ЗНО 2008 з математики

Офіційні завдання ЗНО 2008 року з математики — 36 завдань, 150 хв, максимум 41 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «Знайдіть натуральне, одноцифрове число N, якщо відомо, що сума 510+N ділиться на 9 без ост…»

⏱ Пройти як на ЗНО Тренування з перевіркою

Завдання 1

Знайдіть натуральне, одноцифрове число $N$, якщо відомо, що сума $510+N$ ділиться на $9$ без остачі.
  1. А. $1$
  2. Б. $3$
  3. В. $5$
  4. Г. $6$
  5. Д. $9$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $3$

Завдання 2

Визначте кількість усіх дробів із знаменником $28$, які більші за $\dfrac{4}{7}$, але менші від $\dfrac{3}{4}$.
  1. А. шість
  2. Б. чотири
  3. В. три
  4. Г. два
  5. Д. один
Відповідь
Правильна відповідь: Б — чотири

Завдання 3

Рисунок до завдання 3
Під час закладання нового парку $25\ \%$ його площі відвели під посадку кленів, $50\ \%$ площі, що залишилася, – під посадку дубів, а решту площі – під газони. Вкажіть, на якій із діаграм правильно показано розподіл посадок:
  1. А.
  2. Б.
  3. В.
  4. Г.
  5. Д.
Відповідь
Правильна відповідь: В —

Завдання 4

Розв’яжіть нерівність $\dfrac{x^2+64}{x-5} \gt 0$.
  1. А. $(-\infty;5)\cup(8;+\infty)$
  2. Б. $(-\infty;5)\cup(5;+\infty)$
  3. В. $(5;8)$
  4. Г. $(5;+\infty)$
  5. Д. $(-\infty;5)$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $(5;+\infty)$

Завдання 5

Якщо $F=\dfrac{GMm}{R^2}$ і $R \gt 0$, то $R=$
  1. А. $\sqrt{FGMm}$
  2. Б. $\sqrt{\frac{Mm}{GF}}$
  3. В. $\sqrt{\frac{GF}{Mm}}$
  4. Г. $\sqrt{\frac{F}{GMm}}$
  5. Д. $\sqrt{\frac{GMm}{F}}$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $\sqrt{\frac{GMm}{F}}$

Завдання 6

Рисунок до завдання 6
В уривку художнього твору $47$ слів мають різну кількість букв. Укажіть моду (мода – це те значення випадкової величини, яке зустрічається найчастіше) даного розподілу за допомогою зображеного на рисунку полігона частот.
  1. А. $2$
  2. Б. $4$
  3. В. $5$
  4. Г. $8$
  5. Д. $10$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $5$

Завдання 7

Укажіть правильну нерівність, якщо $a=5\sqrt2$, $b=7$, $c=\sqrt{51}$.
  1. А. $b \lt a \lt c$
  2. Б. $a \lt b \lt c$
  3. В. $c \lt a \lt b$
  4. Г. $a \lt c \lt b$
  5. Д. $b \lt c \lt a$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $b \lt a \lt c$

Завдання 8

Обчисліть $\cos^4\dfrac{\pi}{12}-\sin^4\dfrac{\pi}{12}$.
  1. А. $1$
  2. Б. $\dfrac{\sqrt3}{2}$
  3. В. $\dfrac{1}{2}$
  4. Г. $\dfrac{\sqrt2}{2}$
  5. Д. інша відповідь
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $\dfrac{\sqrt3}{2}$

Завдання 9

Укажіть найменший додатний період функції $y=2\operatorname{ctg}(3x)$.
  1. А. $2\pi$
  2. Б. $\pi$
  3. В. $\dfrac{\pi}{3}$
  4. Г. $\dfrac{2\pi}{3}$
  5. Д. $\dfrac{\pi}{2}$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $\dfrac{\pi}{3}$

Завдання 10

Рисунок до завдання 10
На рисунку зображено точку, через яку проходить графік функції $y=f(x)$. Укажіть функцію $f(x)$.
  1. А. $f(x)=-x$
  2. Б. $f(x)=\sqrt x$
  3. В. $f(x)=\log_2 x$
  4. Г. $f(x)=x^3$
  5. Д. $f(x)=3^{-x}$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $f(x)=3^{-x}$

Завдання 11

Розв’яжіть рівняння $\sin x-\sqrt 3\cos x=0$.
  1. А. $-\dfrac{\pi}{6}+\pi n$, $n\in Z$
  2. Б. $-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$, $n\in Z$
  3. В. $\dfrac{\pi}{6}+\pi n$, $n\in Z$
  4. Г. $\dfrac{\pi}{3}+\pi n$, $n\in Z$
  5. Д. $\dfrac{\pi}{2}+\pi n$, $n\in Z$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $\dfrac{\pi}{3}+\pi n$, $n\in Z$

Завдання 12

Обчисліть $\log_a\sqrt{ab}$, якщо $\log_a b=7$.
  1. А. $\dfrac{2}{3}$
  2. Б. $2$
  3. В. $3$
  4. Г. $\dfrac{7}{2}$
  5. Д. $4$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $4$

Завдання 13

Укажіть, скільки можна скласти різних правильних дробів, чисельниками і знаменниками яких є числа $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$.
  1. А. $28$
  2. Б. $56$
  3. В. $70$
  4. Г. $112$
  5. Д. інша відповідь
Відповідь
Правильна відповідь: А — $28$

Завдання 14

Розв’яжіть нерівність $\log_{0{,}5}5 \lt \log_{0{,}5}x$.
  1. А. $(-5;0)$
  2. Б. $(0;5)$
  3. В. $(5;+\infty)$
  4. Г. $(0{,}5;5)$
  5. Д. $(-\infty;5)$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $(0;5)$

Завдання 15

Укажіть корінь рівняння $|x^2-6x|=9$, який належить проміжку $(-2;1]$.
  1. А. $3-3\sqrt 2$
  2. Б. $3-\sqrt 2$
  3. В. $1$
  4. Г. $2$
  5. Д. $4-2\sqrt 2$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $3-3\sqrt 2$

Завдання 16

Розв’яжіть рівняння: $3^{\textstyle x}=\dfrac{2\sqrt3}{6}$.
  1. А. рівняння не має коренів
  2. Б. $x=-1$
  3. В. $x=-0{,}5$
  4. Г. $x=0{,}5$
  5. Д. $x=1$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $x=-0{,}5$

Завдання 17

Укажіть область значень функції $y=\sqrt{x^2+9}-6$.
  1. А. $[9;+\infty)$
  2. Б. $[0;+\infty)$
  3. В. $[3;+\infty)$
  4. Г. $[-3;+\infty)$
  5. Д. $(-\infty;+\infty)$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $[-3;+\infty)$

Завдання 18

Рисунок до завдання 18
На рисунку зображено графіки функцій
$g(x)=\sqrt{4-x}$ і $f(x)=\dfrac{\sqrt2}{2}\sqrt{x+8}$.
Укажіть проміжок, на якому виконується нерівність $f(x)\le g(x)$.
  1. А. $(-\infty;0]$
  2. Б. $[-8;+\infty)$
  3. В. $[0;+\infty)$
  4. Г. $[0;4]$
  5. Д. $[-8;0]$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $[-8;0]$

Завдання 19

Рисунок до завдання 19
На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$. Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.
  1. А. $\int\limits^{1}_{-1}f(x)dx$
  2. Б. $\int\limits^{0}_{-1}f(x)dx-\int\limits^{1}_{0}f(x)dx$
  3. В. $\int\limits^{1}_{0}f(x)dx-\int\limits^{0}_{-1}f(x)dx$
  4. Г. $2\int\limits^{0}_{-1}f(x)dx$
  5. Д. $2\int\limits^{1}_{0}f(x)dx$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $\int\limits^{0}_{-1}f(x)dx-\int\limits^{1}_{0}f(x)dx$

Завдання 20

Знайдіть значення виразу $\dfrac{\sqrt{9+a^2-6a}}{a-3}$, якщо $a=2{,}5$.
  1. А. $-1$
  2. Б. $-0{,}5$
  3. В. $0$
  4. Г. $0{,}5$
  5. Д. $1$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $-1$

Завдання 21

Тіло рухається прямолінійно за законом $s(t)=\frac{2}{3}t^3-2t^2+4t$ (час $t$ вимірюється в секундах, шлях $s$ – в метрах). Визначте прискорення його руху в момент $t = 10$ c.
  1. А. $164$ м/с$^2$
  2. Б. $60$ м/с$^2$
  3. В. $36$ м/с$^2$
  4. Г. $20$ м/с$^2$
  5. Д. $10$ м/с$^2$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $36$ м/с$^2$

Завдання 22

Рисунок до завдання 22
У трикутнику $ABC\ \angle A = 59^\circ$, $\angle B = 62^\circ$. Із вершин цих кутів проведено висоти, що перетинаються в точці $O$. Визначте величину кута $AOB$.
  1. А. $98^\circ$
  2. Б. $121^\circ$
  3. В. $144^\circ$
  4. Г. $149^\circ$
  5. Д. $154^\circ$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $121^\circ$

Завдання 23

Сторони трикутника, одна з яких на $8$ см більша за другу, утворюють кут $120^\circ$, а довжина третьої сторони дорівнює $28$ см. Знайдіть периметр трикутника.
  1. А. $84$ см
  2. Б. $72$ см
  3. В. $64$ см
  4. Г. $60$ см
  5. Д. $56$ см
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $60$ см

Завдання 24

Рисунок до завдання 24
На рисунку зображено розгортку поверхні тіла, складеного з двох квадратів і чотирьох однакових прямокутників, довжина сторін яких – $3$ см і $6$ см. Визначте об’єм цього тіла.
  1. А. $108$ см$^3$
  2. Б. $54$ см$^3$
  3. В. $144$ см$^3$
  4. Г. $36$ см$^3$
  5. Д. інша відповідь
Відповідь
Правильна відповідь: А — $108$ см$^3$

Завдання 25

Рисунок до завдання 25
У склянку циліндричної форми, наповнену водою по самі вінця, поклали металеву кульку, що дотикається до дна склянки та стінок (див. рисунок). Визначте відношення об’єму води, яка залишилась у склянці, до об’єму води, яка вилилася зі склянки.
  1. А. $1:\pi$
  2. Б. $2:\pi$
  3. В. $1:2$
  4. Г. $2:3$
  5. Д. $1:3$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $1:2$

Завдання 26

Обчисліть $2\sqrt{13}\cos(\operatorname{arctg}\dfrac{2}{3})$.
Відповідь
Правильна відповідь: 6

Завдання 27

Обчисліть суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії, у якої $b_n=5\cdot3^{-n}$.
Відповідь
Правильна відповідь: 2.5

Завдання 28

Розв’яжіть рівняння $x-5+\sqrt{2x^2-14x+13}=0$. Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповідь запишіть їх добуток.
Відповідь
Правильна відповідь: -2

Завдання 29

Маємо два водно-сольових розчини. Концентрація солі в першому розчині становить $0{,}25$, а в другому – $0{,}4$. На скільки більше треба взяти кілограмів одного розчину, ніж другого, щоб отримати розчин масою $50$ кілограмів, концентрація солі в якому – $0{,}34$.
Відповідь
Правильна відповідь: 10

Завдання 30

У коробці є $80$ цукерок, з яких $44$ – з чорного шоколаду, а решта – з білого. Визначте ймовірність того, що навмання взята цукерка з коробки буде з білого шоколаду.
Відповідь
Правильна відповідь: 0.45

Завдання 31

Рисунок до завдання 31
Використовуючи графік рівняння $|y|=1-|x-12|$ (див. рисунок), знайдіть усі значення параметра $a$, при яких система
$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l} |x-12|+|y|=1,\\ (x-a)^2+y^2=4 \end{array}\right. \end{gathered}$$
має єдиний розв'язок. У відповідь запишіть їхню суму.
Відповідь
Правильна відповідь: 48

Завдання 32

Визначте кут між векторами $\vec{a}$ і $\vec{b}+\vec{c}$ у градусах, якщо відомо, що $\vec{a}(2;2)$, $\vec{b}(2;4)$ і $\vec{c}(-2;-6)$.
Відповідь
Правильна відповідь: 135

Завдання 33

Рисунок до завдання 33
На рисунку зображено розгортку конуса. Визначте відношення площі повної поверхні цього конуса до площі його бічної поверхні.
Відповідь
Правильна відповідь: 1.4

Завдання 34

У правильній трикутній піраміді $SABC$ з основою $ABC$ бічне ребро вдвічі більше за сторону основи. Точки $K$ і $L$ є серединами ребер $AC$ і $BC$ відповідно. Через пряму $KL$, паралельно до ребра $SC$, проведено площину $\alpha$. Знайдіть кут $\varphi$ між площиною $\alpha$ і площиною $(ABC)$.
Розв'язання
$\arccos\left(\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\right).$

Завдання 35

Розв’яжіть систему нерівностей
$\begin{cases}\dfrac{(x+3)(x-2)}{x^2-1}\le 1, \\[0,5ex] 4^{\sqrt{9-x^2}}\le 0{,}25^{x-3}.\end{cases}$
Розв'язання
$[-3; -1) \cup \{3\}.$

Завдання 36

Задано функцію $f(x)=3x^4-4x^3-12x^2$.
1. Знайдіть проміжки зростання та спадання функції, екстремуми функції.
2. Побудуйте ескіз графіка функції $f(x)$.
3. Знайдіть кількість коренів рівняння $f(x)=a$, де $a\in R$, залежно від значення параметра $a$.
Розв'язання
при $a\in (-\infty; -32$ немає коренів;
при $a=-32\ \ 1$ корінь;
при $a\in (-32; -5)\cup (0; +\infty)\ \ 2$ корені;
при $a\in \{0; -5\}\ \ 3$ корені;
при $a\in (-5; 0)\ \ 4$ корені;
при $a\lt 32$ немає коренів;
при $a=-32\ \ 1$ корінь;
при $-32\lt a\lt -5\ \ 2$ корені;
при $a=-5\ \ 3$ корені;
при $-5\lt a\lt 0\ \ 4$ корені;
при $a=0\ \ 3$ корені;
при $a\gt 0\ \ 2$ корені.
⏱ Пройти цей тест онлайн

Інші варіанти з математики

Завдання — офіційні матеріали Українського центру оцінювання якості освіти (testportal.gov.ua).