Офіційні завдання НМТ 2024 року з математики — 22 завдання, 60 хв, максимум 32 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «У першу годину роботи на телефон гарячої лінії надійшло 145 дзвінків, а за другу годину – …»
У першу годину роботи на телефон гарячої лінії надійшло $145$ дзвінків, а за другу годину – на $17$ дзвінків більше. Скільки всього дзвінків надійшло на телефон гарячої лінії за дві години роботи?
А. $307$
Б. $290$
В. $287$
Г. $273$
Д. $162$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $307$
Завдання 2
О шостій годині ранку визначено температуру повітря на десяти метеостанціях. Отримані дані відображено в таблиці.
Температура (у градусах)
1
3
4
$x$
Кількість метеостанцій
2
3
4
1
Визначте $x,$ якщо середнє арифметичне всіх цих даних дорівнює $3,5^\circ .$
А. $x=5$
Б. $x=6$
В. $x=7$
Г. $x=8$
Д. $x=9$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $x=8$
Завдання 3
На рисунку зображено пряму трикутну призму. Її бічною гранню є
А. трикутник
Б. прямокутник
В. відрізок
Г. паралелограм, що не є прямокутником
Д. ромб, що не є квадратом
Відповідь
Правильна відповідь: Б — прямокутник
Завдання 4
Якщо $m=n-1,$ то $7-m=$
А. $n-8$
Б. $6-n$
В. $8-n$
Г. $n-6$
Д. $6+n$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $8-n$
Завдання 5
Кола із центрами в точках $O$ і $O_1$ мають внутрішній дотик (див. рисунок). Обчисліть відстань $OO_1,$ якщо радіуси кіл дорівнюють $12\ \text{см}$ і $8\ \text{см}.$
А. $1,5\ \text{см}$
Б. $2\ \text{см}$
В. $3\ \text{см}$
Г. $4\ \text{см}$
Д. $8\ \text{см}$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $4\ \text{см}$
Завдання 6
Розв’яжіть нерівність $0,2x-54\lt 0.$
А. $(-\infty; 270)$
Б. $(270; +\infty)$
В. $(-\infty; 2,7)$
Г. $(-\infty; 27)$
Д. $(10,8; +\infty)$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $(-\infty; 270)$
Завдання 7
На рисунку зображено графік функції $y=f(x),$ визначеної на проміжку $[1; 8].$ Скільки нулів має ця функція на заданому проміжку?
А. жодного
Б. один
В. два
Г. три
Д. чотири
Відповідь
Правильна відповідь: Б — один
Завдання 8
Спростіть вираз $a(a+2b)-(a+b)^2.$
А. $4ab+b^2$
Б. $4ab-b^2$
В. $-b^2$
Г. $2ab-b^2$
Д. $b^2$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $-b^2$
Завдання 9
У трикутнику $ABC$ кут $B$ – тупий. Які з наведених тверджень є правильними? I. $\angle A+\angle C\lt 90^\circ .$ II. $AB+BC\lt AC.$ III. Центр кола, описаного навколо трикутника $ABC,$ лежить поза його межами.
А. лише I та II
Б. лише І
В. лише II та III
Г. I, II та III
Д. лише I та III
Відповідь
Правильна відповідь: Д — лише I та III
Завдання 10
Якщо $a\lt 1,$ то $|a-1|+|-7|=$
А. $a-8$
Б. $a+6$
В. $-a+6$
Г. $-a-6$
Д. $-a+8$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $-a+8$
Завдання 11
Розв’яжіть систему рівнянь $$\left\{ \begin{array}{l} x+y=5, \\ 4^x=16^{-1}. \end{array} \right.$$ Якщо $(x_0; y_0)$ – розв’язок цієї системи, то $x_0\cdot y_0=$
А. $-36$
Б. $-14$
В. $-6$
Г. $4$
Д. $6$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $-14$
Завдання 12
Периметр основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює $72\ \text{см}.$ Обчисліть довжину висоти піраміди, якщо її апофема дорівнює $15\ \text{см}.$
А. $6\ \text{см}$
Б. $9\ \text{см}$
В. $10\ \text{см}$
Г. $12\ \text{см}$
Д. $14\ \text{см}$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $12\ \text{см}$
Завдання 13
Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\log_{\frac 13}(x+1)=-2.$
А. $(-11; -2]$
Б. $(-2; 1]$
В. $(1; 4]$
Г. $(4; 7]$
Д. $(7; 9]$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $(7; 9]$
Завдання 14
У паралелограмі $ABCD: AB=\sqrt{6}\ \text{см},$ $\angle BAD=30^\circ,$ $\angle CBD=45^\circ$ (див. рисунок). Обчисліть довжину діагоналі $BD.$
А. $2\sqrt{3}\ \text{см}$
Б. $3\ \text{см}$
В. $\sqrt{2}\ \text{см}$
Г. $2\ \text{см}$
Д. $\sqrt{3}\ \text{см}$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $\sqrt{3}\ \text{см}$
Завдання 15
Укажіть похідну функції $f(x)=x(x^3+1).$
А. $f'(x)=4x^3+1$
Б. $f'(x)=4x^3$
В. $f'(x)=3x^2$
Г. $f'(x)=3x^2+1$
Д. $f'(x)=\frac{x^5}{5}+\frac{x^2}{2}$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $f'(x)=4x^3+1$
Завдання 16
До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
Функція $y=\sqrt{x-4}$
Функція $y=2$
Функція $y=x^3$
Закінчення речення
А. спадає на проміжку $(-\infty; 0).$
Б. не визначена в точці $x=1.$
В. набуває від’ємного значення в точці $x=8.$
Г. набуває додатного значення в точці $x=-3.$
Д. є непарною.
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — Г, 3 — Д
Завдання 17
Установіть відповідність між виразом (1–3) і тотожно рівним йому виразом (А – Д), якщо $a$ – довільне додатне число, $a\ne 1.$
Вираз
$a^4 : a^3$
$\frac{a^2-a}{1-a}$
$7^{-\log_7 a}$
Тотожно рівний вираз
А. $a^2$
Б. $a^7$
В. $\frac 1a$
Г. $-a$
Д. $a$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Д, 2 — Г, 3 — В
Завдання 18
Квадрат $ABCD$ та прямокутна трапеція $BMNC$ лежать в одній площині (див. рисунок). Площа кожної із цих фігур дорівнює $36\ \text{см}^2,$ $AM=15\ \text{см}.$ Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною ( А– Д).
Відрізок
сторона квадрата $ABCD$
висота трапеції $BMNC$
менша основа трапеції $BMNC$
Довжина відрізка, см
А. $2$
Б. $3$
В. $4$
Г. $6$
Д. $9$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — Д, 3 — А
Завдання 19
На рисунку зображено фрагмент частини поперечного перерізу стосу дерев’яних колод. У нижньому ряду стосу $13$ колод, а у верхньому – одна. Визначте загальну кількість колод у цьому стосі.
Відповідь
Правильна відповідь: 91
Завдання 20
Редактор стрічки новин вирішує, у якій послідовності розмістити $6$ різних новин: $2$ політичні, $3$ суспільні та $1$ спортивну. Скільки всього є різних послідовностей розміщення цих $6$ новин у стрічці за умови, що політичні новини мають передувати іншим, а спортивна новина має бути останньою? Уважайте, що кожна з цих $6$ новин у стрічці не повторюватиметься.
Відповідь
Правильна відповідь: 12
Завдання 21
У прямокутній системі координат у просторі задано вектор $\overrightarrow{AB}(-3; 8; 1)$ і точку $B(7; –2; 0),$ точка $O$ – початок координат. Обчисліть скалярний добуток $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}.$
Відповідь
Правильна відповідь: -111
Завдання 22
Визначте найменше значення $a,$ за якого має корені рівняння $\sin\left(x+\frac{\mathbf{\pi}}{3}\right)=2a^2+5a-6.$
