ЗНО 2019 з математики · додаткова сесія

Офіційні завдання ЗНО 2019 року з математики — 35 завдань, 210 хв, максимум 48 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «Спростіть вираз 2a - (3b - 2a).…»

⏱ Пройти як на ЗНО Тренування з перевіркою

Завдання 1

Спростіть вираз $2a - (3b - 2a)$.

А. $-3b$
Б. $4a - 3b$
В. $-6ab - 4a$
Г. $-6ab + 4a$
Д. $-6ab - 4a^2$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $4a - 3b$

Завдання 2

На рисунку зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на проміжку $[-2;\,4]$. Цей графік перетинає вісь $y$ в одній із зазначених точок. Укажіть цю точку.

А. $(4;\,0)$
Б. $(3;\,4)$
В. $(0;\,3)$
Г. $(3;\,0)$
Д. $(0;\,4)$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $(0;\,4)$

Завдання 3

Укажіть число, що є розв'язком нерівності $x^2 < 9$.

А. $-8$
Б. $-4{,}5$
В. $-2$
Г. 3
Д. 8

Відповідь

Правильна відповідь: В — $-2$

Завдання 4

Бісектриса кута $A$ прямокутника $ABCD$ перетинає сторону $BC$ і діагональ $BD$ в точках $K$ і $P$ відповідно (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $BPK$, якщо $\angle BDA = 30^\circ$.

А. $105^\circ$
Б. $115^\circ$
В. $75^\circ$
Г. $95^\circ$
Д. $125^\circ$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $105^\circ$

Завдання 5

У супермаркеті проходить акція: купуєш три однакові шоколадки «Спокуса» – таку саму четверту супермаркет надає безкоштовно. Ціна кожної такої шоколадки – 35 грн. Покупець має у своєму розпорядженні 220 грн. Яку максимальну кількість шоколадок «Спокуса» він зможе отримати, узявши участь в акції?

А. 5
Б. 6
В. 7
Г. 8
Д. 9

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 8

Завдання 6

Розгортку якого з наведених многогранників зображено на рисунку?

Відповідь

Правильна відповідь: Б —

Завдання 7

Розв'яжіть нерівність $2^{4x - 5} \geqslant 2$.

А. $[1{,}5;\,+\infty)$
Б. $[1{,}25;\,+\infty)$
В. $[-1;\,+\infty)$
Г. $(-\infty;\,-1]$
Д. $\left[\dfrac{2}{3};\,+\infty\right)$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $[1{,}5;\,+\infty)$

Завдання 8

Укажіть ескіз графіка функції $y = \log_{\frac{1}{4}} x$.

Відповідь

Правильна відповідь: Д —

Завдання 9

На діаграмі відображено інформацію про кількість відвідувачів кінотеатру на кожному із шести сеансів. Укажіть усі сеанси, на яких відвідувачів було не менше ніж 170 осіб.

А. III, IV, V, VI
Б. III, V, VI
В. I, II, IV
Г. III, V
Д. I, II

Відповідь

Правильна відповідь: А — III, IV, V, VI

Завдання 10

Укажіть формулу для обчислення висоти $H$ циліндра, площа основи якого дорівнює $S$, а об'єм – $V$.

А. $H = \dfrac{S}{V}$
Б. $H = \dfrac{V}{S}$
В. $H = VS$
Г. $H = \dfrac{V}{3S}$
Д. $H = \dfrac{3V}{S}$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $H = \dfrac{V}{S}$

Завдання 11

Спростіть вираз $\dfrac{9 - x^2}{x^2 + 6x + 9}$.

А. $\dfrac{3 - x}{x + 3}$
Б. $\dfrac{x - 3}{x + 3}$
В. $3 - x$
Г. $\dfrac{1}{x + 3}$
Д. $\dfrac{1}{6x}$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $\dfrac{3 - x}{x + 3}$

Завдання 12

Графік довільної функції $y = f(x)$ паралельно перенесли вздовж осі $x$ на 2 одиниці праворуч. Графік якої з наведених функцій отримали?

А. $y = f(x + 2)$
Б. $y = f(x) + 2$
В. $y = 2f(x)$
Г. $y = f(x) - 2$
Д. $y = f(x - 2)$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $y = f(x - 2)$

Завдання 13

Спростіть вираз $2\sin^2\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha$.

А. $\cos 2\alpha$
Б. $2\cos 2\alpha$
В. $\dfrac{2\sin^3\alpha}{\cos\alpha}$
Г. $2\sin 2\alpha$
Д. $\sin 2\alpha$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $\sin 2\alpha$

Завдання 14

Які з наведених тверджень є правильними?
I. У будь-який трикутник можна вписати коло.
II. У будь-який прямокутник можна вписати коло.
III. У будь-який ромб можна вписати коло.

А. лише I
Б. лише II і III
В. лише I і II
Г. лише I і III
Д. I, II і III

Відповідь

Правильна відповідь: Г — лише I і III

Завдання 15

Якому проміжку належить значення виразу $\dfrac{-1 + \sqrt{27}}{2}$?

А. $(-\infty;\,0)$
Б. $[0;\,1)$
В. $[1;\,2)$
Г. $[2;\,3)$
Д. $[3;\,+\infty)$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $[2;\,3)$

Завдання 16

Периметр основи правильної трикутної призми дорівнює 12 см, а периметр її бічної грані – 20 см. Визначте площу бічної поверхні призми.

А. 24 см²
Б. 60 см²
В. 72 см²
Г. 84 см²
Д. 96 см²

Відповідь

Правильна відповідь: В — 72 см²

Завдання 17

Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} 2x + 5y = 5, \\ x - 2y = 7. \end{cases}$ Для одержаного розв'язку $(x_0;\,y_0)$ системи обчисліть суму $x_0 + y_0$.

А. 2
Б. 12
В. 3
Г. 5
Д. 4

Відповідь

Правильна відповідь: Д — 4

Завдання 18

На рисунку зображено графіки функцій $y = \sqrt{x}$ та $y = \dfrac{x}{2}$. Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

А. $\displaystyle\int_0^2 \left(\sqrt{x} - \dfrac{x}{2}\right)dx$
Б. $\displaystyle\int_0^2 \left(\dfrac{x}{2} - \sqrt{x}\right)dx$
В. $\displaystyle\int_0^4 \left(\sqrt{x} - \dfrac{x}{2}\right)dx$
Г. $\displaystyle\int_0^4 \left(\dfrac{x}{2} - \sqrt{x}\right)dx$
Д. $\displaystyle\int_0^4 \left(\dfrac{x}{2} + \sqrt{x}\right)dx$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $\displaystyle\int_0^4 \left(\sqrt{x} - \dfrac{x}{2}\right)dx$

Завдання 19

Перед світлофором на горизонтальній дорозі $AB$ зупиняється автобус. Найбільший кут $MKN$, під яким водієві автобуса видно світлофор повністю, дорівнює $30^\circ$ (див. рисунок). Проекція відрізка $KM$ на пряму $AB$ паралельна напрямку $KN$ руху автобуса, $LP \perp AB$. $KL = 0{,}6$ м, $LP = 1{,}6$ м. Світлофор установлено на висоті $h = 4{,}6$ м над дорогою. Укажіть з-поміж наведених найменшу відстань $d$ від точки $A$ до точки $P$ місця зупинки автобуса, за якої світлофор повністю потраплятиме в поле зору водія.

А. 3,6 м
Б. 4 м
В. 4,4 м
Г. 4,7 м
Д. 5,2 м

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 4,7 м

Завдання 20

Розв'яжіть рівняння $\cos(3x) = \dfrac{1}{2}$.

А. $\pm\dfrac{\pi}{9} + \dfrac{2}{3}\pi k,\ k \in Z$
Б. $(-1)^k\pi + 3\pi k,\ k \in Z$
В. $\pm\pi + 6\pi k,\ k \in Z$
Г. $(-1)^k\dfrac{\pi}{9} + \dfrac{1}{3}\pi k,\ k \in Z$
Д. $\pm\dfrac{\pi}{9} + \dfrac{1}{3}\pi k,\ k \in Z$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $\pm\dfrac{\pi}{9} + \dfrac{2}{3}\pi k,\ k \in Z$

Завдання 21

Установіть відповідність між функцією (1–4) та її властивістю (А – Д).

Функція

$y = x^2$
$y = x^3 + 1$
$y = 3 - x$
$y = \sin x$

Властивість

А. спадає на всій області визначення
Б. зростає на всій області визначення
В. непарна
Г. парна
Д. областю значень функції є проміжок $(0;\,+\infty)$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — Б, 3 — А, 4 — В

Завдання 22

Установіть відповідність між виразом (1–4) та тотожно рівним йому виразом (А – Д), якщо $a$ – довільне додатне число.

Вираз

$a^{-1}$
$\sqrt{(-a)^2}$
$5 : \dfrac{1}{5a}$
$25^{\log_5 a}$

Тотожно рівний вираз

А. $-a$
Б. $\dfrac{1}{a}$
В. $a$
Г. $a^2$
Д. $25a$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — В, 3 — Д, 4 — Г

Завдання 23

Основи $BC$ й $AD$ рівнобічної трапеції $ABCD$ дорівнюють 7 см і 25 см відповідно. Діагональ трапеції $BD$ перпендикулярна до бічної сторони $AB$. До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

Середня лінія трапеції дорівнює
Проекція сторони $AB$ на пряму $AD$ дорівнює
Висота трапеції дорівнює
Сторона $AB$ трапеції дорівнює

Закінчення речення

А. 9 см.
Б. 12 см.
В. 15 см.
Г. 16 см.
Д. 18 см.

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — А, 3 — Б, 4 — В

Завдання 24

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

Пряма $CB$
Пряма $CD_1$
Пряма $AC$
Пряма $A_1B$

Закінчення речення

А. паралельна площині $AA_1B_1B$.
Б. перпендикулярна до площини $AA_1B_1B$.
В. належить площині $AA_1B_1B$.
Г. має з площиною $AA_1B_1B$ лише дві спільні точки.
Д. утворює з площиною $AA_1B_1B$ кут $45^\circ$.

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — А, 3 — Д, 4 — В

Завдання 25.1

У дитячому шаховому клубі функціонують лише молодша й старша групи. Старшу групу відвідують 27 дітей. Відвідувачі молодшої групи становлять 46 % від загальної кількості відвідувачів обох груп шахового клубу.
1. Визначте кількість дітей у молодшій групі.

Відповідь

Правильна відповідь: 23

Завдання 25.2

(Умова завдання 25.) 2. Скільки дітей потрібно додатково набрати в молодшу групу за умови незмінності кількості дітей старшої групи, щоб відношення кількості відвідувачів молодшої групи до кількості відвідувачів старшої групи становило 4 : 3?

Відповідь

Правильна відповідь: 13

Завдання 26.1

На рисунку зображено квадрат $ABCD$. Точки $K$, $L$, $M$ належать сторонам $BC$, $CD$ та $AD$ відповідно, $BK = 8$ см. Трикутники $KCL$ та $LDM$ рівні, $KC = LD = 15$ см.
1. Визначте довжину відрізка $KL$ (у см).

Відповідь

Правильна відповідь: 17

Завдання 26.2

(Умова завдання 26.) 2. Обчисліть площу трикутника $KLM$ (у см²).

Відповідь

Правильна відповідь: 144.5

Завдання 27

Укажіть ненульове значення $x$, за якого значення виразів $x - 8$, $3x$ та $6x$ є послідовними членами геометричної прогресії.

Відповідь

Правильна відповідь: -16

Завдання 28

Шлях від пристані $A$ до пристані $B$ теплохід, що рухається за течією річки, долає за 2 години. На зворотний шлях він витрачає на 15 хвилин більше. Швидкість течії річки дорівнює 2 км/год, власна швидкість теплохода є сталою. Визначте власну швидкість теплохода (у км/год).

Відповідь

Правильна відповідь: 34

Завдання 29

У магазині в продажу є 6 видів тарілок, 8 видів блюдець та 12 видів чашок. Олена збирається купити бабусі в подарунок у цьому магазині або чашку та блюдце, або лише тарілку. Скільки всього є способів в Олени купити бабусі такий подарунок?

Відповідь

Правильна відповідь: 102

Завдання 30

Центр кола, заданого рівнянням $x^2 - 8x + y^2 + 7 = 0$, збігається з точкою перетину діагоналей $AC$ і $BD$ паралелограма $ABCD$. Обчисліть площу цього паралелограма, якщо $A(-4;\,-3)$ і $B(0;\,3)$.

Відповідь

Правильна відповідь: 72

Завдання 31

Задано функції $f(x) = \dfrac{3}{x}$ і $g(x) = 5 - 3x$.
1. Побудуйте графік функції $f$.
2. Побудуйте графік функції $g$.
3. Знайдіть похідну функції $f$.
4. До графіка функції $f$ проведено дотичні, паралельні графіку функції $g$. Визначте абсциси точок дотику.

Розв'язання

3. $f'(x) = -\dfrac{3}{x^2}$.
4. $x_1 = -1$; $x_2 = 1$.

Завдання 32

У конусі радіус основи дорівнює $R$, твірна – $l$. Через вершину конуса й хорду його основи проведено площину $\beta$. Ця площина утворює з площиною основи конуса гострий кут $\alpha$.
1. Зобразіть переріз конуса площиною $\beta$ та вкажіть його вид.
2. Обґрунтуйте положення кута $\alpha$.
3. Визначте периметр цього перерізу.

Розв'язання

$P = 2l + \dfrac{2}{\sin\alpha}\sqrt{R^2 - l^2\cos^2\alpha}$.

Завдання 33

Задано систему нерівностей $\begin{cases} \dfrac{3x + 6}{x} \leqslant 0, \\ \log_{\frac{a}{2}}(x - a + 2)^2 \geqslant 2\log_{\frac{a}{2}}(a - 1), \end{cases}$ де $x$ – змінна, $a$ – додатна стала.
1. Розв'яжіть першу нерівність цієї системи.
2. Визначте множину розв'язків другої нерівності системи залежно від значень $a$.
3. Визначте всі розв'язки системи залежно від значень $a$.

Розв'язання

1. $x \in [-2;\,0)$.
2. $x \in (-\infty;\,-1] \cup [2a - 3;\,+\infty)$, якщо $a \in (2;\,+\infty)$;
$x \in [-1;\,a - 2) \cup (a - 2;\,2a - 3]$, якщо $a \in (1;\,2)$.
3. $x \in [-2;\,-1]$, якщо $a \in (2;\,+\infty)$;
$x \in [-1;\,a - 2) \cup (a - 2;\,2a - 3]$, якщо $a \in (1;\,1{,}5)$;
$x \in [-1;\,a - 2) \cup (a - 2;\,0)$, якщо $a \in [1{,}5;\,2)$.

⏱ Пройти цей тест онлайн

Інші варіанти з математики

Завдання — офіційні матеріали Українського центру оцінювання якості освіти (testportal.gov.ua).