ЗНО 2017 з математики · основна сесія

Офіційні завдання ЗНО 2017 року з математики — 35 завдань, 210 хв, максимум 48 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «Якщо числа x і y задовольняють співвідношення 2y + 4 = x, то y =…»

⏱ Пройти як на ЗНО Тренування з перевіркою

Завдання 1

Якщо числа $x$ і $y$ задовольняють співвідношення $2y + 4 = x$, то $y =$

А. $2x - 8$
Б. $8 - 2x$
В. $\dfrac{x - 4}{2}$
Г. $\dfrac{x + 4}{2}$
Д. $\dfrac{4 - x}{2}$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $\dfrac{x - 4}{2}$

Завдання 2

На відрізку $AB$ вибрано точку $M$ так, що довжина відрізка $AM$ утричі більша за довжину $MB$. Визначте довжину відрізка $AB$, якщо $MB = 12$ см.

А. 48 см
Б. 36 см
В. 24 см
Г. 42 см
Д. 54 см

Відповідь

Правильна відповідь: А — 48 см

Завдання 3

Розв'яжіть рівняння $2^{2x} = \dfrac{1}{2^3}$.

А. $-3$
Б. $-2$
В. $-1{,}5$
Г. 1,5
Д. 2

Відповідь

Правильна відповідь: В — $-1{,}5$

Завдання 4

У таблиці наведено дані про кількість глядачів, які відвідали кінотеатр протягом п'яти днів тижня.

День тижня	понеділок	вівторок	середа	четвер	п'ятниця
Кількість відвідувачів	82	116	102	140	130

На діаграмах немає шкали (градації) кількості глядачів. Визначте, на якій діаграмі правильно відображено дані, наведені в таблиці.

Відповідь

Правильна відповідь: Г —

Завдання 5

У прямокутній системі координат у просторі задано сферу із центром у початку координат, якій належить точка $A(0;\,0;\,-5)$. Яка з наведених точок також належить цій сфері?

А. $K(5;\,5;\,0)$
Б. $L(0;\,1;\,4)$
В. $M(0;\,0;\,10)$
Г. $N(0;\,0;\,5)$
Д. $P(5;\,5;\,5)$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $N(0;\,0;\,5)$

Завдання 6

Визначте точку перетину графіка функції $y = 2x - 2$ з віссю $x$.

А. $(0;\,-2)$
Б. $(-2;\,0)$
В. $(1;\,0)$
Г. $(0;\,1)$
Д. $(1;\,-2)$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $(1;\,0)$

Завдання 7

Спростіть вираз $\dfrac{a^2 + 16}{a - 4} - \dfrac{8a}{a - 4}$.

А. $-1$
Б. $a - 4$
В. $a + 4$
Г. 1
Д. $(a - 4)^2$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $a - 4$

Завдання 8

Усі зображені на рисунку прямі лежать в одній площині, прямі $m$ і $n$ є паралельними. Визначте градусну міру кута $\alpha$.

А. $20^\circ$
Б. $50^\circ$
В. $60^\circ$
Г. $70^\circ$
Д. $110^\circ$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $50^\circ$

Завдання 9

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\sqrt{6 - 4x} = 4$.

А. $[-3;\,-1)$
Б. $[-1;\,0)$
В. $[0;\,1)$
Г. $[1;\,3)$
Д. $[3;\,6)$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $[-3;\,-1)$

Завдання 10

Точка $A$ належить площині $\alpha$. Які з наведених тверджень є правильними?
I. Через точку $A$ можна провести пряму, перпендикулярну до площини $\alpha$.
II. Через точку $A$ можна провести площину, перпендикулярну до площини $\alpha$.
III. Через точку $A$ можна провести площину, паралельну площині $\alpha$.

А. лише I
Б. лише II та III
В. лише II
Г. лише I та II
Д. I, II та III

Відповідь

Правильна відповідь: Г — лише I та II

Завдання 11

На одному з рисунків зображено графік функції $y = 1 - x^2$. Укажіть цей рисунок.

Відповідь

Правильна відповідь: Д —

Завдання 12

$1 - \sin^2\alpha - \cos^2\alpha =$

А. $-2$
Б. 0
В. 1
Г. $2\cos^2\alpha$
Д. $1 + \cos 2\alpha$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — 0

Завдання 13

В арифметичній прогресії $(a_n)$: $a_1 = -4$, $a_5 = a_4 + 3$. Визначте десятий член $a_{10}$ цієї прогресії.

А. $-31$
Б. $-27$
В. 26
Г. 27
Д. 23

Відповідь

Правильна відповідь: Д — 23

Завдання 14

Укажіть проміжок, якому належить число $\log_2 9$.

А. $(0;\,1)$
Б. $(1;\,2)$
В. $(2;\,3)$
Г. $(3;\,4)$
Д. $(4;\,5)$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $(3;\,4)$

Завдання 15

Розв'яжіть нерівність $\log_2 x < b$, використавши рисунок.

А. $(0;\,2^b)$
Б. $(0;\,b)$
В. $(-\infty;\,2^b)$
Г. $(\log_2 b;\,+\infty)$
Д. $(-\infty;\,b)$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $(0;\,2^b)$

Завдання 16

Периметр основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 72 см. Визначте довжину висоти піраміди, якщо її апофема дорівнює 15 см.

А. 6 см
Б. 9 см
В. 10 см
Г. 12 см
Д. 14 см

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 12 см

Завдання 17

Розв'яжіть нерівність $(x^2 + 64)(x - 5) > 0$.

А. $(5;\,+\infty)$
Б. $(-\infty;\,5) \cup (5;\,+\infty)$
В. $(5;\,8)$
Г. $(-\infty;\,5) \cup (8;\,+\infty)$
Д. $(-\infty;\,5)$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $(5;\,+\infty)$

Завдання 18

Якщо $a < 2$, то $1 + |a - 2| =$

А. $-a - 3$
Б. $-a - 1$
В. $a - 1$
Г. $a + 3$
Д. $3 - a$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $3 - a$

Завдання 19

На рисунку зображено поперечний переріз аркового проїзду, верхня частина якого (дуга $BKC$) має форму півкола радіуса $OC = 2$ м. Відрізки $AB$ і $DC$ перпендикулярні до $AD$, $AB = DC = 2$ м. Яке з наведених значень є найбільшим можливим значенням висоти $h$ вантажівки, за якого вона зможе проїхати через цей арковий проїзд, не торкаючись верхньої частини арки (дуги $BKC$)? Уважайте, що $LMNP$ – прямокутник, у якому $MN = 2{,}4$ м і $MN \parallel AD$.

А. 4,4 м
Б. 4 м
В. 3,7 м
Г. 3,5 м
Д. 3,2 м

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 3,5 м

Завдання 20

Укажіть похідну функції $y = \sin x - \cos x + 1$.

А. $y' = \cos x + \sin x + 1$
Б. $y' = \cos x - \sin x$
В. $y' = -\cos x - \sin x + x$
Г. $y' = -\cos x - \sin x$
Д. $y' = \cos x + \sin x$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $y' = \cos x + \sin x$

Завдання 21

На рисунках (1–4) зображено графіки функцій, визначених на відрізку $[-4;\,4]$. До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

Функція, графік якої зображено на рис. 1,
Функція, графік якої зображено на рис. 2,
Функція, графік якої зображено на рис. 3,
Функція, графік якої зображено на рис. 4,

Закінчення речення

А. є непарною.
Б. набуває найбільшого значення, що дорівнює 4.
В. є парною.
Г. має три нулі.
Д. має дві точки локального екстремуму.

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — А, 2 — Д, 3 — Г, 4 — В

Завдання 22

Нехай $m$ і $n$ – довільні дійсні числа, $a$ – довільне додатне число, $a \ne 1$. До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

Якщо $(a^m)^n = a^4$, то
Якщо $a^m \cdot a^n = a^4$, то
Якщо $\sqrt[8]{a^m} = \sqrt{a^n}$, то
Якщо $\dfrac{a^n}{a^m} = \dfrac{1}{a^4}$, то

Закінчення речення

А. $m + n = 4$.
Б. $m - n = 4$.
В. $mn = 4$.
Г. $m = 4n$.
Д. $m = 8n$.

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — В, 2 — А, 3 — Г, 4 — Б

Завдання 23

У трикутнику $ABC$: $AB = c$, $BC = a$, $AC = b$. До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

Якщо $a = b = c$,
Якщо $c^2 = a^2 + b^2$,
Якщо $a = c = \dfrac{b}{\sqrt{2}}$,
Якщо $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)$,

Закінчення речення

А. то $\angle C = 30^\circ$.
Б. то $\angle C = 45^\circ$.
В. то $\angle C = 60^\circ$.
Г. то $\angle C = 90^\circ$.
Д. то $\angle C = 120^\circ$.

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — В, 2 — Г, 3 — Б, 4 — Д

Завдання 24

Радіус основи конуса дорівнює $r$, а твірна – $l$. До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

Якщо площа бічної поверхні конуса втричі більша за площу його основи, то
Якщо висота конуса дорівнює радіусу його основи, то
Якщо проекція твірної на площину основи конуса удвічі менша за твірну, то
Якщо площа повної поверхні конуса дорівнює $5\pi r^2$, то

Закінчення речення

А. $l = 2r$.
Б. $l = \sqrt{2}r$.
В. $l = 3r$.
Г. $l = 4r$.
Д. $l = r$.

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — В, 2 — Б, 3 — А, 4 — Г

Завдання 25.1

Для поповнення рахунку телефону Андрій уніс певну суму грошей до платіжного термінала. З цієї суми утримано комісійний платіж у розмірі 2 грн 40 коп., що становить 3 % від суми, унесеної до терміналу. У результаті рахунок телефону поповнено на решту внесеної суми.
1. Яку суму грошей (у гривнях) Андрій уніс до платіжного термінала?

Відповідь

Правильна відповідь: 80

Завдання 25.2

(Умова завдання 25.) 2. Мобільний оператор, послугами якого користується Андрій, нараховує 8 бонусів за кожні 5 грн, на які поповнено рахунок телефону. На залишок грошей, менший за 5 грн, бонуси не нараховуються. Скільки бонусів нараховано Андрію за здійснене ним поповнення телефону?

Відповідь

Правильна відповідь: 120

Завдання 26.1

На рисунку зображено рівнобічну трапецію $ABCD$ та квадрат $KBCM$. Точки $K$ і $M$ – середини діагоналей $AC$ і $BD$ трапеції відповідно. Площа квадрата $KBCM$ дорівнює 18 см².
1. Визначте довжину діагоналі $AC$ (у см).

Відповідь

Правильна відповідь: 12

Завдання 26.2

(Умова завдання 26.) 2. Обчисліть площу трапеції $ABCD$ (у см²).

Відповідь

Правильна відповідь: 72

Завдання 27

Знайдіть область визначення функції $y = \dfrac{1}{\sqrt{56 - 4x}}$. У відповіді запишіть найбільше ціле двоцифрове число, що належить області визначення цієї функції.

Відповідь

Правильна відповідь: 13

Завдання 28

Автобус вирушив з міста $A$ до міста $B$, відстань між якими становить 150 км. Через 30 хв із міста $A$ до міста $B$ тією самою дорогою вирушив автомобіль, швидкість якого в $1\dfrac{1}{5}$ раза більша за швидкість автобуса. Скільки часу (у год) витратив на дорогу з міста $A$ до міста $B$ автомобіль, якщо він прибув до міста $B$ одночасно з автобусом? Уважайте, що автобус та автомобіль рухалися зі сталими швидкостями.

Відповідь

Правильна відповідь: 2.5

Завдання 29

У торбинці лежать 3 цукерки з молочного шоколаду та $m$ цукерок з чорного шоколаду. Усі цукерки – однакової форми й розміру. Якого найменшого значення може набувати $m$, якщо ймовірність навмання витягнути з торбинки цукерку з молочного шоколаду менша за 0,25?

Відповідь

Правильна відповідь: 10

Завдання 30

У прямокутній системі координат на площині задано взаємно перпендикулярні вектори $\overrightarrow{AB}$ та $\vec{a}(4;\,3)$. Визначте абсцису точки $B$, якщо $A(-2;\,0)$, а точка $B$ лежить на прямій $y = 2x$.

Відповідь

Правильна відповідь: -0.8

Завдання 31

Задано функцію $f(x) = x^2 - 6x + 9$.
1. Визначте координати точок перетину графіка функції $f$ з осями координат.
2. Побудуйте графік функції $f$.
3. Запишіть загальний вигляд первісних для функції $f$.
4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції $f$ та осями $x$ і $y$.

Розв'язання

1. $(0;\,9)$; $(3;\,0)$.
3. $F(x) = \dfrac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x + C$.
4. 9.

Завдання 32

Основою правильної призми $ABCA_1B_1C_1$ є рівносторонній трикутник $ABC$. Точка $K$ – середина ребра $BC$. Площина, що проходить через точки $A$, $K$ та $B_1$, утворює з площиною основи призми кут $\alpha$. Визначте об'єм призми $ABCA_1B_1C_1$, якщо відстань від вершини $A$ до грані $BB_1C_1C$ дорівнює $d$.

Розв'язання

$\dfrac{d^3}{3}\operatorname{tg}\alpha$.

Завдання 33

Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} |x - y| = |x - a|, \\ \lg(y - a) = \lg(4a^2 + x - x^2) \end{cases}$ залежно від значень параметра $a$.

Розв'язання

$(-2a - 1;\,-5a - 2)$, якщо $a \in \left(-\infty;\,-\dfrac{1}{3}\right)$;
немає розв'язків, якщо $a \in \left[-\dfrac{1}{3};\,0\right]$;
$(2a;\,3a)$, якщо $a \in (0;\,+\infty)$.

⏱ Пройти цей тест онлайн

Інші варіанти з математики

Завдання — офіційні матеріали Українського центру оцінювання якості освіти (testportal.gov.ua).