ЗНО 2012 з математики · сесія 1

Офіційні завдання ЗНО 2012 року з математики — 32 завдання, 150 хв, максимум 52 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «Два кола з центрами в точках O і O_1 мають внутрішній дотик (див. рисунок). Обчисліть відс…»

⏱ Пройти як на ЗНО Тренування з перевіркою

Завдання 1

Два кола з центрами в точках $O$ і $O_1$ мають внутрішній дотик (див. рисунок). Обчисліть відстань $OO_1$, якщо радіуси кіл дорівнюють 12 см і 8 см.

А. 1,5 см
Б. 2 см
В. 3 см
Г. 4 см
Д. 8 см

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 4 см

Завдання 2

Знайдіть область визначення функції $y = 2 - \dfrac{1}{x}$.

А. $(-\infty;\,+\infty)$
Б. $(-\infty;\,0) \cup (0;\,+\infty)$
В. $(-\infty;\,0) \cup \left(\dfrac{1}{2};\,+\infty\right)$
Г. $\left(-\infty;\,\dfrac{1}{2}\right) \cup \left(\dfrac{1}{2};\,+\infty\right)$
Д. $\left(0;\,\dfrac{1}{2}\right)$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $(-\infty;\,0) \cup (0;\,+\infty)$

Завдання 3

На діаграмі відображено кількість відвідувачів Музею Води протягом одного робочого тижня (з вівторка до неділі). У який день тижня кількість відвідувачів була вдвічі більшою, ніж у попередній день?

А. середа
Б. четвер
В. п'ятниця
Г. субота
Д. неділя

Відповідь

Правильна відповідь: В — п'ятниця

Завдання 4

Яка з наведених точок належить осі $Oz$ прямокутної системи координат у просторі?

А. $M(0;\,-3;\,0)$
Б. $N(3;\,0;\,-3)$
В. $K(-3;\,0;\,0)$
Г. $L(-3;\,3;\,0)$
Д. $F(0;\,0;\,-3)$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $F(0;\,0;\,-3)$

Завдання 5

На рисунку зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на проміжку $[-4;\,4]$. Знайдіть множину всіх значень $x$, для яких $f(x) \leqslant -2$.

А. $[0;\,3]$
Б. $[-3;\,2]$
В. $[-1;\,4]$
Г. $[-3;\,-2]$
Д. $[-4;\,0]$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $[0;\,3]$

Завдання 6

Два фахівці розробили макет рекламного оголошення. За роботу вони отримали 5000 грн, розподіливши гроші таким чином: перший отримав четверту частину зароблених грошей, а другий – решту. Скільки гривень отримав за цю роботу другий фахівець?

А. 1000 грн
Б. 1250 грн
В. 3000 грн
Г. 3750 грн
Д. 4000 грн

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 3750 грн

Завдання 7

Пряма $c$ перетинає паралельні прямі $a$ і $b$ (див. рисунок). Які з наведених тверджень є правильними для кутів 1, 2, 3?
I. $\angle 1$ і $\angle 3$ – суміжні.
II. $\angle 1 = \angle 2$.
III. $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$.

А. лише I
Б. лише I і III
В. лише III
Г. лише I і II
Д. I, II та III

Відповідь

Правильна відповідь: Д — I, II та III

Завдання 8

Запишіть числа $\sqrt[3]{2},\ 1,\ \sqrt[5]{3}$ в порядку зростання.

А. $1,\ \sqrt[3]{2},\ \sqrt[5]{3}$
Б. $1,\ \sqrt[5]{3},\ \sqrt[3]{2}$
В. $\sqrt[3]{2},\ \sqrt[5]{3},\ 1$
Г. $\sqrt[5]{3},\ 1,\ \sqrt[3]{2}$
Д. $\sqrt[3]{2},\ 1,\ \sqrt[5]{3}$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $1,\ \sqrt[5]{3},\ \sqrt[3]{2}$

Завдання 9

При якому значенні $x$ вектори $\vec{a}(2;\,x)$ і $\vec{b}(-4;\,10)$ перпендикулярні?

А. $-5$
Б. $-0{,}8$
В. 0,8
Г. 5
Д. 20

Відповідь

Правильна відповідь: В — 0,8

Завдання 10

На якому з наведених рисунків зображено ескіз графіка функції $y = 4 - (x - 1)^2$?

Відповідь

Правильна відповідь: Д —

Завдання 11

У залі кінотеатру 18 рядів. У першому ряду знаходяться 7 місць, а в кожному наступному ряду на 2 місця більше, ніж у попередньому. Скільки всього місць у цьому залі?

А. 432
Б. 438
В. 369
Г. 450
Д. 864

Відповідь

Правильна відповідь: А — 432

Завдання 12

Прямокутник із сторонами 8 см і 10 см обертається навколо меншої сторони (див. рисунок). Знайдіть площу повної поверхні отриманого тіла обертання.

А. $360\pi$ см²
Б. $160\pi$ см²
В. $260\pi$ см²
Г. $288\pi$ см²
Д. $800\pi$ см²

Відповідь

Правильна відповідь: А — $360\pi$ см²

Завдання 13

Якому проміжку належить значення виразу $\sin 410^\circ$?

А. $\left(-1;\,-\dfrac{1}{2}\right)$
Б. $\left(-\dfrac{1}{2};\,\dfrac{1}{2}\right)$
В. $\left(\dfrac{1}{2};\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
Г. $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2};\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
Д. $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};\,1\right)$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2};\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Завдання 14

З міст $A$ і $B$, відстань між якими по шосе становить 340 км, одночасно назустріч один одному виїхали автобус і маршрутне таксі зі сталими швидкостями 65 км/год і 80 км/год відповідно. Автобус і маршрутне таксі рухаються без зупинок і ще не зустрілися. За якою формулою можна обчислити відстань $S$ (у км) між автобусом і маршрутним таксі по шосе через $t$ годин після початку руху?

А. $S = 340 - 15t$
Б. $S = 340 + 145t$
В. $S = 15t - 340$
Г. $S = 145t - 340$
Д. $S = 340 - 145t$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $S = 340 - 145t$

Завдання 15

Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, а її апофема – 5 см. Визначте косинус кута між площиною бічної грані піраміди і площиною основи.

А. $\dfrac{1}{5}$
Б. $\dfrac{3}{5}$
В. $\dfrac{3}{4}$
Г. $\dfrac{4}{5}$
Д. $\dfrac{4}{3}$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $\dfrac{3}{5}$

Завдання 16

На рисунку зображено паралелограм $ABCD$, площа якого дорівнює 60 см². Точка $M$ належить стороні $BC$. Визначте площу фігури, що складається з двох зафарбованих трикутників.

А. 45 см²
Б. 40 см²
В. 35 см²
Г. 30 см²
Д. 20 см²

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 30 см²

Завдання 17

Розв'яжіть нерівність $\left(\dfrac{\pi}{4}\right)^x < \left(\dfrac{4}{\pi}\right)^3$.

А. $(-3;\,+\infty)$
Б. $(3;\,+\infty)$
В. $(-\infty;\,3)$
Г. $(-\infty;\,-3)$
Д. $\left(-\infty;\,\dfrac{1}{3}\right)$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $(-3;\,+\infty)$

Завдання 18

У прямокутнику $ABCD$: $BC = 80$, $AC = 100$. Через точки $M$ і $K$, що належать сторонам $AB$ і $BC$ відповідно, проведено пряму, паралельну $AC$. Знайдіть довжину більшої сторони трикутника $MBK$, якщо $BK = 20$.

А. 60
Б. 50
В. 30
Г. 25
Д. 15

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 25

Завдання 19

Укажіть множину всіх значень $a$, при яких виконується рівність $|a^3 - a^2| = a^3 - a^2$.

А. $[1;\,+\infty)$
Б. $\{0\} \cup [1;\,+\infty)$
В. $(-\infty;\,-1] \cup \{0\}$
Г. $[0;\,1]$
Д. $(-\infty;\,-1] \cup [1;\,+\infty)$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $\{0\} \cup [1;\,+\infty)$

Завдання 20

Функція $f(x)$ має в точці $x_0$ похідну $f'(x_0) = -4$. Визначте значення похідної функції $g(x) = 2\cdot f(x) + 7x - 3$ в точці $x_0$.

А. 15
Б. 12
В. $-1$
Г. $-4$
Д. $-8$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $-1$

Завдання 21

До кожного виразу (1–4) при $a > 0$ доберіть тотожно йому рівний (А – Д).

Вираз

$\dfrac{2a^5}{a^6}$
$(2a)^5\cdot a^6$
$(2a^6)^5$
$\sqrt[6]{64a^5}$

Тотожно рівний вираз

А. $32a^{11}$
Б. $2a^{\frac{5}{6}}$
В. $2a^{\frac{6}{5}}$
Г. $2a^{-1}$
Д. $32a^{30}$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — А, 3 — Д, 4 — Б

Завдання 22

Кожній точці (1–4) поставте у відповідність функцію (А – Д), графіку якої належить ця точка.

Точка

$O(0;\,0)$
$M(0;\,-1)$
$N(-1;\,0)$
$K(0;\,1)$

Функція

А. $y = 2x + 2$
Б. $y = \operatorname{ctg} x$
В. $y = \operatorname{tg} x$
Г. $y = \sqrt{x} - 1$
Д. $y = 2^x$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — В, 2 — Г, 3 — А, 4 — Д

Завдання 23

Розв'яжіть рівняння (1–4). Установіть відповідність між кожним рівнянням та кількістю його коренів (А – Д) на відрізку $[-5;\,5]$.

Рівняння

$\cos^2 x - \sin^2 x = 1$
$\log_3 x = -2$
$\dfrac{x^3 - 4x}{x^3 + 8} = 0$
$x^4 + 5x^2 + 4 = 0$

Кількість коренів на відрізку $[-5;\,5]$

А. жодного
Б. один
В. два
Г. три
Д. чотири

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — Б, 3 — В, 4 — А

Завдання 24

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

Пряма $CB$
Пряма $CD_1$
Пряма $AC$
Пряма $A_1B$

Закінчення речення

А. паралельна площині $AA_1B_1B$.
Б. перпендикулярна площині $AA_1B_1B$.
В. належить площині $AA_1B_1B$.
Г. має з площиною $AA_1B_1B$ лише дві спільні точки.
Д. утворює з площиною $AA_1B_1B$ кут $45^\circ$.

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — А, 3 — Д, 4 — В

Завдання 25

Батьки разом із двома дітьми: Марійкою (4 роки) та Богданом (7 років) – збираються провести вихідний день у парку атракціонів. Батьки дозволяють кожній дитині відвідати не більше трьох атракціонів і кожний атракціон – лише по одному разу. Відомо, що на атракціони «Електричні машинки» і «Веселі гірки» допускають лише дітей старше 6 років. На «Паровозик» Богдан не піде. Для відвідування будь-якого атракціону необхідно купити квиток для кожної дитини. Скориставшись таблицею, визначте максимальну суму коштів (у грн), що витратять батьки на придбання квитків для дітей.

Назва атракціону	Вартість 1 квитка для 1 дитини, грн
Веселі гірки	17
Паровозик	16
Електричні машинки	20
Карусель	12
Батут	15
Дитяча рибалка	8
Лебеді	13

Відповідь

Правильна відповідь: 96

Завдання 26

Скільки існує різних дробів $\dfrac{m}{n}$, якщо $m$ набуває значень 1; 2 або 4, а $n$ набуває значень 5; 7; 11; 13 або 17?

Відповідь

Правильна відповідь: 15

Завдання 27

Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} y - x = 9, \\ \dfrac{x + 8}{2y - 5} = 2. \end{cases}$ Запишіть у відповідь добуток $x_0\cdot y_0$, якщо пара $(x_0;\,y_0)$ є розв'язком цієї системи рівнянь.

Відповідь

Правильна відповідь: -18

Завдання 28

Обчисліть значення виразу $\log_a 500 - \log_a 4$, якщо $\log_5 a = \dfrac{1}{4}$.

Відповідь

Правильна відповідь: 12

Завдання 29

У трикутнику $ABC$ основа висоти $AK$ лежить на продовженні сторони $BC$ (див. рисунок). $AK = 6$, $KB = 2\sqrt{3}$. Радіус описаного навколо трикутника $ABC$ кола дорівнює $15\sqrt{3}$. Визначте довжину $AC$.

Відповідь

Правильна відповідь: 45

Завдання 30

Обчисліть $\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-5}^{0} \sqrt{25 - x^2}\,dx$, використовуючи рівняння кола $x^2 + y^2 = 25$, зображеного на рисунку.

Відповідь

Правильна відповідь: 6.25

Завдання 31

Основою прямої призми $ABCDA_1B_1C_1D_1$ є рівнобічна трапеція $ABCD$. Основа $AD$ трапеції дорівнює висоті трапеції і в шість разів більша за основу $BC$. Через бічне ребро $CC_1$ призми проведено площину паралельно ребру $AB$. Знайдіть площу утвореного перерізу (у см²), якщо об'єм призми дорівнює 672 см³, а її висота – 8 см.

Відповідь

Правильна відповідь: 104

Завдання 32

При якому найменшому цілому значенні параметра $a$ рівняння $\sqrt{2x + 15}\cdot\left(\sqrt{x^2 + 18x + 81} - \sqrt{x^2 - 10x + 25}\right) = a\sqrt{2x + 15}$ має лише два різні корені?

Відповідь

Правильна відповідь: -10

⏱ Пройти цей тест онлайн

Інші варіанти з математики

Завдання — офіційні матеріали Українського центру оцінювання якості освіти (testportal.gov.ua).