Офіційні завдання ЗНО 2013 року з математики — 33 завдання, 150 хв, максимум 54 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «Розташуйте в порядку зростання числа \dfrac 19; 0{,}1; 0{,}11.…»
Розташуйте в порядку зростання числа $\dfrac 19$; $0{,}1$; $0{,}11.$
А. $\dfrac 19$; $0{,}1$; $0{,}11$
Б. $0{,}1$; $0{,}11$; $\dfrac 19$
В. $0{,}11$; $\dfrac 19$; $0{,}1$
Г. $0{,}1$; $\dfrac 19$; $0{,}11$
Д. $\dfrac 19$; $0{,}11$; $0{,}1$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $0{,}1$; $0{,}11$; $\dfrac 19$
Завдання 2
Діаграма, зображена на рисунку, містить інформацію про кількість проданих одиниць техніки в супермаркеті електроніки протягом одного кварталу. Використовуючи дані діаграми, доберіть таке закінчення речення, щоб утворилося правильне твердження: «Більше ніж цифрових фотоапаратів, але менше ніж мобільних телефонів, у цьому супермаркеті продано...»
А. і телевізорів, і відеокамер
Б. і телевізорів, і ноутбуків
В. і відеокамер, і ноутбуків
Г. лише телевізорів
Д. лише ноутбуків
Відповідь
Правильна відповідь: Б — і телевізорів, і ноутбуків
Завдання 3
Точки $B$ i $C$ лежать на прямій, що паралельна прямій $a.$ Скільки існує площин, які паралельні прямій $a$ і проходять через точки $B$ i $C$?
А. жодної
Б. лише одна
В. лише дві
Г. лише три
Д. безліч
Відповідь
Правильна відповідь: Д — безліч
Завдання 4
На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, яка визначена на відрізку $[-4; 3].$ Укажіть область значень цієї функції
А. $[-1; 2]$
Б. $[-4; 3]$
В. $[-1; 1]$
Г. $[-2; 3]$
Д. $[-4; -2]$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $[-1; 2]$
Завдання 5
Пряма $n$ перетинає перпендикулярні прямі $l$ i $m$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $\alpha.$
А. $34^\circ$
Б. $46^\circ$
В. $54^\circ$
Г. $56^\circ$
Д. $58^\circ$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $56^\circ$
Завдання 6
Розв'яжіть рівняння $\dfrac{2x-3}{3}=\dfrac{x+1}{6}.$
А. $-\dfrac 53$
Б. $\dfrac 43$
В. $\dfrac 75$
Г. $\dfrac 53$
Д. $\dfrac 73$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $\dfrac 73$
Завдання 7
Діагоналі паралелограма $ABCD$ перетинаються в точці $O$ (див. рисунок). Укажіть правильну векторну рівність.
А. $\overrightarrow{CO}=\dfrac 12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$
Б. $\overrightarrow{CO}=-\dfrac 12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$
В. $\overrightarrow{CO}=\dfrac 12(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})$
Г. $\overrightarrow{CO}=\dfrac 12(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})$
Д. $\overrightarrow{CO}=2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $\overrightarrow{CO}=-\dfrac 12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$
Завдання 8
Розв'яжіть нерівність $2x\ge x^2.$
А. $(-\infty; 0]\cup [2; +\infty)$
Б. $[0; 2]$
В. $(-\infty; -2]\cup [0; +\infty)$
Г. $[-2; 0]$
Д. $(-\infty; 2]$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $[0; 2]$
Завдання 9
На рисунку зображено рівносторонній трикутник $ABC$, $KM$ – його середня лінія. Периметр трикутника $KBM$ дорівнює $12$ см. Визначте периметр чотирикутника $AKMC.$
А. $32$ см
Б. $28$ см
В. $24$ см
Г. $20$ см
Д. $16$ см
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $20$ см
Завдання 10
Обчисліть $\sqrt{2}\cdot \sqrt{0{,}08}.$
А. $0{,}04$
Б. $0{,}08$
В. $0{,}2$
Г. $0{,}4$
Д. $0{,}6$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $0{,}4$
Завдання 11
На рисунку зображено фрагмент графіка однієї з наведених функцій на відрізку $[0; \pi].$ Укажіть цю функцію.
А. $y=4\sin x$
Б. $y=\sin 4x$
В. $y=-4\sin x$
Г. $y=-4\cos x$
Д. $y=4\cos x$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $y=4\cos x$
Завдання 12
У першому ряду кінотеатру встановлено $15$ крісел, а у кожному наступному – на $3$ крісла більше, ніж у попередньому. Скільки всього крісел встановлено в сьомому ряду цього кінотеатру?
А. $21$
Б. $27$
В. $30$
Г. $33$
Д. $36$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $33$
Завдання 13
Спростіть вираз $\dfrac{9-x^2}{x^2+6x+9}.$
А. $\dfrac{3-x}{x+3}$
Б. $\dfrac{x-3}{x+3}$
В. $3-x$
Г. $\dfrac{1}{x+3}$
Д. $1$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $\dfrac{3-x}{x+3}$
Завдання 14
Діаметр основи конуса дорівнює $6$ см, а площа його бічної поверхні – $24\pi$ см$^2.$ Знайдіть довжину твірної конуса.
А. $2$ см
Б. $4$ см
В. $6$ см
Г. $8$ см
Д. $12$ см
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $8$ см
Завдання 15
На рисунку зображено круг з центром у точці $O$, радіус якого дорівнює $12$ см. Радіуси $OA$ i $OB$ ділять круг на два кругові сектори. Визначте площу більшого сектора, якщо кут $\alpha=120^\circ.$
А. $16\pi$ см$^2$
Б. $48\pi$ см$^2$
В. $96\pi$ см$^2$
Г. $108\pi$ см$^2$
Д. $144\pi$ см$^2$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $96\pi$ см$^2$
Завдання 16
Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює $10$ см, її висота – $8$ см. Знайдіть довжину сторони основи піраміди.
Дотична, проведена до графіка функції $y=f(x)$ в точці з абсцисою $x_0$, нахилена до додатного напряму осі $Ox$ під кутом $45^\circ$ (див. рисунок). Знайдіть $f'(x_0).$
А. $-1$
Б. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
В. $\sqrt{3}$
Г. $1$
Д. $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $1$
Завдання 19
Укажіть найменший додатний корінь рівняння $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=0.$
А. $\dfrac{\pi}{6}$
Б. $\dfrac{\pi}{2}$
В. $\dfrac{2\pi}{3}$
Г. $\pi$
Д. $\dfrac{5\pi}{3}$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $\dfrac{2\pi}{3}$
Завдання 20
На рисунку зображено графік квадратичної функції $y=f(x)$, який перетинає вісь $Ox$ в точках $(1; 0)$ та $(4; 0).$ Знайдіть множину всіх розв'язків нерівності $x\cdot f(x)\lt 0.$
А. $(0; 1)\cup (4; +\infty)$
Б. $(4; +\infty)$
В. $(-\infty; 1)\cup (4; +\infty)$
Г. $(-\infty; 0)\cup (1; 4)$
Д. $(-\infty; 0)$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $(0; 1)\cup (4; +\infty)$
Завдання 21
У лабораторії є два сплави міді з оловом: перший масою $50$ кг містить $10\ \%$ міді, другий масою $100$ кг містить $25\ \%$ міді. Доберіть до кожного запитання (1–4) правильну відповідь (А – Д).
Скільки кілограмів міді міститься в першому сплаві?
Скільки кілограмів міді міститься у двох сплавах разом?
Якщо із даних сплавів утворити новий сплав, то скільки відсотків міді міститиме цей сплав?
Скільки кілограмів другого сплаву треба додати до першого, щоб утворити сплав, який міститиме $15\ \%$ міді?
А. $5$
Б. $15$
В. $20$
Г. $25$
Д. $30$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — А, 2 — Д, 3 — В, 4 — Г
Завдання 22
Кожній функції (1–4) поставте у відповідність координатні чверті (А – Д), у яких розміщено графік цієї функції. Положення координатних чвертей зображено на рисунку.
Функція
$y=x+1$
$y=\dfrac 1x$
$y=2^x$
$y=x^2-1$
Координатні чверті
А. лише І та ІІ
Б. лише І та ІІІ
В. лише І, ІІ та ІІІ
Г. лише І, ІІІ та IV
Д. І, ІІ, ІІІ та IV
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — В, 2 — Б, 3 — А, 4 — Д
Завдання 23
У прямокутній системі координат у просторі зображено прямокутний паралелепіпед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребра $AB$, $BC$, $BB_1$ якого лежать на координатних осях (див. рисунок). До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
Точка $K(0; 0; 12)$
Точка $M(1; 8; 0)$
Точка $P(4; 4; 4)$
Точка $Q(0; 4; 6)$
Закінчення речення
А. належить грані $AA_1D_1D.$
Б. належить ребру $CD.$
В. належить діагоналі $AC_1.$
Г. належить діагоналі $BC_1.$
Д. збігається з точкою $B_1.$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Д, 2 — Б, 3 — А, 4 — Г
Завдання 24
Установіть відповідність між многокутником (1–4) і радіусом кола (А – Д), вписаного в цей многокутник.
Многокутник
рівносторонній трикутник зі стороною $3\sqrt{3}$ см
квадрат зі стороною $2$ см
прямокутний трикутник із катетами $6$ см і $8$ см
правильний шестикутник зі стороною $2$ см
Радіус кола, вписаного в многокутник
А. $1$ см
Б. $1{,}5$ см
В. $\sqrt{3}$ см
Г. $2$ см
Д. $4$ см
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — А, 3 — Г, 4 — В
Завдання 25
При кожному пострілі в мішень спортсмен влучав або в «десятку», або в «дев'ятку», за що йому нараховувалося $10$, або $9$ очок відповідно. За $10$ пострілів він набрав $94$ очки. Скільки разів з цих $10$ пострілів спортсмен влучив у «дев'ятку»?
Відповідь
Правильна відповідь: 6
Завдання 26
При якому значенні $x$ функція $y=4-|20x+7|$ набуває найбільшого значення?
Відповідь
Правильна відповідь: -0.35
Завдання 27
Розв'яжіть систему нерівностей $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l} (0{,}5)^{1-2x}\gt (0{,}5)^{8+x},\\ \dfrac{4}{x-5}\lt 0. \end{array}\right. \end{gathered}$$ У відповіді запишіть кількість усіх цілих розв'язків цієї системи. Якщо система має безліч цілих розв'язків, то у відповіді запишіть число $100.$
Відповідь
Правильна відповідь: 7
Завдання 28
Обчисліть $\log_b a$, якщо $\log_3 a=8$, $\log_3 b=5.$
Відповідь
Правильна відповідь: 1.6
Завдання 29
Студенти двох груп (у першій – $20$ студентів, у другій – $25$ студентів) обирають по одному представнику з кожної групи для участі в студентському заході. Знайдіть ймовірність того, що учасниками заходу будуть обрані старости цих груп. Уважайте, що всі студенти кожної групи мають однакові шанси стати учасниками заходу, і в кожній групі є один староста.
Відповідь
Правильна відповідь: 0.002
Завдання 30
У прямокутній трапеції $ABCD$ $(AD\!\parallel\!BC)$ діагональ $AC$ перпендикулярна до бічної сторони $CD.$ Знайдіть довжину цієї діагоналі (у см), якщо $AD=18$ см, $BC=8$ см.
Відповідь
Правильна відповідь: 12
Завдання 31
У прямокутній системі координат зображено ескіз графіка функції $y=\dfrac{x^3}{2}+x$ і пряму, задану рівнянням $x=a$ (див. рисунок). При якому додатному значенні $a$ площа заштрихованої фігури дорівнюватиме $40$ кв. од.?
Відповідь
Правильна відповідь: 4
Завдання 32
Основою прямої призми $ABCDA_1B_1C_1D_1$ є ромб $ABCD$, у якому більша діагональ $AC=17$ см. Об'єм призми дорівнює $1020$ см$^3$. Через діагональ $AC$ та вершину $B_1$ тупого кута верхньої основи призми проведено площину, яка утворює з площиною основи призми кут $\alpha.$ Знайдіть площу утвореного перерізу призми (у см$^2$), якщо $\mathrm{tg}\ \alpha=2{,}4.$
Відповідь
Правильна відповідь: 110.5
Завдання 33
Знайдіть найменше ціле значення параметра $a$, при якому рівняння $\sqrt{x^2-5x}+\sqrt{x^2-9x+20}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{x-5}$ має два корені.
