НМТ 2025 з математики · варіант 2

Офіційні завдання НМТ 2025 року з математики — 22 завдання, 60 хв, максимум 32 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «На діаграмі відображено результати опитування учнів щодо тривалості підготовки до контроль…»

⏱ Пройти як на НМТ Тренування з перевіркою

Завдання 1

Рисунок до завдання 1
На діаграмі відображено результати опитування учнів щодо тривалості підготовки до контрольної. Визначте за діаграмою кількість учнів, що готувалися до контрольної не менш як 2 години.
  1. А. 4
  2. Б. 7
  3. В. 9
  4. Г. 13
  5. Д. 15
Відповідь
Правильна відповідь: Г — 13

Завдання 2

Рисунок до завдання 2
У паралелограмі $ABCD$ проведено діагональ $AC$ (див. рисунок). Визначте градусну міру гострого кута паралелограма, якщо $\angle CAD = 18^\circ$, $\angle ACD = 43^\circ$.
  1. А. $61^\circ$
  2. Б. $25^\circ$
  3. В. $129^\circ$
  4. Г. $51^\circ$
  5. Д. $29^\circ$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $61^\circ$

Завдання 3

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $2 - |x| = 0{,}1$?
  1. А. $2{,}1$
  2. Б. $-2{,}1$
  3. В. $-1{,}9$
  4. Г. $-0{,}05$
  5. Д. $20$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $-1{,}9$

Завдання 4

$4x + x^2 - 5 - 2x^2 - 4x + 19 =$
  1. А. $8x + x^2 + 14$
  2. Б. $x^2 + 14$
  3. В. $8x - x^2 + 14$
  4. Г. $-x^2 + 14$
  5. Д. $x^2 - 14$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $-x^2 + 14$

Завдання 5

Рисунок до завдання 5
На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Скільки всього площин, паралельних прямій $AB$, містять грані куба?
  1. А. жодної
  2. Б. лише одну
  3. В. лише дві
  4. Г. лише три
  5. Д. більш як три
Відповідь
Правильна відповідь: В — лише дві

Завдання 6

Графік функції $y = x^3$ перенесли на 4 одиниці вниз уздовж осі $y$. Графік якої функції отримали внаслідок такого перетворення?
  1. А. $y = x^3 + 4$
  2. Б. $y = x^3 - 4$
  3. В. $y = \dfrac{x^3}{4}$
  4. Г. $y = (x+4)^3$
  5. Д. $y = (x-4)^3$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $y = x^3 - 4$

Завдання 7

Чорної п'ятниці в магазині пропонують акцію: за кожен придбаний чорний гаманець покупець платить на 70 % менше від його ціни. Покупець придбав чорний гаманець і заплатив за нього 105 грн, скориставшись цією акцією. Визначте ціну (грн) цього гаманця до Чорної п'ятниці.
  1. А. 315
  2. Б. 350
  3. В. 175
  4. Г. 150
  5. Д. 245
Відповідь
Правильна відповідь: Б — 350

Завдання 8

Рисунок до завдання 8
У прямокутній системі координат у просторі кулі із центрами в точках $O_1$ і $O_2$ мають зовнішній дотик (див. рисунок). Якому значенню може дорівнювати радіус більшої кулі, якщо $O_1(1;\,-4;\,10)$, $O_2(7;\,4;\,-14)$?
  1. А. 26
  2. Б. 13
  3. В. 12
  4. Г. 10
  5. Д. 17
Відповідь
Правильна відповідь: Д — 17

Завдання 9

Якщо $a = \dfrac{(b+c)\cdot d}{2}$, то $c =$
  1. А. $\dfrac{2a-b}{d}$
  2. Б. $\dfrac{ad}{2} - b$
  3. В. $\dfrac{2a}{d} + b$
  4. Г. $\dfrac{2a+b}{d}$
  5. Д. $\dfrac{2a}{d} - b$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $\dfrac{2a}{d} - b$

Завдання 10

Які з наведених тверджень є правильними?
I. Якщо в трапецію можна вписати коло, то центр цього кола лежить на середній лінії трапеції.
II. Якщо в трапецію можна вписати коло, то центр цього кола збігається з точкою перетину діагоналей трапеції.
III. Якщо навколо трапеції можна описати коло, то центр цього кола обов'язково лежить на більшій основі трапеції.
  1. А. лише I та II
  2. Б. лише I
  3. В. лише I та III
  4. Г. лише II та III
  5. Д. I, II та III
Відповідь
Правильна відповідь: Б — лише I

Завдання 11

Якому проміжку належить корінь рівняння $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-7} = \sqrt{3}$?
  1. А. $(-7;\,-6]$
  2. Б. $(-6;\,-4]$
  3. В. $(-4;\,4]$
  4. Г. $(4;\,6]$
  5. Д. $(6;\,7]$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $(6;\,7]$

Завдання 12

Обчисліть значення похідної функції $f(x) = 6x - 2\cos x$ у точці $x_0 = \dfrac{\pi}{2}$.
  1. А. $3\pi + 2$
  2. Б. $8$
  3. В. $3\pi - 2$
  4. Г. $6$
  5. Д. $4$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $8$

Завдання 13

$\dfrac{20^7 \cdot 0{,}1^6}{4^5} =$
  1. А. $2{,}5$
  2. Б. $1{,}25$
  3. В. $8$
  4. Г. $\dfrac{1}{256}$
  5. Д. $0{,}000025$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $1{,}25$

Завдання 14

Розв'яжіть нерівність $\log_3(1-2x) < 2$.
  1. А. $\left(0;\,\dfrac{1}{2}\right)$
  2. Б. $\left(-4;\,\dfrac{1}{2}\right)$
  3. В. $\left(\dfrac{1}{2};\,+\infty\right)$
  4. Г. $(-4;\,0)$
  5. Д. $(-\infty;\,-4)$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $\left(-4;\,\dfrac{1}{2}\right)$

Завдання 15

Рисунок до завдання 15
На стороні $AD$ прямокутника $ABCD$ вибрано точку $K$ так, що трикутник $BKC$ є прямокутним (див. рисунок). Визначте периметр прямокутника $ABCD$, якщо $\angle ABK = 30^\circ$, $KC = 6\sqrt{3}$.
  1. А. $24\sqrt{3} + 18$
  2. Б. $24\sqrt{3} + 12$
  3. В. $24 + 6\sqrt{3}$
  4. Г. $36$
  5. Д. $36\sqrt{3}$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $24 + 6\sqrt{3}$

Завдання 16

До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
  1. Пряма $y = -2x$
  2. Пряма $y = 2x + 2$
  3. Пряма $y = -2x + 4$
Закінчення речення
  1. А. утворює гострий кут із додатним напрямком осі $x$.
  2. Б. симетрична прямій $y = 2x + 4$ відносно осі $y$.
  3. В. є паралельною прямій $y = x$.
  4. Г. проходить через початок координат.
  5. Д. не перетинає жодну з осей координат.
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — А, 3 — Б

Завдання 17

Узгодьте вираз (1–3) та проміжок (А – Д), якому належить його значення, де $\varphi = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ – відома математична величина, яку називають золотим числом.
Вираз
  1. $\varphi^0$
  2. $(\sqrt{5}-1)\cdot\varphi$
  3. $\log_{\frac{1}{5}}(2\varphi - 1)$
Проміжок
  1. А. $(-\infty;\,-1]$
  2. Б. $(-1;\,0]$
  3. В. $(0;\,1]$
  4. Г. $(1;\,2]$
  5. Д. $(2;\,+\infty)$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — В, 2 — Г, 3 — Б

Завдання 18

Рисунок до завдання 18
На рисунку зображено квадрат $ABCD$. На стороні $C$ вибрано точку $K$ так, що $KC = 4$ см. Точка $M$ – середина відрізка $AK$. Пряма, що проходить через точку $M$ паралельно стороні $BC$, перетинає сторони $AB$ та $CD$ в точках $N$ і $P$ відповідно, $NM = 6$ см. Узгодьте відрізок (1–3) та його довжину (А – Д).
Відрізок
  1. $AB$
  2. $MP$
  3. $AK$
Довжина відрізка (см)
  1. А. 10
  2. Б. 12
  3. В. 16
  4. Г. 20
  5. Д. 24
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — В, 2 — А, 3 — Г

Завдання 19

Функція $f(x)$ є парною, а функція $g(x)$ – непарною. Обчисліть значення виразу $\dfrac{4g(-x_0) + 2f(x_0)}{5f(-x_0)}$, якщо $f(x_0) = 1$, $g(x_0) = -3$.
Відповідь
Правильна відповідь: 2.8

Завдання 20

Рисунок до завдання 20
На рисунку зображено схему салону пасажирського літака. У салоні $n$ рядів, у кожному з яких розташовано 6 крісел (по 3 крісла обабіч проходу). Реєструючи пасажира, електронна система навмання вибирає для нього посадкове місце. Імовірність того, що першому зареєстрованому пасажиру дістанеться місце в перших трьох рядах, дорівнює $\dfrac{1}{14}$. Визначте $n$.
Відповідь
Правильна відповідь: 42

Завдання 21

Твірна конуса й бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнюють по 25 см. Апофема піраміди дорівнює радіусу основи конуса. Обчисліть площу (см2) бічної поверхні піраміди, якщо площа бічної поверхні конуса дорівнює $500\pi$ см2.
Відповідь
Правильна відповідь: 900

Завдання 22

Визначте значення $a$, за якого система рівнянь $\begin{cases} y + (x-1)^2 = 5a, \\ x^2 - 2x + y^2 + 8y = 47 \end{cases}$ має єдиний розв'язок.
Відповідь
Правильна відповідь: -2.4
⏱ Пройти цей тест онлайн

Інші варіанти з математики

Завдання — офіційні матеріали Українського центру оцінювання якості освіти (testportal.gov.ua).