ЗНО 2020 з математики · додаткова сесія

Офіційні завдання ЗНО 2020 року з математики — 38 завдань, 210 хв, максимум 48 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «x + 2(x - 2) =…»

⏱ Пройти як на ЗНО Тренування з перевіркою

Завдання 1

$x + 2(x - 2) =$

А. $3x - 4$
Б. $3x + 4$
В. $3x$
Г. $3x - 2$
Д. $2x - 2$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $3x - 4$

Завдання 2

Пряма $l$ перетинає паралельні прямі $m$ та $n$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $\alpha$, якщо $\beta = 125^\circ$.

А. $35^\circ$
Б. $45^\circ$
В. $55^\circ$
Г. $65^\circ$
Д. $75^\circ$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $55^\circ$

Завдання 3

У шкільній їдальні за кожен стіл можна посадити щонайбільше 6 учнів. Яка найменша кількість столів має бути в цій їдальні, щоби розсадити в ній 194 учні?

А. 30
Б. 31
В. 32
Г. 33
Д. 34

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 33

Завдання 4

Укажіть число, що є коренем рівняння $\dfrac{8}{x} = \dfrac{2}{5}$.

А. 20
Б. $\dfrac{16}{5}$
В. 10
Г. 80
Д. $\dfrac{1}{20}$

Відповідь

Правильна відповідь: А — 20

Завдання 5

На рисунку зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на проміжку $[-3;\,3]$. На якому з наведених проміжків ця функція зростає?

А. $[-3;\,3]$
Б. $[1;\,3]$
В. $[-2;\,4]$
Г. $[-2;\,3]$
Д. $[-3;\,1]$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $[-3;\,1]$

Завдання 6

Площа повної поверхні циліндра дорівнює $92\pi$, а площа його бічної поверхні – $56\pi$. Визначте площу основи цього циліндра.

А. $6\pi$
Б. $18\pi$
В. $13\pi$
Г. $48\pi$
Д. $36\pi$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $18\pi$

Завдання 7

Розв'яжіть рівняння $x^2 = 25x$.

А. $-5;\ 5$
Б. $0;\ 25$
В. 25
Г. $-5;\ 0;\ 5$
Д. $-25;\ 0$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $0;\ 25$

Завдання 8

Із гаманця, у якому лежать 5 монет номіналом по 10 копійок, 12 монет – по 25 копійок, 3 монети – по 1 гривні, беруть навмання одну монету. Обчисліть імовірність того, що її номінал буде менше 50 копійок.

А. $\dfrac{17}{20}$
Б. $\dfrac{3}{5}$
В. $\dfrac{1}{4}$
Г. $\dfrac{3}{20}$
Д. 1

Відповідь

Правильна відповідь: А — $\dfrac{17}{20}$

Завдання 9

Укажіть вираз, тотожно рівний виразу $(2x - 3)^2 + 12x$.

А. $4x^2 + 12x - 9$
Б. $4x^2 + 9$
В. $4x^2 - 9$
Г. $4x^2 + 12x + 9$
Д. $4x^2 + 6x + 9$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $4x^2 + 9$

Завдання 10

Які з наведених тверджень є правильними?
I. Навколо довільного ромба завжди можна описати коло.
II. Навколо довільної трапеції завжди можна описати коло.
III. Навколо довільного прямокутника завжди можна описати коло.

А. лише I та III
Б. лише I
В. лише III
Г. I, II та III
Д. лише II та III

Відповідь

Правильна відповідь: В — лише III

Завдання 11

На одному з наведених рисунків зображено ескіз графіка функції $y = \sqrt{x}$. Укажіть його.

Відповідь

Правильна відповідь: Д —

Завдання 12

Укажіть формулу для визначення радіуса $R$ сфери, площа якої дорівнює $S$.

А. $R = \sqrt{\dfrac{S}{\pi}}$
Б. $R = \sqrt{\dfrac{4\pi}{S}}$
В. $R = \sqrt{4\pi S}$
Г. $R = \sqrt{\dfrac{S}{4\pi}}$
Д. $R = \sqrt{\dfrac{4S}{\pi}}$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $R = \sqrt{\dfrac{S}{4\pi}}$

Завдання 13

$\dfrac{\cos\alpha\operatorname{tg}\alpha}{\sin^2\alpha} =$

А. $\sin\alpha$
Б. $\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$
В. $\dfrac{1}{\sin\alpha}$
Г. $\cos\alpha$
Д. 1

Відповідь

Правильна відповідь: В — $\dfrac{1}{\sin\alpha}$

Завдання 14

Укажіть з-поміж наведених функцію, ескіз графіка якої зображено на рисунку.

А. $y = x^2 - 2$
Б. $y = (x - 2)^2$
В. $y = x^2$
Г. $y = (x + 2)^2$
Д. $y = x^2 + 2$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $y = (x + 2)^2$

Завдання 15

$|1 - \sqrt{3}| =$

А. $-1 - \sqrt{3}$
Б. $\sqrt{3} - 1$
В. $1 - \sqrt{3}$
Г. $1 + \sqrt{3}$
Д. 1

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $\sqrt{3} - 1$

Завдання 16

На рисунку зображено прямокутник і рівнобедрений трикутник, які є гранями прямої призми. Довжини основи та бічної сторони трикутника дорівнюють 10 см і 13 см відповідно. Визначте площу повної поверхні призми, якщо площа її найбільшої бічної грані дорівнює 260 см².

А. 520 см²
Б. 720 см²
В. 780 см²
Г. 840 см²
Д. 960 см²

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 840 см²

Завдання 17

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\log_{\frac{1}{3}}(x + 1) = -2$.

А. $(-11;\,-2]$
Б. $(-2;\,1]$
В. $(1;\,4]$
Г. $(4;\,7]$
Д. $(7;\,9]$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $(7;\,9]$

Завдання 18

Функція $F(x) = 10x^5 - 4$ є первісною функції $f(x)$. Укажіть функцію $G(x)$, яка також є первісною функції $f(x)$.

А. $G(x) = 10x^5 + 7$
Б. $G(x) = 2x^6 - 4x$
В. $G(x) = 50x^6$
Г. $G(x) = 50x^4$
Д. $G(x) = x^5 - 4$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $G(x) = 10x^5 + 7$

Завдання 19

Розв'яжіть систему нерівностей $\begin{cases} 4x - 7 \geqslant 2x + 1, \\ x \geqslant -3. \end{cases}$

А. $[-1;\,+\infty)$
Б. $[-3;\,4]$
В. $\varnothing$
Г. $[-3;\,+\infty)$
Д. $[4;\,+\infty)$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $[4;\,+\infty)$

Завдання 20

Стріла $CD$ автокрана нахилена до горизонтальної поверхні $AB$ під кутом $60^\circ$, $CD = 20$ м (див. рисунок). Основа $C$ стріли розташована на відстані $d = 2$ м від $AB$. Відстань $h_1$ від кінця $D$ стріли до нижньої основи $MN$ вантажу становить 6 м. Укажіть проміжок, якому належить відстань $h_2$ (у м) від $MN$ до $AB$. Уважайте, що $MN \parallel AB$.

А. $(4;\,8]$
Б. $(8;\,10{,}5]$
В. $(10{,}5;\,12{,}5]$
Г. $(12{,}5;\,14{,}5]$
Д. $(14{,}5;\,20)$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $(12{,}5;\,14{,}5]$

Завдання 21

На рисунках (1–3) зображено графіки функцій, визначених на відрізку $[-4;\,4]$. Установіть відповідність між графіком функції (1–3) та властивістю (А – Д), що має ця функція.

Графік функції

рисунок 1
рисунок 2
рисунок 3

Властивість функції

А. функція має лише один нуль
Б. функція є непарною
В. функція не має точок екстремуму
Г. функція набуває лише додатних значень
Д. графік функції проходить через точку $(3;\,-2)$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Д, 2 — Г, 3 — А

Завдання 22

Установіть відповідність між виразом (1–3) і тотожно рівним йому виразом (А – Д), якщо $a$ – довільне додатне число, $a \ne 1$.

Вираз

$a^4 : a^3$
$\dfrac{a^2 - a}{1 - a}$
$7^{-\log_7 a}$

Тотожно рівний вираз

А. $a^2$
Б. $a^7$
В. $\dfrac{1}{a}$
Г. $a$
Д. $-a$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — Д, 3 — В

Завдання 23

На більшій основі $AD$ рівнобічної трапеції $ABCD$ вибрано точки $K$ та $M$ так, що $BK \parallel CD$, $MC \parallel AB$ (див. рисунок). Відрізки $BK$ та $CM$ перетинаються в точці $O$, $BO : OK = 2 : 3$. Периметр чотирикутника $ABCM$ дорівнює 84, $BC = 12$. Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною (А – Д).

Відрізок

$AB$
$MK$
середня лінія трапеції $ABCD$

Довжина відрізка

А. 21
Б. 30
В. 18
Г. 27
Д. 54

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — В, 3 — Г

Завдання 24

Установіть відповідність між вимірами конуса (1–3) та правильним щодо нього твердженням (А – Д).

Виміри конуса

радіус основи дорівнює 6, висота – $3\sqrt{3}$
радіус основи дорівнює 3, висота – $3\sqrt{3}$
радіус основи дорівнює 4, висота – 3

Твердження щодо конуса

А. конус утворено обертанням рівностороннього трикутника зі стороною 6 навколо його висоти
Б. діаметр основи конуса дорівнює 12
В. твірна конуса дорівнює 12
Г. площа бічної поверхні конуса дорівнює $20\pi$
Д. об'єм конуса дорівнює $108\sqrt{3}\pi$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — А, 3 — Г

Завдання 25.1

Михайло планував купити мобільний телефон, чохол до нього та карту пам'яті. Вартість телефона становить 4500 грн, чохла – 200 грн, карти пам'яті – 300 грн. У магазині проходить акція: купивши телефон, покупець отримає карту пам'яті в подарунок, а на чохол йому нададуть знижку розміром п'ятої частини від його вартості.
1. Яку суму грошей $P$ (у грн) заплатить Михайло за вибрані ним телефон, чохол та карту пам'яті, якщо скористається цією акцією?

Відповідь

Правильна відповідь: 4660

Завдання 25.2

(Умова завдання 25.) 2. Скільки відсотків становить сума грошей $P$ від суми грошей, яку заплатив би Михайло, якби купував всі три вибрані ним товари не за акційними умовами?

Відповідь

Правильна відповідь: 93.2

Завдання 26.1

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$ та коло із центром у точці $O$, яка є серединою діагоналі $BD$. Це коло дотикається сторін $BC$ та $AD$ й перетинає діагональ $BD$ у точках $K$ і $M$. $BK = 8$ см, $KM = 10$ см.
1. Визначте довжину діагоналі $AC$ (у см).

Відповідь

Правильна відповідь: 26

Завдання 26.2

(Умова завдання 26.) 2. Визначте периметр прямокутника $ABCD$ (у см).

Відповідь

Правильна відповідь: 68

Завдання 27.1

Другий член арифметичної прогресії $(a_n)$ на 7,2 більший за її шостий член.
1. Визначте різницю $d$ цієї прогресії.

Відповідь

Правильна відповідь: -1.8

Завдання 27.2

(Умова завдання 27: $a_2 - a_6 = 7{,}2$.) 2. Визначте перший член $a_1$ цієї прогресії, якщо $a_4 = 0{,}7$.

Відповідь

Правильна відповідь: 6.1

Завдання 28

У кінотеатрі квиток на вечірній сеанс на 15 грн дорожчий за квиток на ранковий сеанс. Вартість чотирьох квитків на ранковий сеанс на 220 грн менша за вартість шістьох квитків на вечірній сеанс. Скільки гривень коштує один квиток на ранковий сеанс? Уважайте, що на кожному із сеансів квитки на всі місця коштують однаково.

Відповідь

Правильна відповідь: 65

Завдання 29

У таблиці відображено інформацію про ціну та кількість зошитів, придбаних за цією ціною Олексієм. За даними таблиці визначте середню ціну (у грн) одного зошита з придбаних Олексієм.

Ціна одного зошита, грн	8	10	12
Кількість зошитів	9	4	7

Відповідь

Правильна відповідь: 9.8

Завдання 30

У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро дорівнює 15 см, а сторона основи – $9\sqrt{2}$ см. Визначте об'єм цієї піраміди (у см³).

Відповідь

Правильна відповідь: 648

Завдання 31

Компанія з 6 дорослих, з яких лише двоє мають відповідні посвідчення водія, сідають в автомобіль, у якому окрім місця водія є ще 5 пасажирських місць. Скільки всього є способів у цих 6 осіб зайняти місця в автомобілі, якщо на місці водія має бути особа з відповідним посвідченням?

Відповідь

Правильна відповідь: 240

Завдання 32

У прямокутній системі координат $xy$ на площині задано рівнобедрений трикутник $ABC$, у якому $AB = BC$. Вершина $B$ лежить на прямій $y = 2x + 9$. Визначте площу трикутника $ABC$, якщо $A(-6;\,-8)$, $C(4;\,-8)$.

Відповідь

Правильна відповідь: 75

Завдання 33

Задано функції $f(x) = \dfrac{1}{2}$ та $g(x) = \sin x$. Завдання (1–3) виконайте на одному рисунку.
1. Побудуйте графік функції $f$.
2. Побудуйте графік функції $g$ на проміжку $\left[-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right]$.
3. Позначте на рисунку точку, що є спільною для обох побудованих графіків функцій $f$ і $g$, і запишіть її координати.
4. Знайдіть множину всіх коренів рівняння $f(x) = g(x)$ на інтервалі $(-\infty;\,+\infty)$.

Розв'язання

3. $\left(\dfrac{\pi}{6};\,\dfrac{1}{2}\right)$.
4. $(-1)^n\dfrac{\pi}{6} + \pi n,\ n \in Z$.

Завдання 34

У прямокутному паралелепіпеді $ABCDA_1B_1C_1D_1$ через сторону $AD$ нижньої основи й середину ребра $CC_1$ проведено площину $\gamma$. Грань $CC_1D_1D$ є квадратом. Діагональ грані $BB_1C_1C$ дорівнює 8 й утворює з площиною грані $CC_1D_1D$ кут $\alpha$.
1. Побудуйте переріз паралелепіпеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ площиною $\gamma$.
2. Укажіть вид перерізу та обґрунтуйте свій висновок.
3. Визначте площу перерізу.

Розв'язання

3. $S = 16\sqrt{5}\sin 2\alpha$.

Завдання 35

Задано рівняння $(3^{x + 1} + 3^{x + 3} - 10)\cdot\left(\sqrt{x^2 + a} - \sqrt{3a - 6 - x^2}\right) = 0$, де $x$ – змінна, $a$ – стала.
1. Розв'яжіть рівняння $3^{x + 1} + 3^{x + 3} - 10 = 0$.
2. Розв'яжіть задане рівняння залежно від значень $a$.

Розв'язання

1. $x = -1$.
2. Якщо $a \in \left(-\infty;\,2\dfrac{1}{3}\right)$, то рівняння коренів не має;
якщо $a \in \left[2\dfrac{1}{3};\,3\right)$, то $x = -1$;
якщо $a \in [3;\,+\infty)$, то $x \in \{-1;\ \sqrt{a - 3};\ -\sqrt{a - 3}\}$.

⏱ Пройти цей тест онлайн

Інші варіанти з математики

Завдання — офіційні матеріали Українського центру оцінювання якості освіти (testportal.gov.ua).