ЗНО 2018 з математики · пробний тест

Офіційні завдання ЗНО 2018 року з математики — 35 завдань, 210 хв, максимум 48 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «Запишіть число \frac 83 у вигляді десяткового дробу, округливши його до десятих.…»

⏱ Пройти як на ЗНО Тренування з перевіркою

Завдання 1

Запишіть число $\frac 83$ у вигляді десяткового дробу, округливши його до десятих.

А. $2\mathord{,}6$
Б. $2\mathord{,}66$
В. $2\mathord{,}67$
Г. $2\mathord{,}7$
Д. $8\mathord{,}3$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $2\mathord{,}7$

Завдання 2

На рисунку зображено графік лінійної функції, що перетинає вісь абсцис в одній з наведених точок. Укажіть цю точку.

А. $(0; -2)$
Б. $(4; -2)$
В. $(0; 4)$
Г. $(-2; 0)$
Д. $(4; 0)$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $(4; 0)$

Завдання 3

Укажіть число, що є коренем рівняння $5^{x-2}=25.$

А. $7$
Б. $4$
В. $3$
Г. $2$
Д. $1$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $4$

Завдання 4

Рівносторонній трикутник $ABC$ та пряма $KM$, що проходить через точку $B$, лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $KBA$, якщо $\angle CBM=85^\circ.$

А. $45^\circ$
Б. $35^\circ$
В. $30^\circ$
Г. $25^\circ$
Д. $15^\circ$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $35^\circ$

Завдання 5

Спростіть вираз $a^4\cdot \sqrt{a^6}$, де $a\ge 0.$

А. $a^{12}$
Б. $a^{10}$
В. $a^{8}$
Г. $a^{7}$
Д. $a^{5}$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $a^{7}$

Завдання 6

Площа однієї грані куба дорівнює $12$ см$^2.$ Визначте довжину діагоналі куба.

А. $6$ см
Б. $3\sqrt{3}$ см
В. $2\sqrt{6}$ см
Г. $3\sqrt{2}$ см
Д. $8$ см

Відповідь

Правильна відповідь: А — $6$ см

Завдання 7

Укажіть суму коренів рівняння $|x-1|=6.$

А. $-2$
Б. $0$
В. $2$
Г. $7$
Д. $12$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $2$

Завдання 8

Спростіть вираз $$\frac{(a-b)^2-b^2}{a}.$$

А. $a$
Б. $a-2b$
В. $a-b$
Г. $a+b$
Д. $a-2b^2$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $a-2b$

Завдання 9

У таблиці відображено інформацію щодо кількості відвідувачів кінотеатру протягом семи днів тижня.

День тижня	Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Нд
Кількість відвідувачів	$124$	$140$	$140$	$170$	$163$	$195$	168

Укажіть медіану кількості відвідувачів кінотеатру.

А. $140$
Б. $155$
В. $163$
Г. $170$
Д. $195$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $163$

Завдання 10

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[-2; 2].$ Укажіть рисунок, на якому зображено графік функції $y=f(x+1).$

Відповідь

Правильна відповідь: Г —

Завдання 11

Задано дві мимобіжні прямі $a$ і $b.$ Скільки існує різних площин, які проходять через пряму $a$ та є паралельними прямій $b$?

А. жодної
Б. одна
В. дві
Г. три
Д. безліч

Відповідь

Правильна відповідь: Б — одна

Завдання 12

Якщо $\log_43=a$, то $\log_{16}9=$

А. $4a$
Б. $a^2$
В. $2a$
Г. $\frac a2$
Д. $a$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $a$

Завдання 13

На рисунку зображено квадрат $ABCD.$ Укажіть правильну векторну рівність.

А. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$
Б. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$
В. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$
Г. $\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$
Д. $\overrightarrow{AC}=-\sqrt{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$

Завдання 14

Скільки всього розв’язків має система рівнянь $$\left\{\begin{array}{l} x^2-y^2=-4,\\ x^2+y^2=4? \end{array}\right.$$

А. жодного
Б. один
В. два
Г. три
Д. більше трьох

Відповідь

Правильна відповідь: В — два

Завдання 15

Функція $f(x)$ є парною, а $g(x)$ – непарною. Обчисліть значення виразу $3f(-2)-g(1)$, якщо $f(2)=-5$, $g(-1)=7.$

А. $-8$
Б. $-22$
В. $22$
Г. $8$
Д. $1$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $-8$

Завдання 16

Укажіть правильну нерівність, якщо $a=\sin 120^\circ$, $b=\cos 120^\circ.$

А. $0\lt b\lt a$
Б. $a\lt 0\lt b$
В. $a\lt b\lt 0$
Г. $0\lt a\lt b$
Д. $b\lt 0\lt a$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $b\lt 0\lt a$

Завдання 17

Розв’яжіть нерівність $$\frac{x+1}{x}\le \frac 43.$$

А. $(-\infty; 0) \cup [3; +\infty)$
Б. $(0; 3]$
В. $[3; +\infty)$
Г. $(-\infty; 0)$
Д. $(-\infty; 3]$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $(-\infty; 0) \cup [3; +\infty)$

Завдання 18

На рисунку зображено ескіз емблеми. Емблема має форму кола радіуса $2$ м, усередині якого розміщено $6$ однакових півкіл. Один кінець кожного півкола збігається із центром кола, інший кінець лежить на колі. Для виготовлення емблеми (з усіма елементами включно) потрібен гнучкий матеріал вартістю $200$ грн за $1$ м довжини. Укажіть з-поміж наведених сум грошей найменшу, якої достатньо, щоб придбати цей матеріал для виготовлення емблеми. Уважайте, що на з’єднання елементів емблеми не потрібно додаткових витрат матеріалу.

А. $4000$ грн
Б. $5000$ грн
В. $6000$ грн
Г. $7000$ грн
Д. $8000$ грн

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $7000$ грн

Завдання 19

$SABC$ i $S_1A_1B_1C_1$ – правильні трикутні піраміди. Кожне ребро піраміди $SABC$ вдвічі більше за відповідне ребро піраміди $S_1A_1B_1C_1.$ Визначте площу бічної поверхні піраміди $SABC$, якщо площа бічної грані $S_1A_1B_1$ дорівнює $8$ см$^2.$

А. $16$ см$^2$
Б. $24$ см$^2$
В. $48$ см$^2$
Г. $64$ см$^2$
Д. $96$ см$^2$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $96$ см$^2$

Завдання 20

Обчисліть площу зафарбованої фігури, зображеної на рисунку.

А. $\frac 12$
Б. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
В. $1$
Г. $\sqrt{2}$
Д. $\sqrt{3}$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $1$

Завдання 21

Установіть відповідність між функцією, заданою формулою (1–4), та її областю значень (А – Д).

Функція

$y=\log_2x$
$y=2^x$
$y=2\sqrt{x}$
$y=2-x^2$

Область значень

А. $(-\infty; 2]$
Б. $[2; +\infty)$
В. $[0; +\infty)$
Г. $(0; +\infty)$
Д. $(-\infty; +\infty)$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Д, 2 — Г, 3 — В, 4 — А

Завдання 22

До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

Сума чисел $32$ і $18$
Добуток чисел $32$ і $18$
Частка чисел $32$ і $18$
Різниця чисел $32$ і $18$

Закінчення речення

А. є квадратом натурального числа.
Б. є числом, що ділиться націло на $10.$
В. є найменшим спільним кратним чисел $32$ і $18.$
Г. є раціональним числом, яке не є цілим.
Д. є дільником числа $84.$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — А, 3 — Г, 4 — Д

Завдання 23

На рисунку зображено коло із центром у точці $O.$ Хорди $AB$ і $AC$ рівні, $AK$ – діаметр, $PM$ – дотична до кола, проведена в точці $C$, $\angle BAC=80^\circ.$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

Градусна міра кута $OCM$ дорівнює
Градусна міра кута $ACP$ дорівнює
Градусна міра меншої дуги $AB$ дорівнює
Градусна міра меншої дуги $KC$ дорівнює

Закінчення речення

А. $50^\circ$
Б. $80^\circ$
В. $90^\circ$
Г. $100^\circ$
Д. $120^\circ$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — В, 2 — А, 3 — Г, 4 — Б

Завдання 24

Установіть відповідність між геометричним тілом (1–4) і його
об’ємом (А – Д).

Геометрична тіло

Об’єм

А. $\frac{1}{6}\mathbf{\pi}a^3$
Б. $\frac{1}{12}\mathbf{\pi}a^3$
В. $\frac{1}{4}\mathbf{\pi}a^3$
Г. $\frac{\sqrt{3}}{8}\mathbf{\pi}a^3$
Д. $\frac{1}{3}\mathbf{\pi}a^3$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — В, 2 — Б, 3 — А, 4 — Г

Завдання 25.1

На виставці представлено лише два види мистецьких робіт: картини та скульптури, причому кількість скульптур у $4$ рази менша за кількість картин.
1. Скільки відсотків становить кількість картин від загальної кількості робіт на виставці?
2. На скільки відсотків кількість картин більша за кількість скульптур?
Запишіть відповідь до частини 1.

Відповідь

Правильна відповідь: 80

Завдання 25.2

(Умова завдання 25.) Запишіть відповідь до частини 2.

Відповідь

Правильна відповідь: 300

Завдання 26.1

Діагональ $AC$ та висота $BP$ паралелограма $ABCD$ перетинаються в точці $K$ (див. рисунок). Відомо, що $AB=12$, $\angle BAD=60^\circ$, $BK:KP=4:1.$

1. Визначте довжину відрізка $AP.$
2. Обчисліть периметр паралелограма $ABCD.$
Запишіть відповідь до частини 1.

Відповідь

Правильна відповідь: 6

Завдання 26.2

(Умова завдання 26.) Запишіть відповідь до частини 2.

Відповідь

Правильна відповідь: 72

Завдання 27

Сума другого та четвертого членів зростаючої геометричної прогресії дорівнює $45$, а їхній добуток – $324.$ Визначте перший член цієї прогресії.

Відповідь

Правильна відповідь: 4.5

Завдання 28

З першої труби порожній басейн наповнюють водою на $40$ хвилин швидше, ніж з другої. Скільки часу (у хвилинах) потрібно для наповнення порожнього басейну з першої труби, якщо з обох труб порожній басейн наповнюють за $21$ хвилину? Уважайте, що швидкості наповнення басейну водою з кожної труби є сталими.

Відповідь

Правильна відповідь: 30

Завдання 29

Для перевезення дітей формують колону, яка складається з п’яти автобусів і двох супровідних автомобілів: одного на чолі колони, іншого – позаду неї. Скільки всього існує різних способів розташування автобусів і супровідних автомобілів у цій колоні?

Відповідь

Правильна відповідь: 240

Завдання 30

У прямокутній системі координат на площині задано трапецію $ABCD$ $(AD\ ||\ BC$, $AD\gt BC).$ Площа трапеції дорівнює $42.$ Визначте абсцису вершини $D$, якщо $A(-1; 3)$, $B(1; 6)$, $C(7; 6).$

Відповідь

Правильна відповідь: 21

Завдання 31

Задано функцію $f(x)=x^2-3x-4.$
1. Визначте координати точок перетину графіка функції $f$ з осями координат.
2. Побудуйте графік функції $f.$
3. Знайдіть значення $x=x_0$, за якого похідна функції $f$ дорівнює $1.$
4. Запишіть рівняння дотичної, проведеної до графіка функції $f$ у точці з абсцисою $x_0.$

Розв'язання

1. $(0; -4)$, $(4; 0)$, $(-1; 0).$
3. $x_0=2.$
4. $y=x-8.$

Завдання 32

Основою прямої призми $ABCDA_1B_1C_1D_1$ є ромб $ABCD$, у якому гострий кут $A$ дорівнює $\mathbf{\alpha}.$ Площина $\mathbf{\gamma}$, що проходить через одну з вершин верхньої основи та меншу діагональ нижньої основи призми, утворює з площиною основи гострий кут $\mathbf{\beta}.$ Висота призми дорівнює $h.$
1. Побудуйте переріз заданої призми площиною $\mathbf{\gamma}.$
2. Визначте площу цього перерізу.

Розв'язання

1. Менша діагональ ромба — $BD$ (навпроти гострого кута $A$). Переріз — рівнобедрений трикутник $C_1BD$ (або $A_1BD$); $C_1O\perp BD$, де $O$ — центр ромба, $\angle C_1OC=\beta$.
2. $OC=h\,\mathrm{ctg}\,\beta$, $C_1O=\dfrac{h}{\sin\beta}$, $OD=OC\,\mathrm{tg}\dfrac{\alpha}{2}$. $S=OD\cdot C_1O=\dfrac{h^2\cos\beta\,\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}}{\sin^2\beta}$.

Завдання 33

Розв’яжіть нерівність $$\sqrt{\frac{4x-1}{x-a}}\gt a$$ залежно від значень параметра $a.$

Розв'язання

при $a\in (-\infty; 0)\ x\in (-\infty; a)\cup \left[\frac 14; +\infty\right);$
при $a\in \left[0; \frac 14\right]\ x\in (-\infty; a)\cup \left(\frac{a^3-1}{a^2-4}; +\infty\right);$
при $a\in \left(\frac 14; 2\right)\ x\in \left(-\infty; \frac{a^3-1}{a^2-4}\right)\cup (a; +\infty);$
при $a=2\ x\in (2; +\infty);$
при $a\in (2; +\infty)\ x\in \left(a; \frac{a^3-1}{a^2-4}\right).$

⏱ Пройти цей тест онлайн

Інші варіанти з математики

Завдання — офіційні матеріали Українського центру оцінювання якості освіти (testportal.gov.ua).