Офіційні завдання ЗНО 2015 року з математики — 32 завдання, 180 хв, максимум 48 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «Катет CB і гіпотенуза AB прямокутного трикутника ABC лежать на прямих, що перетинаються пі…»
Катет $CB$ і гіпотенуза $AB$ прямокутного трикутника $ABC$ лежать на прямих, що перетинаються під кутом $55^\circ$ (див. рисунок). Визначте градусну міру $\angle CAB.$
А. $15^\circ$
Б. $25^\circ$
В. $35^\circ$
Г. $45^\circ$
Д. $55^\circ$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $35^\circ$
Завдання 2
Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $0{,}5(x-4)=1{,}5.$
А. $(-\infty; -4]$
Б. $(-4; 0]$
В. $(0; 4]$
Г. $(4; 8]$
Д. $(8; +\infty)$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $(4; 8]$
Завдання 3
Два фахівці розробили макет рекламного оголошення. За роботу вони отримали $3000$ грн і розподілили гроші таким чином: перший отримав четверту частину зароблених грошей, а другий – решту. Скільки гривень отримав за цю роботу другий фахівець?
А. $600$ грн
Б. $750$ грн
В. $1800$ грн
Г. $2250$ грн
Д. $2400$ грн
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $2250$ грн
Завдання 4
У просторі задано пряму $a$ і точку $M$, яка не належить цій прямій. Скільки всього прямих, що перетинають пряму $a$, можна провести перпендикулярно до неї через точку $M$?
А. жодної
Б. одну
В. дві
Г. три
Д. безліч
Відповідь
Правильна відповідь: Б — одну
Завдання 5
Розв'яжіть нерівність $6^x\lt \frac{1}{36}.$
А. $\left(-2; +\infty\right)$
Б. $\left(-\infty; \frac 16\right)$
В. $\left(-\infty; -2\right)$
Г. $\left(\frac 16; +\infty\right)$
Д. $\left(-\infty; \frac 12\right)$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $\left(-\infty; -2\right)$
Завдання 6
Розкладіть на множники вираз $25x^2-1.$
А. $(25x-1)(x+1)$
Б. $(5x-1)^2$
В. $(5x-1)(5x+1)$
Г. $5(x-1)(x+1)$
Д. $25(x-1)(x+1)$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $(5x-1)(5x+1)$
Завдання 7
Якому проміжку належить значення виразу $\sin 415^\circ$?
А. $\left(-1; -\frac 12\right)$
Б. $\left(-\frac 12; \frac 12\right)$
В. $\left(\frac 12; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
Г. $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
Д. $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; 1\right)$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
Завдання 8
На рисунку зображено ескіз графіка функції $y=x^2+2x-3.$ На якому з проміжків ця функція спадає?
А. $(-\infty; 1]$
Б. $(-\infty; -1]$
В. $[-1; +\infty)$
Г. $[-3; +\infty)$
Д. $[1; +\infty)$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $(-\infty; -1]$
Завдання 9
Кожну грань кубіка пофарбували або в синій, або в жовтий колір. Імовірність того, що при підкиданні кубика випаде синя грань, дорівнює $\frac 13.$ Скільки всього граней кубика пофарбували в жовтий колір?
А. п'ять
Б. чотири
В. три
Г. дві
Д. одну
Відповідь
Правильна відповідь: Б — чотири
Завдання 10
На рисунку зображено трикутник $ABC$, точки $K$ i $M$ – середини сторін $AB$ i $BC$ відповідно. Укажіть правильну рівність, якщо $\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{a}.$
А. $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{a}$
Б. $\overrightarrow{AC}=\frac 12\overrightarrow{a}$
В. $\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{a}$
Г. $\overrightarrow{AC}=-\frac 12\overrightarrow{a}$
Укажіть рівняння прямої, що проходить через точку $O(0; 0).$
А. $y=-2x$
Б. $y=x+2$
В. $y=x-2$
Г. $y=2-x$
Д. $y=-2$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $y=-2x$
Завдання 12
Визначте об'єм конуса, висота якого дорівнює $4$ см, а діаметр основи – $6$ см.
А. $12\pi$ см$^3$
Б. $18\pi$ см$^3$
В. $24\pi$ см$^3$
Г. $36\pi$ см$^3$
Д. $72\pi$ см$^3$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $12\pi$ см$^3$
Завдання 13
На рисунку зображено фрагмент графіка однієї з наведених функцій на проміжку $\left[0; \frac{\pi}{2}\right).$ Укажіть цю функцію.
А. $y=\mathrm{ctg}\ x$
Б. $y=2^x$
В. $y=x^2$
Г. $y=\frac{\pi}{2}x$
Д. $y=\mathrm{tg}\ x$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $y=\mathrm{tg}\ x$
Завдання 14
Розв'яжіть систему рівнянь $$\left\{\begin{array}{l} 3y+2^x=-13,\\ 2^x-y=15. \end{array}\right.$$ Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0+y_0=$
А. $-4$
Б. $-3$
В. $1$
Г. $5$
Д. $15$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $-4$
Завдання 15
Кола з центрами в точках $O_1$ та $O_2$ дотикаються зовні (див. рисунок). Радіус більшого кола в $3$ рази перевищує радіус меншого кола. Обчисліть довжину відрізка $O_1O_2$, якщо довжина меншого кола дорівнює $10\pi$ см. Уважайте, що кола лежать в одній площині.
А. $10$ см
Б. $24$ см
В. $30$ см
Г. $15$ см
Д. $20$ см
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $20$ см
Завдання 16
$\log_{5^{-2}}5^{\frac 12}=$
А. $0{,}25$
Б. $-1$
В. $0{,}5$
Г. $-2$
Д. $-0{,}25$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $-0{,}25$
Завдання 17
Розв'яжіть рівняння $\frac{4}{|x|}=3.$
А. $\frac 34$
Б. $-\frac 34; \frac 34$
В. $\frac 43$
Г. $-12; 12$
Д. $-\frac 43; \frac 43$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $-\frac 43; \frac 43$
Завдання 18
Розв'яжіть нерівність $(x+4)(x-8)\gt 3(x-8).$
А. $(-\infty; -1)\cup (8; +\infty)$
Б. $(-1; 8)$
В. $(-1; 8)\cup (8; +\infty)$
Г. $(-1; +\infty)$
Д. $(8; +\infty)$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $(-\infty; -1)\cup (8; +\infty)$
Завдання 19
Якщо $y=(4x-1)^3$, то $y'=$
А. $3(4x-1)^2$
Б. $3(4x-1)$
В. $\frac{(4x-1)^4}{16}$
Г. $12(4x-1)^2$
Д. $\frac 34(4x-1)^2$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $12(4x-1)^2$
Завдання 20
На рисунку зображено осьовий переріз світлодіодної лампи. Активна поверхня цієї лампи, через яку відбувається випромінювання світла, є тілом обертання, утвореним обертанням відрізка $AB$ та чверті кола $BC$ навколо осі $l.$ Використовуючи зазначені на рисунку дані, обчиліть площу активної поверхні світлодіодної лампи. Виберіть відповідь, найближчу до точної.
А. $39$ см$^2$
Б. $42$ см$^2$
В. $45$ см$^2$
Г. $48$ см$^2$
Д. $51$ см$^2$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $48$ см$^2$
Завдання 21
Установіть відповідність між твердженням (1–4) та зображеним на рисунку прямокутником (А – Д), для якого це твердження є правильним.
Твердження
площа прямокутника дорівнює $48$
периметр прямокутника дорівнює $14$
кут між діагоналями прямокутника дорівнює $60^\circ$
діагональ прямокутника дорівнює $14$
А.
Б.
В.
Г.
Д.
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — В, 2 — А, 3 — Б, 4 — Г
Завдання 22
Установіть відповідність між запитаннями (1–4) та правильною відповіддю на нього (А – Д).
Запитання
Яке число є квадратом натурального числа?
Яке число є простим?
Яке число є дільником $8$?
Яке число кратне $7$?
Відповідь на запитання
А. $8$
Б. $16$
В. $17$
Г. $27$
Д. $56$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — В, 3 — А, 4 — Д
Завдання 23
До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
Функція $y=x^3$
Функція $y=(x+2)^2-3$
Функція $y=\log_{0{,}5}x$
Функція $y=\sqrt{x-4}$
Закінчення речення
А. набуває від'ємного значення в точці $x=8.$
Б. не визначена в точці $x=1.$
В. має екстремум у точці $x=-2.$
Г. набуває додатного значення в точці $x=-3.$
Д. є непарною.
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Д, 2 — В, 3 — А, 4 — Б
Завдання 24
У прямокутній декартовій системі координат $xyz$ у просторі задано точки: $O(0; 0; 0)$ – початок координат, $C(-2; 6; 0).$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
Точка $(4; 0; 0)$
Точка $(0; -3; 5)$
Точка $(-1; 3; 0)$
Точка $(2; -6; 0)$
Закінчення речення
А. є симетричною точці $C$ відносно координатної площини $xz.$
Б. лежить у координатній площині $yz.$
В. є серединою відрізка $OC.$
Г. є симетричною точці $C$ відносно початку координат.
Д. лежить на координатній осі $x.$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Д, 2 — Б, 3 — В, 4 — Г
Завдання 25.1
Мобільний телефон у магазині коштує $2260$ грн. Покупець не має можливості заплатити всю суму повністю, тому купує цей телефон у розстрочку. За умовою договору він має сплачувати $10\ \%$ від його ціни кожен місяць протягом $12$ місяців з моменту купівлі. 1. Визначте щомісячний платіж за куплений у розстрочку телефон (у грн). 2. Знайдіть суму $12$ щомісячних платежів. На скільки гривень ця сума перевищує заявлену магазином ціну телефона $(2260$ грн) на момент купівлі. Запишіть відповідь до частини 1.
Відповідь
Правильна відповідь: 226
Завдання 25.2
(Умова завдання 25.) Запишіть відповідь до частини 2.
Відповідь
Правильна відповідь: 452
Завдання 26.1
У прямокутній трапеції $ABCD$ проведено середню лінію $MN$ (див. рисунок). $BC=9$ см, $MN=13$ см, $\angle ADC=45^\circ.$ 1. Визначте довжину сторони $AD$ (у см). 2. Визначте довжину сторони $AB$ (у см). Запишіть відповідь до частини 1.
Відповідь
Правильна відповідь: 17
Завдання 26.2
(Умова завдання 26.) Запишіть відповідь до частини 2.
Відповідь
Правильна відповідь: 8
Завдання 27
В інструкції з медичного застосування настою лікарської рослини зназначено, що його рекомендовано приймати щоденно упродовж $20$ діб. Протягом першої доби пацієнт має випити $370$ мл настою, а кожної наступної доби – на одну й ту саму кількість настою менше, ніж попередньої. Останньої доби прийом має становити $85$ мл цього лікарського засобу. Яку кількість настою (у мл) вип'є пацієнт за ці $20$ діб, якщо дотримуватиметься інструкції?
Відповідь
Правильна відповідь: 4550
Завдання 28
Розв'яжіть рівняння $$\log_4x\cdot \left(\log_4 x+\log_4 \frac{1}{16}\right)=3.$$ Якщо рівняння має єдиний корінь, то запишіть його у відповіді, якщо рівняння має кілька коренів, то запишіть у відповіді їхню суму. Якщо рівняння не має коренів, запишіть у відповіді число $100.$
Відповідь
Правильна відповідь: 64.25
Завдання 29
Обчисліть значення виразу $$\frac{a^2-6ab+9b^2}{a^2+4ab}:\frac{5a-15b}{a+4b}$$ при $a=0{,}1$, $b=3{,}7.$
Відповідь
Правильна відповідь: -22
Завдання 30
Бічна грань правильної чотирикутної піраміди нахилена до площини основи під кутом $60^\circ.$ Визначте об'єм (у см$^3$) цієї піраміди, якщо радіус вписаної в неї кулі дорівнює $3$ см.
