Офіційні завдання НМТ 2023 року з математики — 22 завдання, 60 хв, максимум 32 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «На рисунку відображено інформацію про результати опитування пасажирів транспортної мережі …»
На рисунку відображено інформацію про результати опитування пасажирів транспортної мережі деякого міста щодо визначення якості пасажирських перевезень (у балах за шкалою 1–10). Визначте кількість опитуваних, які поставили оцінку, вищу за 8 балів.
А. 19
Б. 100
В. 200
Г. 275
Д. 475
Відповідь
Правильна відповідь: Б — 100
Завдання 2
Із точки $O$, яка лежить на прямій $AB$, проведено промені $OM$ і $OK$ (див. рисунок). Відомо, що $\angle BOM = 30^\circ$, $\angle MOK = 80^\circ$. Визначте градусну міру кута $AOK$. Уважайте, що промені $OK$, $OM$ і пряма $AB$ лежать в одній площині.
А. $60^\circ$
Б. $70^\circ$
В. $80^\circ$
Г. $150^\circ$
Д. $170^\circ$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $70^\circ$
Завдання 3
У магазині канцтоварів ручка коштує 6 грн, а набір із двох ручок – 10 грн. Яку найбільшу кількість таких ручок можна купити в цьому магазині на суму до 58 грн?
А. 8
Б. 9
В. 10
Г. 11
Д. 12
Відповідь
Правильна відповідь: Г — 11
Завдання 4
Розв'яжіть рівняння $0{,}01x = -1$.
А. $-1000$
Б. $-100$
В. $-10$
Г. $-1$
Д. 100
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $-100$
Завдання 5
Визначте координати вектора $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a}$, якщо $\vec{a}(2;\,1;\,-5)$ і $\vec{b}(-7;\,0;\,3)$.
А. $\vec{c}\,(-9;\,-1;\,8)$
Б. $\vec{c}\,(9;\,1;\,-8)$
В. $\vec{c}\,(-5;\,1;\,-2)$
Г. $\vec{c}\,(-5;\,-1;\,2)$
Д. $\vec{c}\,(-14;\,0;\,-15)$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $\vec{c}\,(-9;\,-1;\,8)$
Завдання 6
На рисунку зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на проміжку $[-2;\,4]$. Цей графік перетинає вісь $x$ в одній із зазначених точок. Укажіть цю точку.
А. $(4;\,0)$
Б. $(3;\,4)$
В. $(0;\,3)$
Г. $(3;\,0)$
Д. $(0;\,4)$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $(3;\,0)$
Завдання 7
Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\dfrac{x}{18 - 2x} = \dfrac{1}{4}$.
А. $(-\infty;\,-3)$
Б. $[-3;\,0)$
В. $[0;\,4)$
Г. $[4;\,8)$
Д. $[8;\,+\infty)$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $[0;\,4)$
Завдання 8
Укажіть формулу для обчислення об'єму $V$ правильної чотирикутної піраміди, сторона основи й висота якої дорівнюють $a$.
А. $V = a^3$
Б. $V = \dfrac{4a^2}{3}$
В. $V = 4a^2$
Г. $V = \dfrac{a^3}{3}$
Д. $V = \dfrac{a^3}{4}$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $V = \dfrac{a^3}{3}$
Завдання 9
Укажіть проміжок, якому належить значення виразу $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-2}$.
А. $(-\infty;\,-10]$
Б. $(-10;\,0]$
В. $(0;\,1]$
Г. $(1;\,10]$
Д. $(10;\,+\infty)$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $(10;\,+\infty)$
Завдання 10
Які з наведених тверджень є правильними? I. Пряма, що проходить через центр кола і лежить із цим колом в одній площині, має з ним дві спільні точки. II. Діаметр кола, перпендикулярний до його хорди, проходить через середину цієї хорди. III. Можна провести два діаметри кола, що не мають жодної спільної точки.
А. лише II
Б. лише I та III
В. лише II та III
Г. лише I та II
Д. I, II та III
Відповідь
Правильна відповідь: Г — лише I та II
Завдання 11
Якщо функція $F(x) = x^3 + 4$ є однією з первісних функції $f(x)$, тоді $f(x) =$
А. $3x^2 + 4$
Б. $3x^2$
В. $3x$
Г. $2x^2$
Д. $\dfrac{x^4}{4} + C$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $3x^2$
Завдання 12
$\left(-2x^4\right)^3 =$
А. $-6x^7$
Б. $-8x^{12}$
В. $-8x^7$
Г. $8x^{12}$
Д. $6x^{12}$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $-8x^{12}$
Завдання 13
Менша сторона прямокутника дорівнює 4 см, а кут між його діагоналями – $60^\circ$ (див. рисунок). Визначте площу (см2) прямокутника.
А. $8\sqrt{3}$
Б. 16
В. $16\sqrt{3}$
Г. 32
Д. $32\sqrt{3}$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $16\sqrt{3}$
Завдання 14
Укажіть вираз, тотожно рівний виразу $(\cos x - \sin x)^2$.
Доберіть до кожного початку речення (1–3) його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
Функція $y = \sqrt{x + 1}$
Функція $y = 4 - x^2$
Функція $y = 3^{-x}$
Закінчення речення
А. має точку локального максимуму.
Б. має точку локального мінімуму.
В. є непарною.
Г. зростає на всій області визначення.
Д. набуває лише додатних значень.
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — А, 3 — Д
Завдання 17
Доберіть до числового виразу (1–3) рівний йому за значенням вираз (А – Д).
Вираз
$\dfrac{1}{\sqrt{10} - 3}$
$\left|3 - \sqrt{10}\right|$
$\log_5 125$
Вираз
А. $\sqrt{10} - 3$
Б. $3 - \sqrt{10}$
В. $\sqrt{10} + 3$
Г. 3
Д. 25
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — В, 2 — А, 3 — Г
Завдання 18
Периметр рівнобедреного трикутника $ABC$ (див. рисунок) дорівнює 32 см. $AB = BC = 10$ см. Узгодьте відрізок (1–3) з його довжиною (А – Д).
Відрізок
$AC$
висота, проведена з вершини $B$
радіус кола, описаного навколо трикутника $ABC$
Довжина відрізка, см
А. 6,25
Б. 7,5
В. 8
Г. 12
Д. 12,5
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — В, 3 — А
Завдання 19
Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня – на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови?
Відповідь
Правильна відповідь: 750
Завдання 20
З трьох хлопців та трьох дівчат добирають чотирьох учасників до музичного квартету. Скільки всього є варіантів такого вибору?
Відповідь
Правильна відповідь: 15
Завдання 21
Осьовим перерізом циліндра є квадрат зі стороною 8 см. Визначте площу $S$ (см2) бічної поверхні цього циліндра. У відповіді запишіть значення виразу $\dfrac{S}{\pi}$.
Відповідь
Правильна відповідь: 64
Завдання 22
Визначте додатне значення $m$, за якого один із коренів рівняння $x^2 - (2m - 4)x + 16 = 0$ на 6 більший від іншого.
