ЗНО 2019 з математики · основна сесія

Офіційні завдання ЗНО 2019 року з математики — 35 завдань, 210 хв, максимум 48 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «Спростіть вираз 0{,}8b^9 : (8b^3), де b \ne 0.…»

⏱ Пройти як на ЗНО Тренування з перевіркою

Завдання 1

Спростіть вираз $0{,}8b^9 : (8b^3)$, де $b \ne 0$.

А. $0{,}1b^6$
Б. $10b^6$
В. $6{,}4b^{12}$
Г. $0{,}1b^3$
Д. $10b^3$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $0{,}1b^6$

Завдання 2

Кола із центрами в точках $O$ і $O_1$ мають внутрішній дотик (див. рисунок). Обчисліть відстань $OO_1$, якщо радіуси кіл дорівнюють 12 см і 8 см.

А. 1,5 см
Б. 2 см
В. 3 см
Г. 4 см
Д. 8 см

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 4 см

Завдання 3

Розв'яжіть рівняння $(x + 1)(2x - 3) = 0$.

А. $-3;\ 1$
Б. $-1{,}5;\ 1$
В. $-1;\ \dfrac{2}{3}$
Г. $-1;\ 3$
Д. $-1;\ 1{,}5$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $-1;\ 1{,}5$

Завдання 4

Якщо ціна паркету ($p$) пов'язана із ціною деревини для його виробництва ($d$) співвідношенням $p = 5d + 8$, то $d =$

А. $\dfrac{1}{5}p - 8$
Б. $5p - 40$
В. $\dfrac{1}{5}(p - 8)$
Г. $5p + 40$
Д. $\dfrac{1}{5}(p + 8)$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $\dfrac{1}{5}(p - 8)$

Завдання 5

Розгортку якого з наведених многогранників зображено на рисунку?

Відповідь

Правильна відповідь: А —

Завдання 6

Укажіть формулу для обчислення об'єму $V$ конуса, площа основи якого дорівнює $S$, а висота – $h$.

А. $V = Sh$
Б. $V = \dfrac{Sh}{2}$
В. $V = 4Sh$
Г. $V = \dfrac{4Sh}{3}$
Д. $V = \dfrac{Sh}{3}$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $V = \dfrac{Sh}{3}$

Завдання 7

На рисунку зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на проміжку $[1;\,8]$. Скільки нулів має ця функція на заданому проміжку?

А. жодного
Б. один
В. два
Г. три
Д. чотири

Відповідь

Правильна відповідь: Б — один

Завдання 8

Яке з наведених чисел є розв'язком нерівності $|x| > 3$?

А. 3
Б. 1
В. 0
Г. $-3$
Д. $-8$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $-8$

Завдання 9

Яку з наведених властивостей має функція $y = \sqrt{x}$?

А. набуває лише невід'ємних значень
Б. спадає на всій області визначення
В. парна
Г. періодична
Д. має дві точки екстремуму

Відповідь

Правильна відповідь: А — набуває лише невід'ємних значень

Завдання 10

Спростіть вираз $(1 - \sin^2\alpha)\cdot\operatorname{tg}^2\alpha$.

А. $\sin 2\alpha$
Б. $\cos 2\alpha$
В. $\dfrac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}$
Г. $\sin^2\alpha$
Д. $\operatorname{ctg}^2\alpha$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $\sin^2\alpha$

Завдання 11

На діаграмі відображено розподіл кількості працівників фірми за віком. Скільки всього працівників працює на цій фірмі?

А. 40
Б. 96
В. 120
Г. 144
Д. 110

Відповідь

Правильна відповідь: В — 120

Завдання 12

Скоротіть дріб $\dfrac{a^2 - b^2}{a^2 - ab}$.

А. $\dfrac{a + b}{a}$
Б. $\dfrac{a - b}{a}$
В. $\dfrac{b}{a}$
Г. $b$
Д. $\dfrac{a + b}{b}$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $\dfrac{a + b}{a}$

Завдання 13

На рисунку зображено паралелограм $ABCD$. Які з наведених тверджень є правильними?
I. $\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ$.
II. $AB = CD$.
III. $AC \perp BD$.

А. лише I
Б. лише II і III
В. лише I і II
Г. лише I і III
Д. лише II

Відповідь

Правильна відповідь: В — лише I і II

Завдання 14

Якому з наведених проміжків належить число $\log_2 \dfrac{1}{3}$?

А. $(-\infty;\,-3)$
Б. $(-3;\,-1)$
В. $(-1;\,1)$
Г. $(1;\,3)$
Д. $(3;\,+\infty)$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $(-3;\,-1)$

Завдання 15

На рисунку зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на проміжку $[-3;\,3]$. Одна з наведених точок належить графіку функції $y = -f(x)$. Укажіть цю точку.

А. $K$
Б. $L$
В. $O$
Г. $M$
Д. $N$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $N$

Завдання 16

Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} 2y = 5x, \\ x + y = 14. \end{cases}$ Для одержаного розв'язку $(x_0;\,y_0)$ укажіть добуток $x_0 \cdot y_0$.

А. 5
Б. 10
В. 20
Г. 40
Д. 48

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 40

Завдання 17

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, усі її бічні грані нахилені до площини основи під кутом $60^\circ$. Визначте площу бічної поверхні цієї піраміди.

А. 72 см²
Б. $24\sqrt{3}$ см²
В. $48\sqrt{3}$ см²
Г. $72\sqrt{3}$ см²
Д. 144 см²

Відповідь

Правильна відповідь: А — 72 см²

Завдання 18

На рисунку зображено графіки функцій $y = f(x)$ і $y = g(x)$. Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

А. $S = \displaystyle\int_{1}^{4} (f(x) - g(x))\,dx$
Б. $S = \displaystyle\int_{1}^{4} (g(x) - f(x))\,dx$
В. $S = \displaystyle\int_{2}^{7} (f(x) + g(x))\,dx$
Г. $S = \displaystyle\int_{2}^{7} (f(x) - g(x))\,dx$
Д. $S = \displaystyle\int_{2}^{7} (g(x) - f(x))\,dx$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $S = \displaystyle\int_{2}^{7} (f(x) - g(x))\,dx$

Завдання 19

На кресленні кутової шафи (вид зверху) зображено рівні прямокутники $ABCD$ і $KMEF$ та п'ятикутник $EMOAD$ (див. рисунок). Визначте довжину відрізка $ED$, якщо $OK = OB = 1{,}2$ м, $KM = AB = 0{,}5$ м, $KF = 0{,}3$ м. Укажіть відповідь, найближчу до точної.

А. 0,5 м
Б. 0,55 м
В. 0,65 м
Г. 0,6 м
Д. 0,7 м

Відповідь

Правильна відповідь: Б — 0,55 м

Завдання 20

Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння $2^{x + 3} - 3 \cdot 2^x = 10\sqrt{2}$?

А. $(-\infty;\,0)$
Б. $[0;\,0{,}5)$
В. $[0{,}5;\,1)$
Г. $[1;\,2)$
Д. $[2;\,+\infty)$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $[1;\,2)$

Завдання 21

До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

Графік функції $y = 1$
Графік функції $y = \cos x$
Графік функції $y = 4 - x^2$
Графік функції $y = \log_3 x$

Закінчення речення

А. не перетинає вісь $y$.
Б. є симетричним відносно початку координат.
В. має безліч спільних точок з віссю $x$.
Г. не має спільних точок з віссю $x$.
Д. проходить через точку $(1;\,3)$.

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — В, 3 — Д, 4 — А

Завдання 22

Установіть відповідність між твердженням про дріб (1–4) та дробом, для якого це твердження є правильним (А – Д).

Твердження про дріб

є правильним
належить проміжку $(1;\,1{,}5)$
дорівнює значенню виразу $7^{\log_7 1{,}6}$
є сумою чисел $\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}$ та $\sqrt{\dfrac{25}{9}}$

Дріб

А. $\dfrac{13}{6}$
Б. $\dfrac{3}{5}$
В. $\dfrac{13}{5}$
Г. $\dfrac{8}{5}$
Д. $\dfrac{6}{5}$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — Д, 3 — Г, 4 — А

Завдання 23

Прямокутну трапецію $ABCD$ ($AD \parallel BC$, $AD > BC$) з більшою бічною стороною $CD = 10$ описано навколо кола радіуса 4. Установіть відповідність між величиною (1–4) та її числовим значенням (А – Д).

Величина

довжина сторони $AB$
довжина проекції сторони $CD$ на пряму $AD$
довжина основи $AD$
довжина середньої лінії трапеції $ABCD$

Числове значення величини

А. 6
Б. 8
В. 9
Г. 12
Д. 18

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — А, 3 — Г, 4 — В

Завдання 24

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Установіть відповідність між парою прямих (1–4) та їх взаємним розташуванням (А – Д).

Пара прямих

$AC$ й $CC_1$
$AB_1$ і $CD_1$
$AC$ й $CD_1$
$AB_1$ і $C_1D$

Взаємне розташування

А. прямі паралельні
Б. прямі мимобіжні
В. прямі перетинаються й утворюють прямий кут
Г. прямі перетинаються й утворюють кут $45^\circ$
Д. прямі перетинаються й утворюють кут $60^\circ$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — В, 2 — Б, 3 — Д, 4 — А

Завдання 25.1

У таблиці наведено тарифи на доставку вантажу за маршрутом $N$ службою кур'єрської доставки. Будь-яку кількість вантажів можна об'єднувати в один, маса якого дорівнює сумі мас об'єднаних вантажів. Жодних додаткових платежів за об'єднання вантажів чи доставку вантажу, окрім указаних у таблиці, немає.

Маса вантажу, кг	Вартість доставки вантажу, грн
до 50	100
51 – 75	110
76 – 100	205
101 – 150	310

1. За яку найменшу суму грошей $P$ (у грн) можна доставити цією службою за маршрутом $N$ три вантажі, маси яких становлять 31 кг, 36 кг та 40 кг?

Відповідь

Правильна відповідь: 210

Завдання 25.2

(Умова завдання 25.) 2. Скільки відсотків становить $P$ від загальної суми грошей за доставку цих трьох вантажів, якщо кожен з них відправляти окремо?

Відповідь

Правильна відповідь: 70

Завдання 26.1

На рисунку зображено ромб $ABCD$, діагоналі якого перетинаються в точці $O$. Із цієї точки до сторони $AD$ проведено перпендикуляр $OK$ довжиною 3 см. Площа трикутника $AOD$ дорівнює 15 см².
1. Визначте довжину сторони ромба $ABCD$ (у см).

Відповідь

Правильна відповідь: 10

Завдання 26.2

(Умова завдання 26.) 2. Обчисліть тангенс гострого кута ромба $ABCD$.

Відповідь

Правильна відповідь: 0.75

Завдання 27

За якого від'ємного значення $x$ значення виразів $x^2 - 4$, $3 - 5x$ та $2 - 3x$ будуть послідовними членами арифметичної прогресії?

Відповідь

Правильна відповідь: -8

Завдання 28

Маршрутний автобус, рухаючись зі сталою швидкістю, подолав відстань від міста $A$ до міста $B$ за 5 год, а на зворотний шлях витратив на 30 хв менше. Визначте швидкість (у км/год) автобуса на маршруті від $A$ до $B$, якщо вона на 8 км/год менша за швидкість на маршруті від $B$ до $A$. Уважайте, що довжини маршрутів від $A$ до $B$ та від $B$ до $A$, якими рухався маршрутний автобус, рівні.

Відповідь

Правильна відповідь: 72

Завдання 29

У фінал пісенного конкурсу вийшло 4 солісти та 3 гурти. Порядковий номер виступу фіналістів визначають жеребкуванням. Скільки всього є варіантів послідовностей виступів фіналістів, якщо спочатку виступатимуть гурти, а після них – солісти? Уважайте, що кожен фіналіст виступатиме у фіналі лише один раз.

Відповідь

Правильна відповідь: 144

Завдання 30

У прямокутній системі координат на площині $xy$ задано прямокутний трикутник $ACB$ ($\angle C = 90^\circ$). Коло з центром у точці $A$, задане рівнянням $(x + 3)^2 + y^2 - 4y = 21$, проходить через вершину $C$. Сторона $AC$ паралельна осі $y$, довжина сторони $BC$ втричі більша за довжину сторони $AC$. Визначте координати вершини $B(x_B;\,y_B)$, якщо вона лежить у першій координатній чверті. У відповідь запишіть суму $x_B + y_B$.

Відповідь

Правильна відповідь: 19

Завдання 31

Задано функції $f(x) = \dfrac{2}{x}$ і $g(x) = 5 - 8x$.
1. Побудуйте графік функції $f$.
2. Побудуйте графік функції $g$.
3. Знайдіть похідну функції $f$.
4. До графіка функції $f$ проведено дотичні, паралельні графіку функції $g$. Визначте абсциси точок дотику.

Розв'язання

3. $f'(x) = -\dfrac{2}{x^2}$.
4. $x = -0{,}5$; $x = 0{,}5$.

Завдання 32

У нижній основі циліндра проведено хорду $AB$, довжина якої дорівнює $c$. Цю хорду видно із центра верхньої основи під кутом $\alpha$. Через хорду $AB$ проведено площину $\beta$ паралельно осі циліндра на відстані $d$ ($d \ne 0$) від неї.
1. Зобразіть переріз циліндра площиною $\beta$ та вкажіть його вид.
2. Обґрунтуйте відстань $d$.
3. Визначте площу цього перерізу.

Розв'язання

$S = \dfrac{c}{2}\sqrt{c^2\operatorname{ctg}^2\dfrac{\alpha}{2} - 4d^2}$.

Завдання 33

Задано систему нерівностей $\begin{cases} \dfrac{x + 1}{x - 2} \geqslant 0, \\ \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2\sin^2(\pi a) + \cos(2\pi a) + x} > a, \end{cases}$ де $x$ – змінна, $a$ – стала.
1. Розв'яжіть першу нерівність цієї системи.
2. Визначте множину розв'язків другої нерівності системи залежно від значень $a$.
3. Визначте всі розв'язки системи залежно від значень $a$.

Розв'язання

1. $x \in (-\infty;\,-1] \cup (2;\,+\infty)$.
2. $x \in R$, якщо $a \in (-\infty;\,0]$;
$x \in (-\infty;\,-\log_2(2a))$, якщо $a \in (0;\,+\infty)$.
3. $x \in (-\infty;\,-1] \cup (2;\,+\infty)$, якщо $a \in (-\infty;\,0]$;
$x \in (-\infty;\,-1] \cup (2;\,-\log_2(2a))$, якщо $a \in \left(0;\,\dfrac{1}{8}\right)$;
$x \in (-\infty;\,-1]$, якщо $a \in \left[\dfrac{1}{8};\,1\right)$;
$x \in (-\infty;\,-\log_2(2a))$, якщо $a \in [1;\,+\infty)$.

⏱ Пройти цей тест онлайн

Інші варіанти з математики

Завдання — офіційні матеріали Українського центру оцінювання якості освіти (testportal.gov.ua).