Офіційні завдання НМТ 2023 року з математики — 22 завдання, 60 хв, максимум 32 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «У таблиці наведено дані про температуру повітря в різний час того самого дня. Час, години …»
У таблиці наведено дані про температуру повітря в різний час того самого дня.
Час, години
6
9
12
15
18
Температура, $^\circ\text{C}$
12
17
14
18
15
На графіках немає шкали (градації) температури повітря. На якому графіку правильно відображено дані, наведені в таблиці?
А.
Б.
В.
Г.
Д.
Відповідь
Правильна відповідь: Д —
Завдання 2
У супермаркеті акція: купуєш три однакові шоколадки «Спокуса», а таку ж саму четверту супермаркет надає безкоштовно. Ціна кожної такої шоколадки – $35\ \text{грн.}$ У покупця є $220\ \text{грн.}$ Яку максимальну кількість шоколадок «Спокуса» він зможе отримати, узявши участь в акції?
А. 5
Б. 6
В. 7
Г. 8
Д. 9
Відповідь
Правильна відповідь: Г — 8
Завдання 3
Визначте кількість граней трикутної призми.
А. 3
Б. 4
В. 5
Г. 6
Д. 9
Відповідь
Правильна відповідь: В — 5
Завдання 4
У прямокутному трикутнику сума двох кутів дорівнює $115^\circ.$ Визначте градусну міру найменшого кута цього трикутника.
А. $5^\circ$
Б. $15^\circ$
В. $25^\circ$
Г. $35^\circ$
Д. $65^\circ$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $25^\circ$
Завдання 5
Обчисліть $\frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{2}}.$
А. 64
Б. 18
В. 8
Г. 4
Д. 2
Відповідь
Правильна відповідь: Г — 4
Завдання 6
Яке з наведених чисел є коренем рівняння $\frac x2 + \frac x3=2?$
А. 0,4
Б. 1,2
В. 2,4
Г. 5
Д. 12
Відповідь
Правильна відповідь: В — 2,4
Завдання 7
Укажіть лінійну функцію, графік якої паралельний осі абсцис і проходить через точку $A(–2;\ 3).$
А. $y=3$
Б. $y=-2$
В. $x=-2$
Г. $x=3$
Д. $y=-\frac 32 x$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $y=3$
Завдання 8
Обчисліть значення виразу $\log_2{(8a)},$ якщо $\log_2{a}=4.$
А. 6
Б. 7
В. 5
Г. 8
Д. 12
Відповідь
Правильна відповідь: Б — 7
Завдання 9
Які з наведених тверджень є правильними? I. Діагоналі будь-якого ромба ділять його кути навпіл. II. Діагоналі будь-якого чотирикутника точка перетину ділить навпіл. III. Діагоналі будь-якого квадрата взаємно перпендикулярні.
Діагональ прямокутника утворює з його стороною кут $60^\circ$ (див. рисунок), більша сторона прямокутника дорівнює $5\sqrt{3}.$ Визначте довжину кола, описаного навколо цього прямокутника.
А. $10\mathbf{\pi}$
Б. $25\mathbf{\pi}$
В. $20\mathbf{\pi}$
Г. $5\mathbf{\pi}$
Д. $10\sqrt{3}\mathbf{\pi}$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $10\mathbf{\pi}$
Завдання 13
В арифметичній прогресії $a_1=4,\ a_2=-1.$ Укажіть формулу для визначення $n – \text{го}$ члена цієї прогресії.
А. $a_n=9-5n$
Б. $a_n=7-3n$
В. $a_n=5-n$
Г. $a_n=1+3n$
Д. $a_n=-1+5n$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $a_n=9-5n$
Завдання 14
Периметр основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює $72\ \text{см.}$ Визначте довжину висоти піраміди, якщо її апофема дорівнює $15\ \text{см.}$
А. $6\ \text{см}$
Б. $9\ \text{см}$
В. $10\ \text{см}$
Г. $12\ \text{см}$
Д. $14\ \text{см}$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $12\ \text{см}$
Завдання 15
Укажіть кількість коренів рівняння $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ на відрізку $[0;\ 3\mathbf{\pi}].$
А. жодного
Б. один
В. два
Г. три
Д. більше трьох
Відповідь
Правильна відповідь: Д — більше трьох
Завдання 16
Доберіть до функції (1–3) ескіз її графіка (А – Д).
Функція
$y=\operatorname{tg} x$
$y=\left(\frac 12\right)^x$
$y=\frac 1x$
А.
Б.
В.
Г.
Д.
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — Д, 3 — А
Завдання 17
Доберіть до запитання (1–3) правильну відповідь на нього (А – Д).
Запитання
Яке число є дільником 8?
Яке число є простим?
Яке число є квадратом натурального числа?
Відповідь на запитання
А. 8
Б. 16
В. 17
Г. 27
Д. 56
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — А, 2 — В, 3 — Б
Завдання 18
На рисунку зображено відрізок $d$ на координатній площині. Установіть відповідність між відрізком (1–3) та рисунком (А – Д), на якому він зображений.
Відрізок
відрізок, симетричний відрізку $d$ відносно oсі $x$
відрізок, симетричний відрізку $d$ відносно осі $y$
відрізок, симетричний відрізку $d$ відносно точки $O$
А.
Б.
В.
Г.
Д.
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — Г, 3 — Д
Завдання 19
Обчисліть $\int_{0}^{7} f(x)dx,$ використавши зображений на рисунку графік лінійної функції $y=f(x).$
Відповідь
Правильна відповідь: 38.5
Завдання 20
Михайло отримав з математики в першому семестрі такі оцінки: $«8»,$ $«7»,$ $«9»,$ $«8».$ Яку кількість оцінок $«10»$ протягом цього семестру треба отримати Михайлові з математики, щоб середнє арифметичне всіх отриманих у першому семестрі оцінок із цього предмета дорівнювало $9,5?$ Уважайте, що інших оцінок із математики, окрім $«10»,$ Михайло не отримуватиме.
Відповідь
Правильна відповідь: 12
Завдання 21
Об’єм конуса дорівнює $64\ \text{см}^3.$ Через середину висоти цього конуса паралельно його основі проведено площину. Утворений переріз є основою меншого конуса, вершина якого збігається з вершиною заданого. Обчисліть об’єм $(\text{см}^3)$ меншого конуса.
Відповідь
Правильна відповідь: 8
Завдання 22
Визначте найменше ціле значення $a$ за якого один із коренів рівняння $\log_2^2{x}−(a−1)\log_2{x}−a=0$ належить проміжку $(30;\ 100).$
