Офіційні завдання ЗНО 2007 року з математики — 38 завдань, 150 хв, максимум 50 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «Розташуйте у порядку спадання числа \sqrt{5}; 2^{\log_2 5}; \dfrac{5}{2}.…»
Знайдіть область визначення функції $y = \sqrt{x + 9}$.
А. $[3; +\infty)$
Б. $[9; +\infty)$
В. $[-3; +\infty)$
Г. $[-9; +\infty)$
Д. $[-9; 9]$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $[-9; +\infty)$
Завдання 6
Будівельна компанія закупила для нового будинку металопластикові вікна та двері у відношенні $4:1$. Укажіть число, яким може виражатися загальна кількість вікон та дверей в цьому будинку.
Розв'яжіть рівняння $\sqrt[\scriptstyle{3}]{8^x}=\sqrt2\cdot\sqrt[\scriptstyle{3}]2$.
А. $\dfrac{2}{3}$
Б. $\dfrac{1}{6}$
В. $\dfrac{3}{2}$
Г. $\dfrac{5}{6}$
Д. $\dfrac{2}{5}$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $\dfrac{5}{6}$
Завдання 14
Укажіть, скільки дійсних коренів має рівняння $x^3-4|x|=0$.
А. жодного
Б. один
В. два
Г. три
Д. більше трьох
Відповідь
Правильна відповідь: В — два
Завдання 15
Знайдіть первісну функції $f(x)=2x+2$, графік якої проходить через точку з координатами $(1;4)$.
А. $F(x)=x^2+2x$
Б. $F(x)=x^2+2x+1$
В. $F(x)=x^2+2x+2$
Г. $F(x)=x^2+2x-4$
Д. $F(x)=x^2+2x-23$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $F(x)=x^2+2x+1$
Завдання 16
На рисунку зображений графік функції $y=f(x)$ та дотичні до нього в точках $x_1$ та $x_2$. Користуючись геометричним змістом похідної, знайдіть $f'x_1+f'x_2$.
А. $1$
Б. $\dfrac{\sqrt3}{3}$
В. $\sqrt3$
Г. $\dfrac{1}{2}$
Д. $\dfrac{\sqrt3}{2}$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $1$
Завдання 17
Градусна міра зовнішнього кута $A$ рівнобедреного трикутника $ABC$ $(AB=BC)$ становить $125^\circ$. Знайдіть градусну міру внутрішнього кута $B$.
А. $30^\circ$
Б. $40^\circ$
В. $50^\circ$
Г. $60^\circ$
Д. $70^\circ$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $70^\circ$
Завдання 18
Точка $M$ – середина сторони квадрата $ABCD$. Площа зафарбованої частини дорівнює $7$ см$^2$. Знайдіть площу всього квадрата.
А. $14$ см$^2$
Б. $21$ см$^2$
В. $28$ см$^2$
Г. $35$ см$^2$
Д. $42$ см$^2$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $28$ см$^2$
Завдання 19
Знайдіть координати точки $M$, відносно якої симетричні точки $E(-3;8;7)$ і $F(-9;6;1)$.
А. $(-6;7;4)$
Б. $(-12;14;8)$
В. $(0;0;0)$
Г. $(3;1;3)$
Д. інша відповідь
Відповідь
Правильна відповідь: А — $(-6;7;4)$
Завдання 20
Знайдіть об'єм тіла, утвореного обертанням круга навколо свого діаметра, довжина якого дорівнює $a$ см.
А. $\dfrac{4}{3}\pi a^3$ см$^3$
Б. $\dfrac{2}{3}\pi a^3$ см$^3$
В. $\dfrac{1}{3}\pi a^3$ см$^3$
Г. $\dfrac{1}{6}\pi a^3$ см$^3$
Д. $\dfrac{1}{12}\pi a^3$ см$^3$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $\dfrac{1}{6}\pi a^3$ см$^3$
Знайдіть суму перших дванадцяти непарних натуральних чисел.
Відповідь
Правильна відповідь: 144
Завдання 23
Укажіть найменше ціле число, яке є розв'язком нерівності $\dfrac{(x-3)(x+10)(x^2+8x-9)}{x^2+8x-9} \lt 0$.
Відповідь
Правильна відповідь: -8
Завдання 24
На перегоні, довжина якого дорівнює $240$ км, поїзд рухався зі швидкістю на $10$ км/год менше, ніж мала бути за розкладом, і запізнився на $48$ хв. З якою швидкістю мав рухатися поїзд за розкладом? (Відповідь в км/год).
Розв'яжіть рівняння $(x^2-9)\sqrt{-15+8x-x^2}=0$. У відповідь запишіть суму коренів.
Відповідь
Правильна відповідь: 8
Завдання 27
Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases}2^{2y-x}=32, \\ \log_\frac{1}{2}(y-x)=-2.\end{cases}$ Запишіть у відповідь добуток $x_0 \cdot y_0$, якщо пара $(x_0,y_0)$ є розв'язком вказаної системи рівнянь.
Відповідь
Правильна відповідь: -3
Завдання 28
Середній вік одинадцяти футболістів команди становить $22$ роки. Під час гри одного з футболістів було вилучено з поля, після чого середній вік гравців, що залишилися, став $21$ рік. Скільки років футболісту, який залишив поле?
Знайдіть найбільше ціле значення параметра $a$, при якому система рівнянь $\begin{cases}y-x=a, \\ x^2+y^2=1\end{cases}$ має два розв'язки.
Відповідь
Правильна відповідь: 1
Завдання 31
Знайдіть найбільше значення функції $y=x^3-3x^2+2$ на проміжку $[-1;1]$.
Відповідь
Правильна відповідь: 2
Завдання 32
Знайдіть найменше ціле значення параметра $a$, при якому рівняння $\log_8(x+2)=\log_8(2x-a)$ має корені.
Відповідь
Правильна відповідь: -3
Завдання 33
Сторона рівностороннього трикутника $ABC$ дорівнює $5$ см. Знайдіть скалярний добуток $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
Відповідь
Правильна відповідь: 12.5
Завдання 34
Для опалювальної системи будинку необхідні радіатори із розрахунку: три одиниці на $50$ м$^3$. Яку кількість одиниць радіаторів треба замовити, якщо новий будинок має форму прямокутного паралелепіпеда розміру $15$ м $\times$ $18$ м $\times$ $25$ м?
Відповідь
Правильна відповідь: 405
Завдання 35
Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює $2\sqrt3$ см і нахилена під кутом $60^\circ$ до площини основи. Знайдіть об'єм піраміди.
Відповідь
Правильна відповідь: 12
Завдання 36
У правильній чотирикутній піраміді $SABCD$ ($S$ – вершина) бічне ребро вдвічі більше сторони основи. Знайдіть кут між медіаною трикутника $SDC$, проведеною з вершини $D$, та середньою лінією трикутника $ASC$, що паралельна основі піраміди.
Розв'язання
$\mathrm{arctg}\ \sqrt{11}.$
Завдання 37
Побудуйте графік функції $y=\dfrac{\sqrt{-x}+|4-\sqrt{-x}|}{2}$.
Розв'язання
Нехай $t=\sqrt{-x}\ge 0$ ($x\le 0$). При $t\le 4$, тобто $-16\le x\le 0$: $y=\dfrac{t+4-t}{2}=2$. При $t>4$, тобто $x<-16$: $y=\dfrac{2t-4}{2}=\sqrt{-x}-2$.
Завдання 38
Розв'яжіть нерівність $(x^2-2\sqrt a\cdot x+1)(2^x+\lg a) \lt 0$.
Розв'язання
при $0\lt a\lt 1\ \ x\in\left(-\infty; \log_2 \lg\dfrac 1a\right)$; при $a\gt 1\ \ x\in (\sqrt{a}-\sqrt{a-1}; \sqrt{a}+\sqrt{a-1})$; при $a=1\ \ x\in \varnothing.$
