ЗНО 2021 з математики · основна сесія

Офіційні завдання ЗНО 2021 року з математики — 38 завдань, 210 хв, максимум 46 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «За 6 однакових конвертів заплатили 3 грн. Скільки всього таких конвертів можна купити за 1…»

⏱ Пройти як на ЗНО Тренування з перевіркою

Завдання 1

За 6 однакових конвертів заплатили 3 грн. Скільки всього таких конвертів можна купити за 12 грн?

А. 6
Б. 24
В. 30
Г. 36

Відповідь

Правильна відповідь: Б — 24

Завдання 2

На графіку відображено зміну робочої температури двигуна легкового автомобіля протягом 10 хвилин з моменту його запуску. Визначте за графіком кількість хвилин, протягом яких робоча температура двигуна була не більшою за 50 °С.

А. 7
Б. 4
В. 3
Г. 2

Відповідь

Правильна відповідь: В — 3

Завдання 3

Пластикові кульки радіуса 6 см зберігають у висувній шухлядці, що має форму прямокутного паралелепіпеда (див. рисунок). Якою з наведених може бути висота $h$ цієї шухлядки?

А. 3 см
Б. 6 см
В. 10 см
Г. 13 см

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 13 см

Завдання 4

Укажіть корінь рівняння $1 - 5x = 0$.

А. 5
Б. $-\dfrac{1}{5}$
В. $\dfrac{1}{5}$
Г. 4

Відповідь

Правильна відповідь: В — $\dfrac{1}{5}$

Завдання 5

Сума трьох кутів паралелограма дорівнює $280^\circ$. Визначте градусну міру більшого кута цього паралелограма.

А. $100^\circ$
Б. $80^\circ$
В. $140^\circ$
Г. $40^\circ$
Д. $120^\circ$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $100^\circ$

Завдання 6

Спростіть вираз $\dfrac{3m - 2n}{8} - \dfrac{3m}{8}$.

А. $-\dfrac{n}{4}$
Б. $-\dfrac{n}{8}$
В. $-\dfrac{n}{6}$
Г. $-\dfrac{m}{4}$
Д. $\dfrac{3m - n}{4}$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $-\dfrac{n}{4}$

Завдання 7

Укажіть з-поміж наведених ескіз графіка функції $y = -2x + 3$.

Відповідь

Правильна відповідь: Б —

Завдання 8

Для місцевості, що лежить на рівні моря, нормальний атмосферний тиск становить 760 мм рт. ст. Із підняттям на кожні 100 метрів угору атмосферний тиск знижується на 10 мм рт. ст. Укажіть з-поміж наведених формулу, за якою визначають атмосферний тиск $p$ (у мм рт. ст.) на висоті $h$ метрів над рівнем моря.

А. $p = \dfrac{760 \cdot 100}{10h}$
Б. $p = 760 - \dfrac{100h}{10}$
В. $p = 760 + \dfrac{10h}{100}$
Г. $p = 760 + \dfrac{100h}{10}$
Д. $p = 760 - \dfrac{10h}{100}$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $p = 760 - \dfrac{10h}{100}$

Завдання 9

Які з наведених тверджень є правильними?
I. Навколо будь-якого ромба можна описати коло.
II. Діагоналі будь-якого ромба взаємно перпендикулярні.
III. У будь-якому ромбі всі сторони рівні.

А. лише I та II
Б. лише I та III
В. лише II
Г. лише II та III
Д. I, II та III

Відповідь

Правильна відповідь: Г — лише II та III

Завдання 10

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\sqrt{x + 12} = 3$.

А. $[-12;\,-6)$
Б. $[-6;\,0)$
В. $[0;\,6)$
Г. $[6;\,12)$
Д. $[12;\,+\infty)$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $[-6;\,0)$

Завдання 11

Яка з наведених функцій є первісною для функції $f(x) = x^{-4}$?

А. $F(x) = -\dfrac{1}{5x^5}$
Б. $F(x) = -\dfrac{3}{x^3}$
В. $F(x) = -\dfrac{4}{x^5}$
Г. $F(x) = -\dfrac{5}{x^5}$
Д. $F(x) = -\dfrac{1}{3x^3}$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $F(x) = -\dfrac{1}{3x^3}$

Завдання 12

Обчисліть $\dfrac{5^4 \cdot 2^4}{20^3}$.

А. $\dfrac{5}{4}$
Б. $\dfrac{1}{10}$
В. $\dfrac{1}{2}$
Г. $\dfrac{1}{20}$
Д. 10

Відповідь

Правильна відповідь: А — $\dfrac{5}{4}$

Завдання 13

Розв'яжіть нерівність $\log_{0{,}9}(3x) > 2$.

А. $(-\infty;\,0{,}27)$
Б. $(-\infty;\,0{,}6)$
В. $(0{,}27;\,+\infty)$
Г. $(0{,}6;\,+\infty)$
Д. $(0;\,0{,}27)$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $(0;\,0{,}27)$

Завдання 14

$\sin^2 2x =$

А. $2\sin^2 x$
Б. $4\sin^2 x$
В. $4\sin^2 x\cos^2 x$
Г. $2\sin^2 x\cos^2 x$
Д. $\sin 4x^2$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $4\sin^2 x\cos^2 x$

Завдання 15

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, апофема – 7 см. Визначте площу повної поверхні цієї піраміди.

А. 84 см²
Б. 204 см²
В. 156 см²
Г. 162 см²
Д. 120 см²

Відповідь

Правильна відповідь: Д — 120 см²

Завдання 16

Прямолінійною дорогою $AB$ рухається тролейбус (див. рисунок). Лінія $CD$ електричного дроту паралельна $AB$ й даху $MN$ тролейбуса. Штанга $KN$, що на рисунку є відрізком, утворює з $MN$ кут $30^\circ$. Відстані між прямими $CD$ й $AB$, $MN$ й $AB$ дорівнюють 6 м і 3,2 м відповідно. Укажіть проміжок, якому належить довжина (у м) штанги $KN$. Уважайте, що всі зазначені прямі лежать в одній площині.

А. $[1;\,3)$
Б. $[3;\,5)$
В. $[5;\,5{,}5)$
Г. $[5{,}5;\,6)$
Д. $[6;\,8)$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $[5{,}5;\,6)$

Завдання 17

Установіть відповідність між графіком (1–3) функції, визначеної на проміжку $[-4;\,4]$, та її властивістю (А – Д).

Графік функції

Властивість функції

А. функція є непарною
Б. найменше значення функції на проміжку $[1;\,3]$ дорівнює 2
В. функція є парною
Г. графік функції не має спільних точок із графіком рівняння $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4$
Д. графік функції тричі перетинає пряму $y = 1$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — Б, 3 — Д

Завдання 18

Установіть відповідність між виразом (1–3) і твердженням про його значення (А – Д), яке є правильним, якщо $a = -2\dfrac{1}{3}$.

Вираз

$a^2$
$a + |a|$
$\log_5 5^a$

Твердження про значення виразу

А. більше від 5
Б. належить проміжку $(0;\,1)$
В. є від'ємним числом
Г. належить проміжку $[1;\,5)$
Д. дорівнює 0

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — А, 2 — Д, 3 — В

Завдання 19

Квадрат $ABCD$ й прямокутна трапеція $BMNC$ лежать в одній площині (див. рисунок). Площа кожної із цих фігур дорівнює 36 см², $AM = 15$ см. Установіть відповідність між відрізком (1–3) і його довжиною (А – Д).

Відрізок

сторона квадрата $ABCD$
висота трапеції $BMNC$
менша основа трапеції $BMNC$

Довжина відрізка

А. 2 см
Б. 3 см
В. 4 см
Г. 6 см
Д. 9 см

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — Д, 3 — А

Завдання 20

На рисунку зображено прямокутний паралелепіпед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у якому $AB = 3$, $AD = 4$, $AA_1 = 2$. Увідповідніть початок речення (1–3) із його закінченням (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

Відстань від точки $C$ до площини $(AA_1B_1)$ дорівнює
Відстань від точки $A$ до прямої $CC_1$ дорівнює
Відстань між площинами $(ABC)$ і $(A_1B_1C_1)$ дорівнює

Закінчення речення

А. 2.
Б. 3.
В. 4.
Г. 5.
Д. 7.

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — В, 2 — Г, 3 — А

Завдання 21.1

Олена купила через веб-сайт посадочний документ (див. фрагмент документа) на потяг, що коштує 240 грн. У його вартість входять вартості: квитка – 34,50 грн, плацкарти – 147 грн й інших витрат – 58,50 грн. За 10 годин до відправлення потяга Олена вирішила повернути цей посадочний документ. Відповідно до правил за таких умов їй повертають лише вартість квитка й половину вартості плацкарти. Крім того, за повернення посадочного документа з Олени додатково стягнуть збір 18 грн.
1. Яку суму грошей $P$ (у грн) отримає Олена, повернувши цей документ?

Відповідь

Правильна відповідь: 90

Завдання 21.2

(Умова завдання 21.) 2. Скільки відсотків від вартості документа (240 грн) становить сума грошей $P$, яку отримає Олена?

Відповідь

Правильна відповідь: 37.5

Завдання 22.1

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$ й коло, яке дотикається до сторони $AB$ й сторін $BC$ й $AD$ в точках $M$ і $K$ відповідно. Периметр чотирикутника $ABMK$ дорівнює 24 см, а довжина відрізка $KC$ – 17 см.
1. Визначте радіус (у см) заданого кола.

Відповідь

Правильна відповідь: 4

Завдання 22.2

(Умова завдання 22.) 2. Обчисліть площу (у см²) прямокутника $ABCD$.

Відповідь

Правильна відповідь: 152

Завдання 23.1

У прямокутній системі координат у просторі задано вектор $\overrightarrow{AB}(-3;\,8;\,1)$ і точку $B(7;\,-2;\,0)$, точка $O$ – початок координат.
1. Визначте ординату $y$ точки $A(x;\,y;\,z)$.

Відповідь

Правильна відповідь: -10

Завдання 23.2

(Умова завдання 23: $\overrightarrow{AB}(-3;\,8;\,1)$, $B(7;\,-2;\,0)$, $O$ – початок координат.) 2. Обчисліть скалярний добуток $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{AB}$.

Відповідь

Правильна відповідь: -111

Завдання 24.1

Арифметичну прогресію $(a_n)$ задано формулою $n$-го члена: $a_n = 2{,}6n - 7$.
1. Визначте сьомий член цієї прогресії.

Відповідь

Правильна відповідь: 11.2

Завдання 24.2

(Умова завдання 24: $a_n = 2{,}6n - 7$.) 2. Визначте різницю $a_4 - a_1$.

Відповідь

Правильна відповідь: 7.8

Завдання 25

У першому класі 15 дівчаток, з яких лише одна на ім'я Дарина, і 11 хлопчиків. На першому уроці вчителька навмання формує пари дітей, які сидітимуть за однією партою. Першою вона вибирає пару для Дарини. Яка ймовірність того, що Дарина сидітиме за однією партою з дівчинкою?

Відповідь

Правильна відповідь: 0.56

Завдання 26

Для приготування дезінфікувального розчину концентрат розводять водою в масовому відношенні 2 : 7 відповідно, після чого на кожні 10 г води добавляють 1 г ароматичної рідини. Скільки грамів концентрату потрібно для приготування 485 г розчину?

Відповідь

Правильна відповідь: 100

Завдання 27

Обчисліть значення виразу $\sqrt{9a^2 - 24a + 16} - \sqrt[3]{27a^3}$ за $a = 0{,}7$.

Відповідь

Правильна відповідь: -0.2

Завдання 28

Розв'яжіть рівняння $x^4 - x^2 - 20 = 0$. У відповіді запишіть добуток усіх його дійсних коренів.

Відповідь

Правильна відповідь: -5

Завдання 29

Редактор стрічки новин вирішує, у якій послідовності розмістити 6 різних новин: 2 політичні, 3 суспільні й 1 спортивну. Скільки всього є різних послідовностей розміщення цих 6 новин у стрічці за умови, що політичні новини мають передувати іншим, а спортивна новина – бути останньою? Уважайте, що кожну із цих 6 новин у стрічці не повторюють.

Відповідь

Правильна відповідь: 12

Завдання 30

Задано функцію $y = x^3 - 3x$.
1. Для значень аргументу $x = 0;\ -1;\ 2$ визначте відповідні їм значення $y$.
2. Визначте й запишіть координати точок перетину графіка функції $y = x^3 - 3x$ із віссю $x$.
3. Знайдіть похідну $f'$ функції $f(x) = x^3 - 3x$.
4. Визначте нулі функції $f'$.
5. Визначте проміжки зростання і спадання, точки екстремуму й екстремуми функції $f$.
6. Побудуйте ескіз графіка функції $f$.

Розв'язання

Завдання 31

Осьовим перерізом циліндра є прямокутник $ABCD$, сторона $AD$ якого лежить в нижній основі циліндра. Діагональ $AC$ перерізу дорівнює $d$ й утворює з площиною нижньої основи циліндра кут $\beta$.
1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр і його осьовий переріз $ABCD$.
2. Укажіть кут $\beta$, що утворює пряма $AC$ із площиною нижньої основи циліндра.
3. Визначте об'єм циліндра.

Розв'язання

Завдання 32

Осьовим перерізом циліндра є прямокутник $ABCD$, сторона $AD$ якого лежить у нижній основі циліндра. Діагональ $AC$ перерізу дорівнює $d$ й утворює з площиною нижньої основи циліндра кут $\beta$. На колі нижньої основи вибрано точку $K$ так, що градусна міра дуги $AK$ дорівнює $90^\circ$.
1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр і вкажіть кут $\gamma$ між площиною $(KBD)$ і площиною нижньої основи циліндра. Обґрунтуйте його положення.
2. Визначте кут $\gamma$.

Розв'язання

Завдання 33

Доведіть тотожність $\dfrac{2a^2 + 5a - 3}{a + 3} = \dfrac{1 - 2a}{2\cos 240^\circ}$.

Розв'язання

Офіційна відповідь не подається (завдання на доведення). Підказка: $2\cos 240^\circ = -1$, а $2a^2 + 5a - 3 = (2a - 1)(a + 3)$, тож обидві частини дорівнюють $2a - 1$ (за $a \ne -3$).

Завдання 34

Задано систему рівнянь $\begin{cases} ax^2 + 3ax + 4^{1 + \sqrt{y}} = 8, \\ x + 2 \cdot 4^{\sqrt{y}} = 1, \end{cases}$ де $x$, $y$ – змінні, $a$ – довільна стала.
1. Розв'яжіть систему, якщо $a = 0$.
2. Визначте всі розв'язки заданої системи залежно від значень $a$.

Розв'язання

1. $(-3;\,0{,}25)$.
2. Якщо $a \in (-\infty;\,-2) \cup [0;\,+\infty)$, то розв'язком системи є $(-3;\,0{,}25)$;
якщо $a \in [-2;\,0)$, то розв'язками системи є $(-3;\,0{,}25)$ та $\left(\dfrac{2}{a};\,\log_4^2 \dfrac{a - 2}{2a}\right)$.

⏱ Пройти цей тест онлайн

Інші варіанти з математики

Завдання — офіційні матеріали Українського центру оцінювання якості освіти (testportal.gov.ua).