Офіційні завдання НМТ 2023 року з математики — 22 завдання, 60 хв, максимум 32 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «Для облаштування кафе було придбано столи і стільці у співвідношенні 1:3 відповідно. Укажі…»
Для облаштування кафе було придбано столи і стільці у співвідношенні 1:3 відповідно. Укажіть діаграму, на якій правильно відображено розподіл придбаних столів і стільців. – столи – стільці
А.
Б.
В.
Г.
Д.
Відповідь
Правильна відповідь: Г —
Завдання 2
$2(5x + 6) =$
А. $5x + 8$
Б. $10x + 6$
В. $7x + 8$
Г. $7x + 12$
Д. $10x + 12$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $10x + 12$
Завдання 3
Точки $A$ і $B$ лежать на колі радіуса 16. Укажіть найбільше можливе значення довжини відрізка $AB$.
А. 4
Б. 8
В. 16
Г. 32
Д. 64
Відповідь
Правильна відповідь: Г — 32
Завдання 4
Розв'яжіть нерівність $x + 3 \leqslant 0$.
А. $[0;\,3]$
Б. $(-\infty;\,3]$
В. $(-\infty;\,-3]$
Г. $(3;\,+\infty]$
Д. $(-3;\,+\infty]$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $(-\infty;\,-3]$
Завдання 5
Визначте координати вектора, який є сумою векторів $\vec{a}(2;\,-2;\,3)$ і $\vec{b}(-7;\,-3;\,4)$.
А. $(9;\,1;\,-1)$
Б. $(-5;\,-5;\,7)$
В. $(-9;\,-1;\,1)$
Г. $(5;\,5;\,7)$
Д. $(-5;\,1;\,7)$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $(-5;\,-5;\,7)$
Завдання 6
На рисунку зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на проміжку $[-3;\,3]$. Укажіть нуль цієї функції.
А. $-3$
Б. $-2$
В. $0$
Г. $3$
Д. $4$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $-2$
Завдання 7
Плату за користування комп'ютерною програмою підвищили зі 140 грн у 2021 р. до 161 грн у 2022 р. На скільки відсотків збільшили плату у 2022 р. порівняно із 2021 р.?
А. 10
Б. 15
В. 21
Г. 85
Д. 115
Відповідь
Правильна відповідь: Б — 15
Завдання 8
Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Циліндр утворений обертанням…
А. квадрата навколо його сторони».
Б. прямокутника навколо його діагоналі».
В. прямокутного трикутника навколо його гіпотенузи».
Г. прямокутного трикутника навколо його катета».
Д. квадрата навколо його діагоналі».
Відповідь
Правильна відповідь: А — квадрата навколо його сторони».
Які з наведених тверджень є правильними? I Середня лінія трапеції проходить через точку перетину її діагоналей. II Діагональ трапеції ділить її на два рівних трикутники. III Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.
А. лише III
Б. лише I та III
В. лише I та II
Г. лише II та III
Д. I, II та III
Відповідь
Правильна відповідь: А — лише III
Завдання 11
Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} \dfrac{1}{3y} = \dfrac{2}{x}, \\ x - y = 30. \end{cases}$ Якщо $(x_0;\,y_0)$ – розв'язок системи, то $x_0 + y_0 =$
А. $-150$
Б. 35
В. 36
Г. 42
Д. 150
Відповідь
Правильна відповідь: Г — 42
Завдання 12
Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом $x(t) = 6t^2$, де $x(t)$ – координата точки, $t$ – час. За якою формулою визначають швидкість $v(t)$ цієї матеріальної точки в будь-який момент часу $t$?
А. $v(t) = 6t$
Б. $v(t) = 12t$
В. $v(t) = 2t^3$
Г. $v(t) = 6t^3$
Д. $v(t) = 3t$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $v(t) = 12t$
Завдання 13
У паралелограмі $ABCD$ $\angle A = 30^\circ$, бічна сторона $AB = 12$ см. Сторона $AD$ втричі більша за висоту, проведену до цієї сторони (див. рисунок). Визначте площу (см2) цього паралелограма.
Узгодьте твердження (1–3) із функцією (А – Д), для якої це твердження є правильним.
Твердження
областю значень функції є проміжок $[0;\,+\infty)$
графік функції симетричний відносно осі $y$
найменшого значення на відрізку $[1;\,4]$ функція набуває в точці $x = 4$
Функція
А. $y = x^2 + 4$
Б. $y = x$
В. $y = \sqrt{x}$
Г. $y = \log_{0{,}5} x$
Д. $y = -\dfrac{1}{x}$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — В, 2 — А, 3 — Г
Завдання 17
До початку речення (1–3) доберіть закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо $n$ – натуральне число.
Початок речення
Якщо $\dfrac{n}{a} = 3$, то
Якщо $1 + \log_3 n = \log_3 a$, то
Якщо $3^n \cdot 3 = 3^a$, то
Закінчення речення
А. $a = 3n$.
Б. $a = n + 1$.
В. $a = n + 3$.
Г. $a = \dfrac{3}{n}$.
Д. $a = \dfrac{n}{3}$.
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Д, 2 — А, 3 — Б
Завдання 18
У прямокутному трикутнику $ACB$ $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 24^\circ$. На продовженні катета $AC$ вибрано точку $K$ так, що $AK = KB$ (див. рисунок). Точка $O$ – центр кола, описаного навколо трикутника $ACB$. Узгодьте кут (1–3) із його градусною мірою (А – Д).
Кут
$\angle BAC$
$\angle KBC$
$\angle OKB$
Градусна міра кута
А. $24^\circ$
Б. $34^\circ$
В. $42^\circ$
Г. $66^\circ$
Д. $72^\circ$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — В, 3 — А
Завдання 19
Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею $d = 5$. Визначте числа з проміжку $(60;\,75)$, що є членами цієї прогресії. У відповіді запишіть суму цих чисел.
Відповідь
Правильна відповідь: 201
Завдання 20
Переможцю олімпіади заплановано подарувати комплект із 5 книг, у якому 2 збірники олімпіадних задач та 3 науково-популярні книги. Скільки всього варіантів формування такого комплекту книг, якщо є 8 різних збірників та 10 різних науково-популярних книг?
Відповідь
Правильна відповідь: 3360
Завдання 21
Основою прямої призми є ромб зі стороною 20. Периметр одного з діагональних перерізів призми дорівнює 58. Визначте об'єм призми, якщо її висота дорівнює 5.
Відповідь
Правильна відповідь: 1920
Завдання 22
Визначте кількість цілих значень $a$, за яких корені $x_1$ та $x_2$ квадратного рівняння $x^2 - 4ax + 4a^2 - 25 = 0$ задовольняють умову $x_1 < 1 < x_2$.
