Офіційні завдання НМТ 2022 року з математики — 20 завдань, 60 хв, максимум 30 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «З кошика, у якому лежать 4 зелених і 5 жовтих яблук, виймають навмання одне яблуко. Яка йм…»
З кошика, у якому лежать $4$ зелених і $5$ жовтих яблук, виймають навмання одне яблуко. Яка ймовірність того, що це яблуко буде жовтого кольору?
А. $\frac 12$
Б. $\frac 19$
В. $\frac 49$
Г. $\frac 59$
Д. $\frac 15$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $\frac 59$
Завдання 2
У коробці лежать тістечка двох видів: бісквіти та бeзе. Яке з наведених чисел може бути кількістю тістечок у коробці, якщо бісквітів у $5$ разів більше, ніж бeзе?
А. $27$
Б. $44$
В. $50$
Г. $61$
Д. $72$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $72$
Завдання 3
Вершина $B$ паралелограма $ABCD$ лежить на прямій $MC$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $CDA$, якщо $\angle MBA=25^\circ$.
А. $65^\circ$
Б. $115^\circ$
В. $155^\circ$
Г. $165^\circ$
Д. $175^\circ$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $155^\circ$
Завдання 4
Розв’яжіть рівняння $2x-3=4.$
А. $0{,}5$
Б. $3{,}5$
В. $\frac 27$
Г. $5$
Д. $-0{,}5$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $3{,}5$
Завдання 5
Визначте об’єм циліндра, радіус основи якого дорівнює $4\ \text{см}$, а висота – $10\ \text{см}$.
У прямокутній системі координат $xy$ зображено шість точок: $K,\ L,\ M,\ N,\ P$ та $Q$ (див. рисунок). Відомо, що точка $P$ належить графіку функції $y=x^2$. Укажіть ще одну точку, яка може належати цьому графіку.
А. $K$
Б. $L$
В. $M$
Г. $N$
Д. $Q$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $N$
Завдання 7
Визначте число, $25\ \%$ якого дорівнює $50$.
А. $0{,}5$
Б. $2$
В. $12{,}5$
Г. $100$
Д. $200$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $200$
Завдання 8
Графік функції $y=\sqrt{x}$ паралельно перенесли на $2$ одиниці ліворуч уздовж осі $x.$ Укажіть функцію, графік якої отримали в результаті цього перетворення.
А. $y=\sqrt{2-x}$
Б. $y=\sqrt{x}-2$
В. $y=\sqrt{x-2}$
Г. $y=\sqrt{x+2}$
Д. $y=\sqrt{x}+2$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $y=\sqrt{x+2}$
Завдання 9
Спростіть вираз $3(1 – x)(1 + x).$
А. $3-3x^2$
Б. $3-x^2$
В. $3+3x^2$
Г. $3+x^2$
Д. $3+6x-3x^2$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $3-3x^2$
Завдання 10
Які з наведених тверджень щодо довільної трапеції $ABCD\ (BC\ ||\ AD)$ є правильними? I. $\angle BAD+\angle ABC=180^\circ$ II. $\angle BCA=\angle CAD$ III. $AC=BD$
А. лише І
Б. лише І та ІІ
В. лише І та ІІІ
Г. лише ІІ та ІІІ
Д. І, ІІ та ІІІ
Відповідь
Правильна відповідь: Б — лише І та ІІ
Завдання 11
Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $$\left(\frac 13\right)^{2x-1}=9.$$
У якому рядку числа $\log_2{64},\ \log_{64}{2},\ 11$ розташовано за зростанням?
А. $\log_{64}{2},\ \log_2{64},\ 11$
Б. $\log_2{64},\ 11,\ \log_{64}{2}$
В. $\log_2{64},\ \log_{64}{2},\ 11$
Г. $11,\ \log_{64}{2},\ \log_2{64}$
Д. $\log_{64}{2},\ 11,\ \log_2{64}$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $\log_{64}{2},\ \log_2{64},\ 11$
Завдання 15
Увідповідніть функцію (1–3) та її властивість (А – Д).
Функція
$f(x)=2^x$
$f(x)=\mathrm{tg}\ x$
$f(x)=2x+1$
Властивість функції
А. функція непарна
Б. областю значень функції є множина $(0;\ +\infty)$
В. областю визначення функції є проміжок $[0;\ +\infty)$
Г. функція спадає на проміжку $(-\infty;\ +\infty)$
Д. графік функції має лише дві точки перетину з осями координат
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — А, 3 — Д
Завдання 16
Установіть відповідність між виразом (1–3) та проміжком (А – Д), якому належить його значення.
Вираз
$|-1,6|+2$
$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}$
$2\cos\frac{\mathbf{\pi}}{3}$
Проміжок
А. $(-\infty;\ 0)$
Б. $[0;\ 1)$
В. $[1;\ 2)$
Г. $[2;\ 3)$
Д. $[3;\ +\infty)$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Д, 2 — Г, 3 — В
Завдання 17
У прямокутному трикутнику $ABC$ катет $AC=12\ \text{см}$, гіпотенуза $AB=20\ \text{см}$. Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною (А – Д).
Відрізок
катет $BC$
радіус кола, описаного навколо трикутника $ABC$
висота трикутника $ABC$, проведена до гіпотенузи $AB$
Довжина відрізка
А. $19,2\ \text{см}$
Б. $9,6\ \text{см}$
В. $10\ \text{см}$
Г. $8\ \text{см}$
Д. $16\ \text{см}$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Д, 2 — В, 3 — Б
Завдання 18
У правильній чотирикутній піраміді $SABCD$ (див. рисунок) $SO$ – висота, $\angle SCO=30^\circ,\ AO=\sqrt{6}.$ Увідповідніть початок речення (1–3) та його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
Довжина діагоналі $AC$ дорівнює
Довжина висоти $SO$ дорівнює
Довжина ребра $AS$ дорівнює
Закінчення речення
А. $\sqrt{2}.$
Б. $2\sqrt{2}.$
В. $2\sqrt{3}.$
Г. $2\sqrt{6}.$
Д. $4\sqrt{2}.$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — А, 3 — Б
Завдання 19
В арифметичній прогресії $(a_n)$ третій член дорівнює $20$, різниця прогресії $d=-3,2.$ Обчисліть суму перших шести членів цієї прогресії.
Відповідь
Правильна відповідь: 110.4
Завдання 20
Основою прямої призми є ромб з діагоналями $6$ і $8$. Менша діагональ призми дорівнює $10$. Обчисліть площу бічної поверхні цієї призми.
