Офіційні завдання ЗНО 2010 року з математики — 36 завдань, 150 хв, максимум 53 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «У саду в окремі ящики зібрали груші та яблука. Кількість ящиків з яблуками відноситься до …»
У саду в окремі ящики зібрали груші та яблука. Кількість ящиків з яблуками відноситься до кількості ящиків з грушами, як $7:3$. Серед наведених чисел укажіть число, яке може виражати загальну кількість ящиків з яблуками та грушами, зібраними в саду.
А. $37$
Б. $73$
В. $75$
Г. $80$
Д. $84$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $80$
Завдання 2
Точка $A(3;1)$ належить колу з центром у точці $O(-2;1)$. Знайдіть радіус цього кола.
А. $10$
Б. $5$
В. $3$
Г. $2$
Д. $1$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $5$
Завдання 3
Поле, площа якого дорівнює $60$ га, засіяли горохом і соєю. Горохом засіяли $\dfrac{3}{4}$ площі поля. Скільки всього гектарів поля засіяли соєю?
А. $10$
Б. $15$
В. $20$
Г. $24$
Д. $45$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $15$
Завдання 4
На одному з наведених рисунків зображено ескіз графіка функції $y=-2x+3$. Укажіть цей рисунок.
А.
Б.
В.
Г.
Д.
Відповідь
Правильна відповідь: Д —
Завдання 5
Знайдіть довжину діагоналі прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють $2$ см, $3$ см, $4$ см.
А. $\sqrt{29}$ см
Б. $9$ см
В. $\sqrt{13}$ см
Г. $5$ см
Д. $2\sqrt5$ см
Відповідь
Правильна відповідь: А — $\sqrt{29}$ см
Завдання 6
Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння $3^{\textstyle {x+4}}=27$?
А. $[-4;-2)$
Б. $[-2;0)$
В. $[0;2)$
Г. $[2;4)$
Д. $[4;6)$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $[-2;0)$
Завдання 7
Діагоналі трапеції $ABCD\ (AD||BC)$ перетинаються в точці $O$. Знайдіть довжину основи $BC$ трапеції, якщо $AD=24$ см, $AO=9$ см, $OC=6$ см.
А. $6$ см
Б. $9$ см
В. $12$ см
Г. $16$ см
Д. $18$ см
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $16$ см
Завдання 8
Яке з наведених чисел є раціональним числом?
А. $\sqrt[\scriptstyle 3]9$
Б. $\sqrt{10}$
В. $\pi$
Г. $\sqrt{3{,}6}$
Д. $\sqrt{0{,}64}$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $\sqrt{0{,}64}$
Завдання 9
Знайдіть найбільший від’ємний член арифметичної прогресії $2{,}9$; $2{,}2$; $1{,}5$; $…$
А. $-0{,}1$
Б. $-0{,}3$
В. $-0{,}6$
Г. $-0{,}8$
Д. $-1{,}3$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $-0{,}6$
Завдання 10
Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює $10$ см, а висота, опущена на неї, – $8$ см. Знайдіть довжину основи трикутника.
А. $6$ см
Б. $4\sqrt2$ см
В. $12$ см
Г. $4\sqrt5$ см
Д. $16$ см
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $4\sqrt5$ см
Завдання 11
Упродовж чверті учень отримав $12$ оцінок з алгебри. Інформацію про отримані оцінки та їхню кількість відображено в таблиці.
Оцінка
$5$
$6$
$7$
$8$
$10$
Кількість оцінок
$2$
$1$
$3$
$5$
$1$
Знайдіть середнє арифметичне всіх оцінок, отриманих учнем упродовж чверті.
А. $7$
Б. $7{,}2$
В. $7{,}25$
Г. $8$
Д. $8{,}1$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $7{,}25$
Завдання 12
Обчисліть $\sqrt[\scriptstyle4]{16\cdot81}$.
А. $6$
Б. $12$
В. $18$
Г. $36$
Д. $72$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $6$
Завдання 13
При яких значеннях $m$ і $n$ вектори $\vec a(m;2;3)$ і $\vec b(-12;6;n)$ колінеарні?
А. $m=-36$ i $n=9$
Б. $m=-4$ i $n=1$
В. $m=-36$ i $n=1$
Г. $m=3$ i $n=9$
Д. $m=-4$ i $n=9$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $m=-4$ i $n=9$
Завдання 14
Розташуйте в порядку зростання числа: $a=\operatorname{tg}36^\circ$, $b=\operatorname{tg}93^\circ$, $c=\operatorname{tg}180^\circ$.
А. $b;c;a$
Б. $c;b;a$
В. $a;b;c$
Г. $c;a;b$
Д. $b;a;c$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $b;c;a$
Завдання 15
Периметр бічної грані правильної трикутної призми дорівнює $20$ см. Знайдіть площу бічної поверхні призми, якщо сторона її основи дорівнює $4$ см.
А. $96$ см$^2$
Б. $80$ см$^2$
В. $72$ см$^2$
Г. $32$ см$^2$
Д. $24$ см$^2$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $72$ см$^2$
Завдання 16
Розв'яжіть нерівність $\dfrac1x\le\dfrac13$.
А. $(-\infty; 0)$
Б. $(0; 3]$
В. $[3; +\infty)$
Г. $(-\infty; 0)\cup [3; +\infty)$
Д. $(-\infty; 3]$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $(-\infty; 0)\cup [3; +\infty)$
Завдання 17
Подайте вираз $\dfrac{a}{\sqrt[\scriptstyle7]a}$ у вигляді степеня з основою $a$.
А. $a^{\textstyle -\frac17}$
Б. $a^{-6}$
В. $a^{\textstyle \frac17}$
Г. $a^{7}$
Д. $a^{\textstyle \frac67}$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $a^{\textstyle \frac67}$
Завдання 18
На полиці розміщено $16$ книг, з яких $6$ книг – історичні романи, а решта – детективи. Знайдіть імовірність того, що перша книга, навмання взята з полиці, буде детективом.
А. $\dfrac58$
Б. $\dfrac1{16}$
В. $\dfrac35$
Г. $\dfrac1{10}$
Д. $\dfrac38$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $\dfrac58$
Завдання 19
Точки $A$ і $B$ належать колу радіуса $10$ см і ділять його на дві дуги, довжини яких відносяться як $3:2$. Знайдіть довжину більшої дуги кола.
А. $20\pi$ см
Б. $12\pi$ см
В. $8\pi$ см
Г. $6\pi$ см
Д. $4\pi$ см
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $12\pi$ см
Завдання 20
Обчисліть площу зафарбованої фігури, зображеної на рисунку.
А. $\frac32$
Б. $\frac{2-\sqrt3}2$
В. $1$
Г. $\frac{\sqrt3}2$
Д. $\frac12$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $\frac12$
Завдання 21
Які з наведених тверджень правильні? І. Якщо коло має з площиною дві спільні точки, то всі точки кола належать цій площині. ІІ. Якщо три вершини паралелограма належать площині, то всі точки паралелограма належать цій площині. ІІІ. Якщо круг і площина мають три спільні точки, то всі точки круга належать цій площині.
Об’єм циліндра дорівнює $48$ см$^3$. Знайдіть об’єм конуса, радіус основи якого дорівнює радіусу основи циліндра, а висота вдвічі менша за висоту циліндра.
А. $6$ см$^3$
Б. $8$ см$^3$
В. $16$ см$^3$
Г. $24$ см$^3$
Д. $36$ см$^3$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $8$ см$^3$
Завдання 24
У кіоску є $10$ видів вітальних листівок з Новим роком. Скільки всього можна утворити різних наборів листівок, кожен із яких складається з трьох листівок різних видів?
А. $30$
Б. $90$
В. $120$
Г. $240$
Д. $720$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $120$
Завдання 25
Прямі, що містять сторони правильного п’ятикутника $ABCDF$, перетинаються у точках $K$, $L$, $M$, $N$, $P$. Знайдіть градусну міру кута $AKB$.
А. $18^\circ$
Б. $26^\circ$
В. $30^\circ$
Г. $36^\circ$
Д. $60^\circ$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $36^\circ$
Завдання 26
Установіть відповідність між числовими виразами (1–4) та їхніми значеннями (А – Д).
$2003^2-1997^2$
$186^2-186\cdot132+66^2$
$98^2+98\cdot104+52^2$
$47^3-47^2\cdot51+17^2\cdot141-17^3$
А. $64\,000$
Б. $27\,000$
В. $24\,000$
Г. $22\,500$
Д. $14\,400$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — В, 2 — Д, 3 — Г, 4 — Б
Завдання 27
Установіть відповідність між функціями, заданими формулами (1–4), та їхніми областями значень (А – Д).
$y=\log_2x$
$y=2^x$
$y=2\sqrt x$
$y=2-x^2$
А. $[2;+\infty)$
Б. $[0;+\infty)$
В. $(-\infty;2]$
Г. $(0;+\infty)$
Д. $(-\infty;+\infty)$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Д, 2 — Г, 3 — Б, 4 — В
Завдання 28
На рисунках (1–4) зображено куб і три точки, що розміщені у вершинах куба або є серединами його ребер. Установіть відповідність між кожним рисунком (1–4) та назвою фігури (А – Д), яка є перерізом куба площиною, що проходить через три задані точки.
А. трикутник
Б. прямокутник
В. трапеція
Г. п’ятикутник
Д. ромб
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — В, 2 — А, 3 — Д, 4 — Б
Завдання 29
Знайдіть значення похідної функції $f(x)=\sqrt{10-3x}$ у точці $x_0=-2$.
Відповідь
Правильна відповідь: -0.375
Завдання 30
$4$ кг огірків і $5$ кг помідорів коштували $44$ гривні. Після того як огірки подорожчали на $50\ \%$, а помідори подешевшали на $40\ \%$, за $4$ кг огірків і $5$ кг помідорів заплатили $39$ гривень. Знайдіть початкову вартість $x$ одного кілограма огірків і початкову вартість $y$ одного кілограма помідорів. У відповідь запишіть суму $x+y$ (у грн).
Функцію $y=x^4+2x-3$, визначену на множині всіх дійсних чисел, подайте у вигляді $y=f(x)+g(x)$, де $f(x)$ – парна функція, $g(x)$ – непарна функція. У відповідь запишіть значення виразу $f(-1)-4\cdot g(3)$.
Відповідь
Правильна відповідь: -26
Завдання 33
Розв’яжіть рівняння $\dfrac{2\cos x+1}{\sqrt{27+6x-x^2}}=0$. У відповідь запишіть кількість усіх його коренів. Якщо рівняння має безліч коренів, то у відповідь запишіть число $100$.
Відповідь
Правильна відповідь: 4
Завдання 34
Точки $K$ і $L$ – середини сторін $AB$ і $AD$ паралелограма $ABCD$ (див. рисунок). Знайдіть площу п’ятикутника $KBCDL$ (у см$^2$), якщо площа паралелограма $ABCD$ дорівнює $24$ см$^2$.
Відповідь
Правильна відповідь: 21
Завдання 35
Знайдіть найбільше значення параметра $a$, при якому рівняння $\left|x^2-3|x|-4\right|=a$ має тільки чотири корені. Якщо такого значення $a$ не існує, то у відповідь запишіть число $100$.
Відповідь
Правильна відповідь: 6.25
Завдання 36
У правильну чотирикутну піраміду вписано сферу, площа якої дорівнює $36\pi$ см$^2$. Бічна грань піраміди нахилена до площини її основи під кутом $60^\circ$. Знайдіть об’єм піраміди (у см$^3$).
