}{7}$
  2. Б. $\dfrac{13}{27}$
  3. В. $\dfrac{41}{10}$
  4. Г. $\dfrac{7}{10}$
  5. Д. $\dfrac{34}{51}$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Д, 2 — В, 3 — Б, 4 — А

Завдання 23

Рисунок до завдання 23
Установіть відповідність між геометричною фігурою (1–4) та її площею (А – Д).
Геометрична фігура
  1. круг радіуса 4 см (рис. 1)
  2. півкруг радіуса 6 см (рис. 2)
  3. сектор радіуса 12 см з градусною мірою центрального кута $30^\circ$ (рис. 3)
  4. кільце, обмежене колами радіусів 4 см і 6 см (рис. 4)
Площа геометричної фігури
  1. А. $12\pi$ см2
  2. Б. $16\pi$ см2
  3. В. $18\pi$ см2
  4. Г. $20\pi$ см2
  5. Д. $24\pi$ см2
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — В, 3 — А, 4 — Г

Завдання 24

У прямокутній декартовій системі координат у просторі $xyz$ задано точки $A(2;\,0;\,0)$ і $B(-4;\,2;\,6)$. До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
  1. Серединою відрізка $AB$ є точка
  2. Вектор $\overrightarrow{AB}$ має координати
  3. Проекцією точки $B$ на площину $xz$ є точка
  4. Проекцією точки $B$ на вісь $y$ є точка
Закінчення речення
  1. А. $(-1;\,1;\,3)$.
  2. Б. $(0;\,2;\,0)$.
  3. В. $(-4;\,0;\,6)$.
  4. Г. $(-6;\,2;\,6)$.
  5. Д. $(-2;\,2;\,6)$.
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — А, 2 — Г, 3 — В, 4 — Б

Завдання 25.1

У магазині в продажу є лише музичні диски, диски з науково-популярними фільмами та диски з художніми фільмами. Кількість дисків із науково-популярними фільмами в п'ять разів більша за кількість музичних дисків і вдвічі менша за кількість дисків із художніми фільмами. Загальна кількість дисків у цьому магазині дорівнює 192.
1. Скільки відсотків становить кількість музичних дисків від загальної кількості всіх дисків у магазині?
Відповідь
Правильна відповідь: 6.25

Завдання 25.2

(Умова завдання 25.) 2. Визначте кількість дисків із науково-популярними фільмами в цьому магазині.
Відповідь
Правильна відповідь: 60

Завдання 26.1

З вершини тупого кута $B$ паралелограма $ABCD$ опущено перпендикуляр $BO$ на сторону $AD$. Коло з центром у точці $A$ проходить через вершину $B$ та перетинає сторону $AD$ в точці $K$. Відомо, що $AK = 6$ см, $KD = 4$ см, $AO = 5$ см.
1. Визначте периметр паралелограма $ABCD$ (у см).
Відповідь
Правильна відповідь: 32

Завдання 26.2

(Умова завдання 26: $AK = 6$ см, $KD = 4$ см, $AO = 5$ см.) 2. Обчисліть довжину діагоналі $BD$ (у см).
Відповідь
Правильна відповідь: 6

Завдання 27

Плавець під час першого тренування подолав дистанцію у 450 м. Кожного наступного тренування він пропливав на 50 м більше, ніж попереднього, поки не досягнув результату – 1000 м за одне тренування. Після цього під час кожного відвідування басейну плавець пропливав 1000 м. Скільки всього кілометрів плавець проплив за перші 10 тижнів тренувань, якщо він тренувався тричі кожного тижня?
Відповідь
Правильна відповідь: 26.7

Завдання 28

Розв'яжіть рівняння $\log_5^2 x + \log_5 x = 2$. Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповіді, якщо рівняння має кілька коренів, то у відповіді запишіть їхню суму. Якщо рівняння не має коренів, запишіть у відповіді число 100.
Відповідь
Правильна відповідь: 5.04

Завдання 29

Обчисліть значення виразу $\dfrac{10a + b}{b^2 - 4a^2} + \dfrac{4a + 2b}{b^2 + 4ab + 4a^2}$ при $a = 0{,}25$, $b = 4{,}5$.
Відповідь
Правильна відповідь: 0.75

Завдання 30

Навколо конуса описано трикутну піраміду, площа основи якої дорівнює $50\sqrt{3}$, а периметр основи – 50. Визначте об'єм $V$ цього конуса, якщо довжина його твірної дорівнює 4. У відповіді запишіть значення $\dfrac{V}{\pi}$.
Відповідь
Правильна відповідь: 8

Завдання 31

Поглиблений рівень. Обчисліть значення виразу $\dfrac{1}{70}\cdot 2^{3\log_2 7}$.
Відповідь
Правильна відповідь: 4.9

Завдання 32

У школі є два одинадцятих класи. В 11-А класі навчається 12 хлопців та 8 дівчат, а в 11-Б – 9 хлопців та 15 дівчат. З учнів цих двох класів потрібно обрати двох ведучих для проведення святкового вечора, причому хлопець має бути з 11-А класу, а дівчина – з 11-Б. Скільки всього існує варіантів вибору таких пар ведучих?
Відповідь
Правильна відповідь: 180

Завдання 33

Основою прямої чотирикутної призми $ABCDA_1B_1C_1D_1$ є прямокутник зі сторонами 4 см і $4\sqrt{3}$ см. Площина, що проходить через вершини $A$, $B_1$ і $C$ призми, утворює з площиною її основи кут $60^\circ$. Визначте висоту призми (у см).
Відповідь
Правильна відповідь: 6

Завдання 34

Рисунок до завдання 34
Визначте додатне значення параметра $a$, за якого площа фігури, обмеженої лініями $y = \sqrt[3]{x}$ (див. рисунок), $y = 0$ та $x = a$, дорівнює 192 кв. од.
Відповідь
Правильна відповідь: 64

Завдання 35

У прямокутному трикутнику $ABC$ точка $M$ є серединою гіпотенузи $AB$, довжина якої дорівнює 26 см. Точка $O$ віддалена від вершин $B$ і $C$ на 15 см, а від сторони $BC$ – на $10\sqrt{2}$ см. З точки $O$ на катет $BC$ опущено перпендикуляр $OK$, точка $K$ належить відрізку $OM$.
1. Доведіть, що чотирикутник $KMAC$ є трапецією.
2. Визначте площу трапеції $KMAC$.
Розв'язання
2. 90 см2.

Завдання 36

При яких значеннях параметра $a$ рівняння $\dfrac{(x^2 - 2(a + 1)x + 6a - 3)(\operatorname{tg}\pi x - 1)}{\sqrt[4]{49x^2 - 84xa + 36a^2}} = 0$ на проміжку $[0;\,1]$ має рівно два різні корені?
Розв'язання
$a \in \left[\dfrac{1}{2};\,\dfrac{5}{8}\right) \cup \left(\dfrac{5}{8};\,\dfrac{3}{4}\right) \cup \left(\dfrac{3}{4};\,\dfrac{7}{8}\right) \cup \left(\dfrac{7}{8};\,1\right]$.
⏱ Пройти цей тест онлайн

Інші варіанти з математики

Завдання — офіційні матеріали Українського центру оцінювання якості освіти (testportal.gov.ua).