ЗНО 2018 з математики · додаткова сесія

Офіційні завдання ЗНО 2018 року з математики — 35 завдань, 210 хв, максимум 48 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «Якщо \dfrac{a}{b} = \dfrac{2}{7}, то \dfrac{b}{a} =…»

⏱ Пройти як на ЗНО Тренування з перевіркою

Завдання 1

Якщо $\dfrac{a}{b} = \dfrac{2}{7}$, то $\dfrac{b}{a} =$
  1. А. $-\dfrac{7}{2}$
  2. Б. $\dfrac{7}{2}$
  3. В. $\dfrac{2}{7}$
  4. Г. $-\dfrac{2}{7}$
  5. Д. $\dfrac{5}{7}$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $\dfrac{7}{2}$

Завдання 2

Рисунок до завдання 2
Дві дороги розходяться на рівнинній місцевості як промені $OA$ та $OB$, позначені на рисунку. Перша дорога (промінь $OA$) утворює кут $40^\circ$ з напрямком «схід», а друга (промінь $OB$) – кут $20^\circ$ з напрямком «південь». Який кут утворюють ці дороги між собою?
  1. А. $90^\circ$
  2. Б. $100^\circ$
  3. В. $110^\circ$
  4. Г. $120^\circ$
  5. Д. $130^\circ$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $110^\circ$

Завдання 3

Цукерки, що лежать у коробці, можна порівну поділити між двома або трьома дітьми, але не можна поділити порівну між чотирма дітьми. Якому з наведених значень може дорівнювати кількість цукерок у цій коробці?
  1. А. 36
  2. Б. 40
  3. В. 42
  4. Г. 48
  5. Д. 50
Відповідь
Правильна відповідь: В — 42

Завдання 4

Рисунок до завдання 4
На рисунку зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на проміжку $[-4;\,5]$. Точка $(x_0;\,-2)$ належить графіку цієї функції. Визначте абсцису $x_0$ цієї точки.
  1. А. 3
  2. Б. 2
  3. В. 0
  4. Г. $-2$
  5. Д. $-3$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $-3$

Завдання 5

Якому проміжку належить корінь рівняння $2x - 3 = 4$?
  1. А. $(-\infty;\,-2)$
  2. Б. $[-2;\,0)$
  3. В. $[0;\,2)$
  4. Г. $[2;\,4)$
  5. Д. $[4;\,+\infty)$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $[2;\,4)$

Завдання 6

Рисунок до завдання 6
Площа великого круга кулі (див. рисунок) дорівнює $S$. Визначте площу сфери, що обмежує цю кулю.
  1. А. $4S$
  2. Б. $S^2$
  3. В. $\dfrac{4S}{3}$
  4. Г. $2S$
  5. Д. $\dfrac{S}{4}$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $4S$

Завдання 7

Укажіть число, що є коренем рівняння $-\log_2 x = 3$.
  1. А. $-9$
  2. Б. $-8$
  3. В. $-6$
  4. Г. $\dfrac{1}{8}$
  5. Д. $\dfrac{1}{9}$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $\dfrac{1}{8}$

Завдання 8

У просторі задано пряму $m$ і точку $A$, яка не належить $m$. Які з наведених тверджень є правильними?
I. Через точку $A$ і пряму $m$ можна провести лише одну площину.
II. Через точку $A$ можна провести лише одну площину, паралельну прямій $m$.
III. Через точку $A$ можна провести лише одну площину, перпендикулярну до прямої $m$.
  1. А. лише I і II
  2. Б. лише I і III
  3. В. лише III
  4. Г. лише II і III
  5. Д. I, II і III
Відповідь
Правильна відповідь: Б — лише I і III

Завдання 9

Укажіть ескіз графіка функції $y = x^3 - 1$.
  1. А.
  2. Б.
  3. В.
  4. Г.
  5. Д.
Відповідь
Правильна відповідь: Г —

Завдання 10

$\dfrac{\cos(90^\circ + \alpha)}{\sin\alpha} =$
  1. А. $-1$
  2. Б. $\operatorname{ctg}\alpha$
  3. В. $\operatorname{tg}\alpha$
  4. Г. $-\operatorname{ctg}\alpha$
  5. Д. 1
Відповідь
Правильна відповідь: А — $-1$

Завдання 11

Рисунок до завдання 11
У групі з 20 учнів 11 класу провели анкетування, щоб з'ясувати, скільки приблизно годин на день кожен з них користується Інтернетом. Відповіді учнів відображено на діаграмі (див. рисунок). Визначте, скільки часу на день (у год) у середньому учень з цієї групи користується Інтернетом.
  1. А. 2,9
  2. Б. 2,5
  3. В. 2
  4. Г. 3
  5. Д. 3,2
Відповідь
Правильна відповідь: А — 2,9

Завдання 12

Якщо $x^2 - y^2 = 7$ і $3x + 3y = 63$, то $x - y =$
  1. А. 14
  2. Б. 147
  3. В. $-\dfrac{1}{3}$
  4. Г. $-3$
  5. Д. $\dfrac{1}{3}$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $\dfrac{1}{3}$

Завдання 13

У паралелограмі $ABCD$ на стороні $AD$ вибрано точку $K$. Діагональ $AC$ і відрізок $BK$ перетинаються в точці $O$. Визначте довжину сторони $BC$, якщо $AK = 12$ см, $OK = 2$ см, $OB = 3$ см.
  1. А. 24 см
  2. Б. 18 см
  3. В. 16 см
  4. Г. 15 см
  5. Д. 8 см
Відповідь
Правильна відповідь: Б — 18 см

Завдання 14

Якщо $2^a = 3$, то $4^{a + 1} =$
  1. А. 12
  2. Б. 13
  3. В. 18
  4. Г. 36
  5. Д. 64
Відповідь
Правильна відповідь: Г — 36

Завдання 15

Укажіть з-поміж наведених функцію $f(x)$, якщо для кожного $x$ з області її визначення виконується рівність $f(-x) = -f(x)$.
  1. А. $f(x) = x^2$
  2. Б. $f(x) = 3^x$
  3. В. $f(x) = 2x + 5$
  4. Г. $f(x) = \log_3 x$
  5. Д. $f(x) = \dfrac{2}{x}$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $f(x) = \dfrac{2}{x}$

Завдання 16

Обчисліть об'єм правильної трикутної призми, бічні грані якої є квадратами, а площа основи дорівнює $9\sqrt{3}$ см2.
  1. А. $54\sqrt{3}$ см3
  2. Б. $27\sqrt{3}$ см3
  3. В. 27 см3
  4. Г. $\dfrac{27}{2}\sqrt{3}$ см3
  5. Д. $162\sqrt{3}$ см3
Відповідь
Правильна відповідь: А — $54\sqrt{3}$ см3

Завдання 17

Укажіть проміжок, якому належить значення виразу $(1 - \sqrt{2})^2$.
  1. А. $(-3;\,0)$
  2. Б. $[0;\,0{,}5)$
  3. В. $[0{,}5;\,1)$
  4. Г. $[1;\,2)$
  5. Д. $[2;\,5)$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $[0;\,0{,}5)$

Завдання 18

Укажіть похідну функції $y = -\dfrac{7}{6}x^6 + 5x^4 - 14$.
  1. А. $y' = -\dfrac{x^7}{6} + x^5 - 14x$
  2. Б. $y' = -7x^5 + 20x^3 - 14$
  3. В. $y' = -7x^5 + 20x^3$
  4. Г. $y' = -7x^7 + 25x^5$
  5. Д. $y' = -\dfrac{7}{36}x^5 + \dfrac{5}{4}x^3$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $y' = -7x^5 + 20x^3$

Завдання 19

Рисунок до завдання 19
Автомобіль, задні дверцята якого відкриваються так, як зображено на рисунку, під'їжджає заднім ходом по горизонтальній поверхні $CA$ перпендикулярно до вертикальної стіни $AB$. Укажіть серед наведених найменшу відстань $d$ від автомобіля до стіни $AB$, за якої задні дверцята автомобіля зможуть із зачиненого стану $KP$ безперешкодно набувати зображеного на рисунку положення $KP'$. $KP' = KP = 0{,}9$ м, $\cos\beta = 0{,}3$. Наявністю заднього бампера автомобіля знехтуйте.
  1. А. 0,85 м
  2. Б. 0,8 м
  3. В. 0,75 м
  4. Г. 0,7 м
  5. Д. 0,6 м
Відповідь
Правильна відповідь: Г — 0,7 м

Завдання 20

Розв'яжіть нерівність $|x + 4|\cdot(x - 1) < 0$.
  1. А. $(-\infty;\,-4) \cup (1;\,+\infty)$
  2. Б. $(-4;\,1)$
  3. В. $(-\infty;\,1)$
  4. Г. $(-1;\,4)$
  5. Д. $(-\infty;\,-4) \cup (-4;\,1)$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $(-\infty;\,-4) \cup (-4;\,1)$

Завдання 21

Рисунок до завдання 21
На рисунках (1–4) зображено графіки функцій, кожна з яких визначена на проміжку $[-2;\,2]$. Установіть відповідність між графіком функції (1–4) та властивістю (А – Д), що має ця функція.
Графік функції
  1. рисунок 1
  2. рисунок 2
  3. рисунок 3
  4. рисунок 4
Властивість функції
  1. А. графік функції не перетинає графік функції $y = \operatorname{tg} x$
  2. Б. графік функції є фрагментом графіка функції $y = x^2 - 1$
  3. В. множиною значень функції є проміжок $[-1;\,2]$
  4. Г. функція спадає на проміжку $[-2;\,2]$
  5. Д. функція зростає на проміжку $[-2;\,2]$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — Б, 3 — В, 4 — Д

Завдання 22

Нехай $a$ – довільне додатне число. Установіть відповідність між виразом (1–4) та тотожно рівним йому виразом (А – Д).
Вираз
  1. $(3a^3)^2$
  2. $\sqrt[3]{27a^6}$
  3. $\dfrac{27a^6}{9a^3}$
  4. $3^{2 + \log_3 a^3}$
Тотожно рівний вираз
  1. А. $9a^6$
  2. Б. $9a^3$
  3. В. $9a^5$
  4. Г. $3a^3$
  5. Д. $3a^2$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — А, 2 — Д, 3 — Г, 4 — Б

Завдання 23

Рисунок до завдання 23
На рисунку зображено квадрат $ABCD$ і ромб $CKMD$, які лежать в одній площині. Периметр ромба дорівнює 48 см, а його гострий кут – $60^\circ$. До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
  1. Довжина сторони квадрата $ABCD$ дорівнює
  2. Довжина більшої діагоналі ромба $CKMD$ дорівнює
  3. Відстань від точки $M$ до сторони $CD$ дорівнює
  4. Відстань від точки $K$ до прямої $AD$ дорівнює
Закінчення речення
  1. А. 6 см.
  2. Б. $6\sqrt{3}$ см.
  3. В. 12 см.
  4. Г. $12\sqrt{3}$ см.
  5. Д. 18 см.
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — В, 2 — Г, 3 — Б, 4 — Д

Завдання 24

Рисунок до завдання 24
У циліндр з радіусом основи 3 см і висотою 4 см вписано конус (див. рисунок). До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
  1. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює
  2. Площа повної поверхні циліндра дорівнює
  3. Площа основи конуса дорівнює
  4. Площа бічної поверхні конуса дорівнює
Закінчення речення
  1. А. $9\pi$ см2.
  2. Б. $12\pi$ см2.
  3. В. $15\pi$ см2.
  4. Г. $24\pi$ см2.
  5. Д. $42\pi$ см2.
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — Д, 3 — А, 4 — В

Завдання 25.1

На клумбі висадили рядами 125 кущів троянд з однаковою кількістю кущів у кожному ряду. Виявилось, що кількість рядів на 20 менша за кількість кущів у кожному ряду.
1. Скільки висадили кущів троянд у кожному ряду?
Відповідь
Правильна відповідь: 25

Завдання 25.2

(Умова завдання 25.) 2. Узимку в першому ряду зазнали ушкоджень 16 % кущів троянд. Скільки кущів троянд у першому ряду перезимували неушкодженими?
Відповідь
Правильна відповідь: 21

Завдання 26.1

Рисунок до завдання 26.1
У прямокутник $ABCD$ вписано два кола із центрами в точках $O_1$ та $O_2$, кожне з яких дотикається до трьох сторін прямокутника й одне до одного (див. рисунок). Сума довжин уписаних кіл дорівнює $16\pi$.
1. Визначте довжину відрізка $O_1O_2$.
Відповідь
Правильна відповідь: 8

Завдання 26.2

Рисунок до завдання 26.2
(Умова завдання 26.) 2. Обчисліть площу чотирикутника $BO_1O_2C$.
Відповідь
Правильна відповідь: 48

Завдання 27

Третій член арифметичної прогресії вдвічі більший за її перший член. Визначте різницю цієї прогресії, якщо сума перших п'яти її членів дорівнює 190.
Відповідь
Правильна відповідь: 9.5

Завдання 28

Лідія редагує 80 сторінок рукопису у 8 разів швидше, ніж Максим редагує 480 сторінок. Скільки сторінок відредагує Максим за той самий час, за який Лідія відредагує 320 сторінок? Уважайте, що продуктивність роботи і Лідії, і Максима є сталою.
Відповідь
Правильна відповідь: 240

Завдання 29

Піцерія пропонує послугу «Зроби піцу сам», що передбачає вибір клієнтом добавок для піци. Поміж добавок – 8 м'ясних (шинка, ковбаса та інші) і 9 овочевих (цибуля, перець та інші). Клієнт вибирає 2 м'ясні добавки, однією з яких обов'язково має бути шинка, і 3 – овочевих, за винятком цибулі. Скільки всього існує варіантів такого вибору добавок клієнтом?
Відповідь
Правильна відповідь: 392

Завдання 30

У прямокутній системі координат на площині $xy$ навколо трикутника $ABC$ описано коло, задане рівнянням $x^2 + y^2 - 4x = 68$. Визначте довжину сторони $BC$, якщо $\angle A = 45^\circ$.
Відповідь
Правильна відповідь: 12

Завдання 31

Задано функції $f(x) = \sqrt{x}$ і $g(x) = 6 - x$.
1. Побудуйте графік функції $f$.
2. Побудуйте графік функції $g$.
3. Визначте абсцису точки перетину графіків функцій $f$ і $g$.
4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій $f$ і $g$ та віссю $y$.
Розв'язання
3. $x_1 = 4$.
4. $S = 10\dfrac{2}{3}$.

Завдання 32

У правильній чотирикутній піраміді $SABCD$ через діагональ $BD$ основи перпендикулярно до бічного ребра $SC$ проведено площину $\gamma$. Ця площина утворює з площиною основи піраміди кут $\alpha$. Висота піраміди дорівнює $H$.
1. Побудуйте переріз піраміди $SABC$ площиною $\gamma$.
2. Обґрунтуйте вид перерізу.
3. Визначте площу перерізу.
Розв'язання
$\dfrac{H^2\sin\alpha\,\operatorname{tg}\alpha}{2}$.

Завдання 33

Розв'яжіть нерівність $\dfrac{(9x^2 - 36x + 36)(a - 4)}{2^x - a} \geqslant 0$ залежно від значень параметра $a$.
Розв'язання
Якщо $a \in (-\infty;\,0]$, то $x = 2$;
якщо $a \in (0;\,4)$, то $x \in (-\infty;\,\log_2 a) \cup \{2\}$;
якщо $a = 4$, то $x \in (-\infty;\,2) \cup (2;\,+\infty)$;
якщо $a \in (4;\,+\infty)$, то $x \in \{2\} \cup (\log_2 a;\,+\infty)$.
⏱ Пройти цей тест онлайн

Інші варіанти з математики

Завдання — офіційні матеріали Українського центру оцінювання якості освіти (testportal.gov.ua).