ЗНО 2018 з математики · основна сесія

Офіційні завдання ЗНО 2018 року з математики — 35 завдань, 210 хв, максимум 48 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «\dfrac{2a + 2}{2} =…»

⏱ Пройти як на ЗНО Тренування з перевіркою

Завдання 1

$\dfrac{2a + 2}{2} =$

А. $a + 2$
Б. $2a + 1$
В. $a + 1$
Г. $2a$
Д. $a$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $a + 1$

Завдання 2

Три прямі, розміщені в одній площині, перетинаються в одній точці (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $\alpha$.

А. $80^\circ$
Б. $50^\circ$
В. $90^\circ$
Г. $100^\circ$
Д. $70^\circ$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $80^\circ$

Завдання 3

У буфеті друзі купили кілька однакових тістечок вартістю 10 грн кожне і 5 однакових булочок вартістю $x$ грн кожна. Яке з чисел може виражати загальну вартість цієї покупки (у грн), якщо $x$ – ціле число?

А. 31
Б. 32
В. 33
Г. 34
Д. 35

Відповідь

Правильна відповідь: Д — 35

Завдання 4

На рисунку зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на проміжку $[-4;\,6]$. Укажіть найбільше значення функції $f$ на цьому проміжку.

А. $-4$
Б. 3
В. 4
Г. 5
Д. 6

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 5

Завдання 5

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $\log_4(x - 1) = 3$?

А. 4
Б. 13
В. 63
Г. 65
Д. 82

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 65

Завдання 6

Укажіть формулу для обчислення об'єму $V$ півкулі радіуса $R$ (див. рисунок).

А. $V = 4\pi R^2$
Б. $V = \dfrac{2}{3}\pi R^3$
В. $V = \pi R^3$
Г. $V = 2\pi R^2$
Д. $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $V = \dfrac{2}{3}\pi R^3$

Завдання 7

Розв'яжіть рівняння $4\sqrt{x} = 1$.

А. $\dfrac{1}{2}$
Б. $\dfrac{1}{8}$
В. 16
Г. $-\dfrac{1}{2};\ \dfrac{1}{2}$
Д. $\dfrac{1}{16}$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $\dfrac{1}{16}$

Завдання 8

Знайдіть область визначення функції $y = \dfrac{x + 1}{x - 2}$.

А. $(-\infty;\,2) \cup (2;\,+\infty)$
Б. $(-\infty;\,-1) \cup (2;\,+\infty)$
В. $(-\infty;\,-2) \cup (-2;\,+\infty)$
Г. $(-\infty;\,-1) \cup (-1;\,2) \cup (2;\,+\infty)$
Д. $(-\infty;\,+\infty)$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $(-\infty;\,2) \cup (2;\,+\infty)$

Завдання 9

У просторі задано паралельні прямі $m$ і $n$. Які з наведених тверджень є правильними?
I. Існує площина, що містить обидві прямі $m$ і $n$.
II. Існує пряма, що перетинає обидві прямі $m$ і $n$.
III. Існує точка, що належить обом прямим $m$ і $n$.

А. лише I
Б. лише II
В. лише II та III
Г. лише III
Д. лише I та II

Відповідь

Правильна відповідь: Д — лише I та II

Завдання 10

Спростіть вираз $a(a + 2b) - (a + b)^2$.

А. $4ab + b^2$
Б. $4ab - b^2$
В. $-b^2$
Г. $2ab - b^2$
Д. $b^2$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $-b^2$

Завдання 11

На рисунку зображено паралельні прямі $a$ і $b$ та січну $CD$. Знайдіть відстань між прямими $a$ і $b$, якщо $CK = 5$ см, $KD = 2$ см, а відстань від точки $K$ до прямої $a$ дорівнює 1 см.

А. 2,5 см
Б. 3 см
В. 3,5 см
Г. 4 см
Д. 4,5 см

Відповідь

Правильна відповідь: В — 3,5 см

Завдання 12

Учень з понеділка до п'ятниці записував час (у хвилинах), який він витрачав на дорогу до школи та зі школи (див. таблицю).

Дорога \ Дні	понеділок	вівторок	середа	четвер	п'ятниця
до школи	19	20	21	17	23
зі школи	28	22	20	25	30

На скільки хвилин у середньому дорога зі школи триваліша за дорогу до школи?

А. 2
Б. 3
В. 4
Г. 5
Д. 6

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 5

Завдання 13

$1 - \sin\alpha\operatorname{ctg}\alpha\cos\alpha =$

А. $\cos 2\alpha$
Б. $1 - \sin 2\alpha$
В. 0
Г. $\cos^2\alpha$
Д. $\sin^2\alpha$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $\sin^2\alpha$

Завдання 14

Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} xy = -12, \\ x(2y - 1) = -18. \end{cases}$ Якщо $(x_0;\,y_0)$ – розв'язок системи, то $x_0 =$

А. $-6$
Б. $-16$
В. $-9$
Г. 2
Д. 6

Відповідь

Правильна відповідь: А — $-6$

Завдання 15

На рисунку зображено розгортку правильної трикутної призми. Визначте площу бічної поверхні цієї призми, якщо периметр розгортки (суцільна лінія) дорівнює 52 см, а периметр основи призми становить 12 см.

А. 36 см²
Б. 48 см²
В. 60 см²
Г. 72 см²
Д. 96 см²

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 72 см²

Завдання 16

Обчисліть значення виразу $\log_3 45 + \log_3 900 - \log_3 500$.

А. $\dfrac{1}{4}$
Б. 4
В. 3
Г. 27
Д. $\log_3 445$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — 4

Завдання 17

На рисунку зображено фрагмент графіка періодичної функції з періодом $T = 2\pi$, яка визначена на множині дійсних чисел. Укажіть серед наведених точку, що належить цьому графіку.

А. $(1;\,2\pi)$
Б. $(3\pi;\,0)$
В. $(-1;\,5\pi)$
Г. $(5\pi;\,0)$
Д. $(5\pi;\,-1)$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $(5\pi;\,-1)$

Завдання 18

Розв'яжіть нерівність $2^x + 2^{x + 3} \geqslant 144$.

А. $[34{,}5;\,+\infty)$
Б. $[4;\,+\infty)$
В. $(-\infty;\,4]$
Г. $(-\infty;\,4{,}5]$
Д. $[4{,}5;\,+\infty)$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $[4;\,+\infty)$

Завдання 19

Укажіть похідну функції $f(x) = x(x^3 + 1)$.

А. $f'(x) = 4x^3 + 1$
Б. $f'(x) = 4x^3$
В. $f'(x) = 3x^2$
Г. $f'(x) = 3x^2 + 1$
Д. $f'(x) = \dfrac{x^5}{5} + \dfrac{x^2}{2}$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $f'(x) = 4x^3 + 1$

Завдання 20

На рисунку зображено фрагмент поперечного перерізу стіни (прямокутник $KLMN$) з арковим прорізом $ABFCD$, верхня частина $BFC$ якого є дугою кола радіуса 1 м. Відрізки $AB$ і $DC$ перпендикулярні до $AD$, $AB = DC = 2$ м, $AD = 1{,}6$ м, $KL = 2{,}75$ м. Визначте відстань $d$ від найвищої точки $F$ прорізу до стелі $LM$.

А. 0,25 м
Б. 0,3 м
В. 0,4 м
Г. 0,35 м
Д. 0,45 м

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 0,35 м

Завдання 21

До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

Пряма $y = 4{,}5x$
Пряма $y = -4$
Пряма $y = 2x + 4$
Пряма $y = x$

Закінчення речення

А. є паралельною прямій $y = 2x$.
Б. не має спільних точок з графіком функції $y = x^2 - 1$.
В. перетинає графік функції $y = 3^x$ у точці з абсцисою $x_0 = 2$.
Г. є паралельною осі $y$.
Д. є бісектрисою I і III координатних чвертей.

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — В, 2 — Б, 3 — А, 4 — Д

Завдання 22

До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо $a = -3$.

Початок речення

Значення виразу $a^0$
Значення виразу $a^2$
Значення виразу $\dfrac{|a|}{a}$
Значення виразу $\sqrt[3]{a}$

Закінчення речення

А. більше за 1.
Б. дорівнює 1.
В. дорівнює 0.
Г. дорівнює $-1$.
Д. менше за $-1$.

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — А, 3 — Г, 4 — Д

Завдання 23

Циліндр і конус мають рівні об'єми та рівні радіуси основ. Площа основи циліндра дорівнює $25\pi$ см², а його об'єм – $100\pi$ см³. До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

Висота циліндра дорівнює
Висота конуса дорівнює
Радіус основи циліндра дорівнює
Твірна конуса дорівнює

Закінчення речення

А. 4 см.
Б. 5 см.
В. 8 см.
Г. 12 см.
Д. 13 см.

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — А, 2 — Г, 3 — Б, 4 — Д

Завдання 24

Установіть відповідність між геометричною фігурою (1–4) та її площею (А – Д).

Геометрична фігура

ромб зі стороною 6 см і тупим кутом $120^\circ$
квадрат, у який уписане коло радіуса 2 см
паралелограм, одна сторона якого дорівнює 5 см, а висота, проведена з вершини тупого кута, ділить іншу сторону на відрізки завдовжки 4 см і 2 см
прямокутник, більша сторона якого дорівнює 6 см й утворює з діагоналлю кут $30^\circ$

Площа геометричної фігури

А. 12 см²
Б. 16 см²
В. 18 см²
Г. $12\sqrt{3}$ см²
Д. $18\sqrt{3}$ см²

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Д, 2 — Б, 3 — В, 4 — Г

Завдання 25.1

Для визначення ширини автомагістралі $h_{маг}$ (у м), що має по 4 однакові смуги руху транспорту в обох напрямках (див. рисунок), використовують формулу $h_{маг} = 8b + r + 2\Delta$, де
$b$ – ширина однієї смуги руху транспорту;
$r$ – ширина розділювальної смуги між напрямками руху транспорту;
$\Delta$ – ширина запобіжної смуги між крайньою смугою руху й бордюром.
1. Визначте ширину $b$ (у м) однієї смуги, якщо $h_{маг} = 40{,}2$ м, $r = 10$ м, $\Delta = 1{,}5$ м.

Відповідь

Правильна відповідь: 3.4

Завдання 25.2

(Умова завдання 25: $h_{маг} = 8b + r + 2\Delta$.) 2. Заплановано збільшити ширину $b$ кожної смуги руху транспорту на 10 % за рахунок лише зменшення ширини $r$ розділювальної смуги. На скільки метрів потрібно зменшити ширину $r$ розділювальної смуги?

Відповідь

Правильна відповідь: 2.72

Завдання 26.1

У прямокутному трикутнику $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) відстані від середини медіани $BM$ до катетів $AC$ і $BC$ дорівнюють 5 см і 6 см відповідно.
1. Визначте довжину катета $AC$ (у см).

Відповідь

Правильна відповідь: 24

Завдання 26.2

(Умова завдання 26.) 2. Визначте радіус (у см) кола, описаного навколо трикутника $ABC$.

Відповідь

Правильна відповідь: 13

Завдання 27

Знаменник геометричної прогресії дорівнює $\dfrac{2}{3}$, а сума чотирьох перших її членів дорівнює 65. Знайдіть перший член цієї прогресії.

Відповідь

Правильна відповідь: 27

Завдання 28

У майстерні мали виготовити 240 стільців за $n$ днів, причому щодня планували виробляти однакову кількість стільців. Однак, на прохання замовника, завдання виконали на 2 дні раніше запланованого терміну. Для цього довелося денну норму виготовлення збільшити на 4 стільці. Визначте $n$.

Відповідь

Правильна відповідь: 12

Завдання 29

В Оленки є 8 різних фотографій з її зображенням та 6 різних фотографій її класу. Скільки всього в неї є способів вибрати з них 3 фотографії зі своїм зображенням для персональної сторінки в соціальній мережі та 2 фотографії свого класу для сайту школи?

Відповідь

Правильна відповідь: 840

Завдання 30

У прямокутній системі координат на площині задано колінеарні вектори $\overrightarrow{AB}$ та $\vec{a}(3;\,-5)$. Визначте абсцису точки $B$, якщо $A(-4;\,1)$, а точка $B$ лежить на прямій $y = 3$.

Відповідь

Правильна відповідь: -5.2

Завдання 31

Задано функції $f(x) = x^3$ і $g(x) = 4|x|$.
1. Побудуйте графік функції $f$.
2. Побудуйте графік функції $g$.
3. Визначте абсциси точок перетину графіків функцій $f$ і $g$.
4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій $f$ і $g$.

Розв'язання

3. $x_1 = 0$; $x_2 = 2$.
4. $S = 4$.

Завдання 32

У правильній чотирикутній піраміді $SABCD$ сторона основи $ABCD$ дорівнює $c$, а бічне ребро $SA$ утворює з площиною основи кут $\alpha$. Через основу висоти піраміди паралельно грані $ASD$ проведено площину $\beta$.
1. Побудуйте переріз піраміди $SABCD$ площиною $\beta$.
2. Обґрунтуйте вид перерізу.
3. Визначте периметр перерізу.

Розв'язання

$P = \dfrac{3\cos\alpha + \sqrt{2}}{2\cos\alpha}\cdot c$.

Завдання 33

Розв'яжіть нерівність $\dfrac{\log_a x}{x^2 + (a - 4)x + 4 - 2a} \leqslant 0$ залежно від значень параметра $a$.

Розв'язання

Якщо $a \in (0;\,1)$, то $x \in [1;\,2 - a) \cup (2;\,+\infty)$;
якщо $a \in (1;\,2)$, то $x \in (0;\,2 - a) \cup [1;\,2)$;
якщо $a \in [2;\,+\infty)$, то $x \in [1;\,2)$.

⏱ Пройти цей тест онлайн

Інші варіанти з математики

Завдання — офіційні матеріали Українського центру оцінювання якості освіти (testportal.gov.ua).