ЗНО 2016 з математики · пробний тест

Офіційні завдання ЗНО 2016 року з математики — 35 завдань, 180 хв, максимум 48 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «3\frac{5}{12}+\frac 78=…»

⏱ Пройти як на ЗНО Тренування з перевіркою

Завдання 1

$3\frac{5}{12}+\frac 78=$

А. $3\frac{12}{20}$
Б. $\frac{17}{8}$
В. $\frac{22}{20}$
Г. $3\frac{7}{24}$
Д. $4\frac{7}{24}$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $4\frac{7}{24}$

Завдання 2

Довжина сторони $AB$ паралелограма $ABCD$ дорівнює $10$ см, а його периметр – $60$ см. Визначте довжину сторони $BC$.

А. $50$ см
Б. $40$ см
В. $25$ см
Г. $20$ см
Д. $6$ см

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $20$ см

Завдання 3

Для оформлення зали до свята закуплено повітряні кульки лише двох кольорів у відношенні $4:5.$ Якому з наведених чисел може дорівнювати загальна кількість повітряних кульок, закуплених для оформлення зали?

А. $100$
Б. $115$
В. $117$
Г. $120$
Д. $145$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $117$

Завдання 4

Якому проміжку належить корінь рівняння $5^{x+1}=125$?

А. $[0; 3)$
Б. $[3; 4)$
В. $[4; 10)$
Г. $[10; 25)$
Д. $[25; 625]$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $[0; 3)$

Завдання 5

На рисунку зображено фрагмент графіка однієї з наведених функцій на проміжку $[0; \pi].$ Укажіть цю функцію.

А. $y=2\sin x$
Б. $y=\sin 2x$
В. $y=2\cos x$
Г. $y=\cos 2x$
Д. $y=-2\sin x$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $y=2\sin x$

Завдання 6

У просторі задано пряму $b$ i точку $A$, що не належить цій прямій. Скільки всього існує різних площин, які проходять через точку $A$ і не мають спільних точок з прямою $b$?

А. жодної
Б. лише одна
В. лише дві
Г. лише три
Д. безліч

Відповідь

Правильна відповідь: Д — безліч

Завдання 7

Розв'яжіть систему рівнянь $$\left\{\begin{array}{l} 2x-3y=14,\\ x+3y=-11. \end{array}\right.$$
Для отриманого розв'язку $(x_0; y_0)$ обчисліть суму $x_0+y_0.$

А. $-4$
Б. $1$
В. $-1$
Г. $4$
Д. $-3$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $-3$

Завдання 8

Комп'ютерна програма видаляє у восьмицифровому числі одну цифру навмання. Яка ймовірність того, що в числі $12506975$ буде видалено цифру $5$?

А. $\frac 58$
Б. $\frac 18$
В. $\frac 12$
Г. $\frac 15$
Д. $\frac 14$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $\frac 14$

Завдання 9

Прямі $AB$ i $CK$ паралельні, $CB$ – бісектриса кута $ACK.$ Визначте градусну міру кута $ABC$, якщо $\angle BAC=52^\circ.$

А. $38^\circ$
Б. $52^\circ$
В. $64^\circ$
Г. $69^\circ$
Д. $128^\circ$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $64^\circ$

Завдання 10

Обчисліть значення функції $$y=\log_{\frac 13}(x^2-7)$$ у точці $x_0=4.$

А. $-1$
Б. $-2$
В. $2$
Г. $3$
Д. $0\mathord{,}5$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $-2$

Завдання 11

На сторонах $AB$ та $AC$ трикутника $ABC$ задано точки $K$ i $M$ відповідно, $KM\ ||\ BC$ (див. рисунок). Визначте довжину відрізка $KM$, якщо $AK=6$ см, $KB=2$ см, $BC=10$ см.

А. $6$ см
Б. $7$ см
В. $7\mathord{,}5$ см
Г. $8$ см
Д. $8\mathord{,}5$ см

Відповідь

Правильна відповідь: В — $7\mathord{,}5$ см

Завдання 12

Обчисліть $\mathrm{tg}\ \alpha$, якщо $4\sin \alpha-\cos \alpha=2\cos \alpha-\sin \alpha.$

А. $\frac 35$
Б. $\frac 13$
В. $\frac 15$
Г. $3$
Д. $\frac 53$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $\frac 35$

Завдання 13

Спростіть вираз $$\frac{5}{a-9}:\frac{1}{2\sqrt{a}-6}.$$

А. $\frac{10}{\sqrt{a}-3}$
Б. $\frac{5}{2\sqrt{a}+6}$
В. $\frac{\sqrt{a}+3}{10}$
Г. $\frac{10}{\sqrt{a}+3}$
Д. $\frac{2\sqrt{a}-6}{5}$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $\frac{10}{\sqrt{a}+3}$

Завдання 14

Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює $a$, діагональ бічної грані – $d.$ Укажіть формулу для обчислення площі $S_\text{б}$ бічної поверхні цієї призми.

А. $S_\text{б}=3a\sqrt{d^2-a^2}$
Б. $S_\text{б}=3a\sqrt{d^2+a^2}$
В. $S_\text{б}=3ad$
Г. $S_\text{б}=a\sqrt{a^2-d^2}$
Д. $S_\text{б}=a(d^2+a^2)$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $S_\text{б}=3a\sqrt{d^2-a^2}$

Завдання 15

Розв'яжіть рівняння $|2x-1|=6.$

А. $-3\mathord{,}5;\ 3\mathord{,}5$
Б. $-2\mathord{,}5;\ 2\mathord{,}5$
В. $-3\mathord{,}5;\ 2\mathord{,}5$
Г. $-2\mathord{,}5;\ 3\mathord{,}5$
Д. $3\mathord{,}5$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $-2\mathord{,}5;\ 3\mathord{,}5$

Завдання 16

Парна функція $y=f(x)$ визначена на проміжку $(-\infty; +\infty).$ Які з наведених тверджень є правильними?
I. $f(-10)=-f(10).$
II. $f(-6)=f(6).$
III. Графік функції $y=f(x)$ симетричний відносно осі $y.$

А. лише І
Б. лише ІI
В. лише І i III
Г. лише ІI i ІІI
Д. лише ІІI

Відповідь

Правильна відповідь: Г — лише ІI i ІІI

Завдання 17

Цукерка має форму конуса, висота якого дорівнює $3$ см, а діаметр основи – $2$ см. Маса $1$ см$^3$ шоколаду, з якого виготовлено цукерку, становить $3$ г. Визначте масу $100$ таких цукерок, якщо кожна цукерка є однорідною й не має всередині порожнин. Укажіть відповідь, найближчу до точної.

А. $900$ г
Б. $950$ г
В. $1000$ г
Г. $1050$ г
Д. $1100$ г

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $950$ г

Завдання 18

Якщо $2^a=\frac 15$, то $2^{6-a}=$

А. $12\mathord{,}8$
Б. $59$
В. $69$
Г. $240$
Д. $320$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $320$

Завдання 19

Укажіть первісну $F(x)$ для функції $f(x)=\frac{1}{2x}.$

А. $F(x)=\frac{1}{x^2}$
Б. $F(x)=\frac{1}{2}\ln |x|$
В. $F(x)=-\frac{1}{2x^2}$
Г. $F(x)=2\ln |x|$
Д. $F(x)=\ln |2x|$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $F(x)=\frac{1}{2}\ln |x|$

Завдання 20

Розв'яжіть нерівність $$\frac{(5-x)^2}{x^2+x-6}\ge 0.$$

А. $(-\infty; -3)\cup (2; 5]$
Б. $(-3; -2)\cup [5; +\infty)$
В. $(-\infty; -3)\cup (2; +\infty)$
Г. $(-\infty; -2)\cup (3; +\infty)$
Д. $(-3; 2)\cup \{5\}$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $(-\infty; -3)\cup (2; +\infty)$

Завдання 21

Установіть відповідність між початком речення (1–4) та його закінченням (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

Графік функції $y=5-x$
Графік функції $y=2x+3$
Графік рівняння $2x+6=0$
Графік функції $y=x-4$

Закінчення речення

А. не перетинає вісь $y.$
Б. не має спільних точок з графіком функції $y=x^2-5.$
В. утворює з додатним напрямом осі $x$ тупий кут.
Г. паралельний прямій $y-x=0.$
Д. перетинає коло, задане рівнянням $x^2+y^2=4.$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — В, 2 — Д, 3 — А, 4 — Г

Завдання 22

Установіть відповідність між числовим виразом (1–4) та його значенням (А – Д).

Числовий вираз

$16^{\frac 12}$
$\left(\frac 14\right)^{-2}$
$(2^3)^2$
$2^{3\mathord{,}5}\cdot 2^{1\mathord{,}5}$

Значення числового виразу

А. $4$
Б. $8$
В. $16$
Г. $32$
Д. $64$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — А, 2 — В, 3 — Д, 4 — Г

Завдання 23

У прямокутній системі координат у просторі зображено прямокутний паралелепіпед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, вершина $B$ якого збігається з початком координат, а вершини $A$, $C$ i $B_1$ належать осям $x$, $y$ i $z$ відповідно (див. рисунок). Вершина $D_1$ має координати $(4; 8; 12).$
До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

Серединою відрізка $BC$ є точка
Вектор $\overrightarrow{BA}$ має координати
Точка, що належить відрізку $DD_1$ і віддалена від точки $D$ на $4$ одиниці, має координати
Точка $C_1$ має координати

Закінчення речення

А. $(0; 8; 12).$
Б. $(4; 0; 0).$
В. $(4; 8; 0).$
Г. $(0; 4; 0).$
Д. $(4; 8; 4).$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — Б, 3 — Д, 4 — А

Завдання 24

Установіть відповідність між геометричною фігурою (1–4) та радіусом кола (А – Д), вписаного в цю геометричну фігуру.

Геометрична фігура

Радіус кола, вписаного в геометричну фігуру

А. $\frac{\sqrt{6}}{2}$
Б. $1$
В. $\frac 12$
Г. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Д. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Д, 2 — Г, 3 — В, 4 — А

Завдання 25.1

На взуттєвій фабриці пошили $5340$ пар дитячого, жіночого та чоловічого взуття. Чоловічого взуття було пошито $2100$ пар, а жіночого – у $5$ разів більше, ніж дитячого.
1. На скільки відсотків жіночого взуття було пошито більше, ніж дитячого?
2. Скільки пар дитячого взуття було пошито на цій фабриці?
Запишіть відповідь до частини 1.

Відповідь

Правильна відповідь: 400

Завдання 25.2

(Умова завдання 25.) Запишіть відповідь до частини 2.

Відповідь

Правильна відповідь: 540

Завдання 26.1

Гіпотенуза $AC$ рівнобедреного прямокутного трикутника $ABC$ дорівнює $3\mathord{,}6$ м. У цей трикутник вписано квадрат $MNKP$, дві вершини якого знаходяться на гіпотенузі, а дві інші – на катетах.
1. Визначте площу трикутника $ABC$ (у м$^2$).
2. Обчисліть площу квадрата $MNKP$ (у м$^2$).
Запишіть відповідь до частини 1.

Відповідь

Правильна відповідь: 3.24

Завдання 26.2

(Умова завдання 26.) Запишіть відповідь до частини 2.

Відповідь

Правильна відповідь: 1.44

Завдання 27

Під час підготовки до заліку з вищої математики студент розв'язав за $9$ днів $315$ задач. У перший день він розв'язав $11$ задач, а кожного наступного дня розв'язував на одну й ту ж саму кількість задач більше, ніж попереднього дня. Визначте кількість задач, які студент розв'язав дев'ятого дня.

Відповідь

Правильна відповідь: 59

Завдання 28

Розв'яжіть рівняння $\log_2x+\log_2(x-7)=3.$ Якщо рівняння має єдиний корінь, то запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, то запишіть у відповіді їхню суму.

Відповідь

Правильна відповідь: 8

Завдання 29

Марійка зірвала на клумбі $9$ нарцисів та $4$ тюльпани. Скільки всього існує способів вибору із цих квітів $3$ нарцисів та $2$ тюльпанів для букета?

Відповідь

Правильна відповідь: 504

Завдання 30

Діагональ $BD$ прямокутної трапеції $ABCD$ є бісектрисою кута $ADC$ й утворює з основою $AD$ кут $30^\circ$ (див. рисунок). Визначте довжину середньої лінії трапеції $ABCD$ (у см), якщо $BD=20\sqrt{3}$ см.

Відповідь

Правильна відповідь: 25

Завдання 31

Знайдіть найбільше та найменше значення функції $f(x)=x+\sin 2x$ на відрізку $\left[0; \frac{\pi}{2}\right].$

Розв'язання

$$\begin{gathered} \max\limits_{x \in \left[0;\frac{\pi}{2}\right]} f(x) = f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2},\\[6pt] \min\limits_{x \in \left[0;\frac{\pi}{2}\right]} f(x) = f(0) = 0. \end{gathered}$$

Завдання 32

У правильній чотирикутній піраміді $SABCD$ з точки $O$, яка є основою висоти $SO$, до бічного ребра $SA$ проведено перпендикуляр $OM$ довжиною $3\sqrt{6}.$ Двогранний кут при бічному ребрі піраміди дорівнює $120^\circ.$
1. Доведіть, що пряма $SA$ перпендикулярна до площини $BMD.$
2. Знайдіть об'єм піраміди $SABCD.$

Розв'язання

2. $972.$

Завдання 33

Розв’яжіть нерівність $\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}\gt a$ при всіх значеннях параметра $a.$

Розв'язання

$x\in \{\varnothing\}$, якщо $a\in (-\infty; 0]\cup [4; +\infty)$;
$x\in [-a; a]$, якщо $a\in (0; 2)$;
$x\in \left(-\frac{a\sqrt{a(4-a)}}{2}; \frac{a\sqrt{a(4-a)}}{2}\right)$, якщо $a\in [2; 4).$

⏱ Пройти цей тест онлайн

Інші варіанти з математики

Завдання — офіційні матеріали Українського центру оцінювання якості освіти (testportal.gov.ua).