НМТ 2024 з математики · варіант 2

Офіційні завдання НМТ 2024 року з математики — 22 завдання, 60 хв, максимум 32 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «У салоні пасажирського літака 20 рядів, у кожному з яких розташовано по 3 крісла обабіч пр…»

⏱ Пройти як на НМТ Тренування з перевіркою

Завдання 1

Рисунок до завдання 1
У салоні пасажирського літака 20 рядів, у кожному з яких розташовано по 3 крісла обабіч проходу (див. рисунок). Реєструючи пасажира, електронна система навмання вибирає для нього посадкове місце. Яка імовірність того, що першому зареєстрованому пасажиру дістанеться місце біля проходу?
  1. А. $\dfrac{1}{2}$
  2. Б. $\dfrac{1}{6}$
  3. В. $\dfrac{1}{3}$
  4. Г. $\dfrac{2}{3}$
  5. Д. $\dfrac{1}{120}$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $\dfrac{1}{3}$

Завдання 2

$(4x-5)^2 =$
  1. А. $16x^2 - 40x + 25$
  2. Б. $16x^2 - 25$
  3. В. $16x^2 - 20x + 25$
  4. Г. $16x^2 + 25$
  5. Д. $4x^2 - 40x + 25$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $16x^2 - 40x + 25$

Завдання 3

Яке з наведених чисел є розв'язком нерівності $|-2x - 3| > 5$?
  1. А. $-2$
  2. Б. $-1$
  3. В. $0$
  4. Г. $1$
  5. Д. $2$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $2$

Завдання 4

Рисунок до завдання 4
Відомо, що вісь $AO$ Пізанської вежі натепер відхилена від вертикалі $BO$ на кут $4^\circ$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $AOC$, який утворює вісь вежі з горизонтальною поверхнею $OC$.
  1. А. $176^\circ$
  2. Б. $94^\circ$
  3. В. $104^\circ$
  4. Г. $86^\circ$
  5. Д. $96^\circ$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $86^\circ$

Завдання 5

Рисунок до завдання 5
На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажіть із-поміж наведених пряму, паралельну площині грані $AA_1B_1B$.
  1. А. $BC$
  2. Б. $C_1D$
  3. В. $BD$
  4. Г. $CB_1$
  5. Д. $A_1B$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $C_1D$

Завдання 6

Рисунок до завдання 6
Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію.
  1. А. $y = \log_4 x$
  2. Б. $y = \sqrt{x}$
  3. В. $y = x + 2$
  4. Г. $y = -x^2$
  5. Д. $y = \dfrac{1}{x}$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $y = x + 2$

Завдання 7

Маса протона наближено дорівнює $1{,}67 \cdot 10^{-27}$ кг. Визначте наближену масу (кг) 100 протонів.
  1. А. $167 \cdot 10^{-25}$
  2. Б. $1{,}67 \cdot 10^{-25}$
  3. В. $1{,}67 \cdot 10^{-29}$
  4. Г. $1{,}67 \cdot 10^{-2700}$
  5. Д. $1{,}67 \cdot 10^{25}$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $1{,}67 \cdot 10^{-25}$

Завдання 8

Основою піраміди є ромб, діагоналі якого дорівнюють 20 см і 12 см. Обчисліть об'єм (см3) піраміди, якщо її висота дорівнює 15 см.
  1. А. 1800
  2. Б. 1200
  3. В. 2400
  4. Г. 800
  5. Д. 600
Відповідь
Правильна відповідь: Д — 600

Завдання 9

Обчисліть значення виразу $2\sqrt{m + m + m}$, якщо $m = \dfrac{1}{27}$.
  1. А. $\dfrac{2}{3}$
  2. Б. $6$
  3. В. $\dfrac{1}{6}$
  4. Г. $\dfrac{3}{2}$
  5. Д. $\dfrac{2}{9}$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $\dfrac{2}{3}$

Завдання 10

Які з наведених тверджень є правильними?
I. Серединний перпендикуляр, проведений до сторони рівностороннього трикутника, ділить його на два рівних трикутники.
II. Точка перетину серединних перпендикулярів, проведених до катетів прямокутного трикутника, є серединою його гіпотенузи.
III. Точка перетину серединних перпендикулярів, проведених до сторін будь-якого тупокутного трикутника, міститься всередині цього трикутника.
  1. А. лише I
  2. Б. лише I та II
  3. В. лише I та III
  4. Г. лише II та III
  5. Д. I, II та III
Відповідь
Правильна відповідь: Б — лише I та II

Завдання 11

Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} 2x - \dfrac{y}{3} = 7, \\ 4x + \dfrac{2y}{3} = 6. \end{cases}$ Якщо $(x_0;\,y_0)$ – розв'язок системи, то $x_0 + y_0 =$
  1. А. $-3{,}5$
  2. Б. $4{,}5$
  3. В. $6$
  4. Г. $-4$
  5. Д. $10{,}5$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $-3{,}5$

Завдання 12

Сума перших п'яти членів геометричної прогресії $(b_n)$ дорівнює 32, а сума перших чотирьох її членів дорівнює 20. Визначте $b_5$.
  1. А. $1{,}6$
  2. Б. $52$
  3. В. $11{,}4$
  4. Г. $-12$
  5. Д. $12$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $12$

Завдання 13

$2\log_6 3 + \log_6 4 =$
  1. А. $\log_6 10$
  2. Б. $\log_6 24$
  3. В. $\log_6 13$
  4. Г. $2$
  5. Д. $6$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $2$

Завдання 14

Розв'яжіть рівняння $3^{x^2} = 81$. Якщо рівняння має один корінь, то вкажіть проміжок, якому він належить. Якщо рівняння має кілька коренів, то вкажіть проміжок, якому належить найменший з них.
  1. А. $(-\infty;\,-10)$
  2. Б. $[-10;\,-3)$
  3. В. $[-3;\,-2)$
  4. Г. $[-2;\,0)$
  5. Д. $[0;\,+\infty)$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $[-2;\,0)$

Завдання 15

Рисунок до завдання 15
На стороні $AD$ паралелограма $ABCD$ вибрано точку $K$ так, що $AK : KD = 3 : 2$, $BK = CD$ (див. рисунок). Визначте площу паралелограма $ABCD$, якщо $\angle AKB = \alpha$, $BC = 20$.
  1. А. $\dfrac{120}{\operatorname{tg}\,\alpha}$
  2. Б. $120\,\operatorname{tg}\,\alpha$
  3. В. $160\sin\alpha$
  4. Г. $60\cos\alpha$
  5. Д. $\dfrac{60}{\operatorname{tg}\,\alpha}$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $120\,\operatorname{tg}\,\alpha$

Завдання 16

Рисунок до завдання 16
На рисунку зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на відрізку $[1;\,9]$. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
  1. Найбільше значення функції $y = f(x)$ на відрізку $[1;\,9]$ дорівнює
  2. Найменше значення функції $y = f(x)$ на відрізку $[1;\,3]$ дорівнює
  3. Найбільше ціле значення $x$, за якого справджується нерівність $f(x) < 0$, дорівнює
Закінчення речення
  1. А. $-1$.
  2. Б. $9$.
  3. В. $6$.
  4. Г. $7$.
  5. Д. $5$.
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — Д, 3 — В

Завдання 17

Узгодьте вираз (1–3) із твердженням (А – Д) щодо значення цього виразу.
Вираз
  1. $\dfrac{\pi}{3}$
  2. $\sin\left(\dfrac{7\pi}{2}\right)$
  3. $\pi^{\cos 90^\circ}$
Твердження щодо значення виразу
  1. А. є ірраціональним числом
  2. Б. є натуральним числом
  3. В. є цілим від'ємним числом
  4. Г. є раціональним числом, що не є цілим
  5. Д. дорівнює 0
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — А, 2 — В, 3 — Б

Завдання 18

Рисунок до завдання 18
Трапеція $AKCD$ складається з квадрата $ABCD$ та трикутника $BKC$ (див. рисунок). Периметр квадрата $ABCD$ дорівнює 24 см, середня лінія трапеції $AKCD$ дорівнює 10 см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
  1. Довжина відрізка $BK$ дорівнює
  2. Довжина відрізка $KC$ дорівнює
  3. Відстань між центрами кіл, описаних навколо квадрата $ABCD$ та трикутника $BKC$, дорівнює
Закінчення речення
  1. А. 8 см.
  2. Б. 7 см.
  3. В. 6 см.
  4. Г. 10 см.
  5. Д. 12 см.
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — А, 2 — Г, 3 — Б

Завдання 19

Рисунок до завдання 19
На рисунку зображено графік функції $f(x) = \begin{cases} 1, & x \in (-\infty;\,0], \\ 2, & x \in (0;\,+\infty). \end{cases}$ Обчисліть значення виразу $\displaystyle\int_{-4}^{-1} f(x)\,dx + 2\int_1^8 f(x)\,dx$.
Відповідь
Правильна відповідь: 31

Завдання 20

Заступник директора школи складає розклад уроків для 10-го класу. Він запланував на понеділок шість уроків з таких предметів: геометрія, біологія, англійська мова, хімія, фізична культура, географія. Скільки всього існує різних варіантів розкладу уроків на цей день, якщо урок фізичної культури має бути першим або останнім у розкладі?
Відповідь
Правильна відповідь: 240

Завдання 21

У прямокутній системі координат у просторі задано конус із вершиною $M(4;\,-9;\,7)$. Осьовим перерізом цього конуса є рівносторонній трикутник $AMB$. Визначте площу $S$ повної поверхні цього конуса, якщо $A(8;\,-12;\,12)$. У відповіді запишіть значення $\dfrac{S}{\pi}$.
Відповідь
Правильна відповідь: 37.5

Завдання 22

Визначте суму всіх цілих значень $a$, за кожного з яких рівняння $\lg(2ax + 5 - a) = \lg(4x)$ не має коренів.
Відповідь
Правильна відповідь: 14
⏱ Пройти цей тест онлайн

Інші варіанти з математики

Завдання — офіційні матеріали Українського центру оцінювання якості освіти (testportal.gov.ua).