ЗНО 2017 з математики · додаткова сесія

Офіційні завдання ЗНО 2017 року з математики — 35 завдань, 210 хв, максимум 48 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «Скоротіть дріб \dfrac{10ab^3}{5a^2b}.…»

⏱ Пройти як на ЗНО Тренування з перевіркою

Завдання 1

Скоротіть дріб $\dfrac{10ab^3}{5a^2b}$.

А. $\dfrac{2b^2}{a}$
Б. $\dfrac{b^4}{2a^3}$
В. $50a^3b^4$
Г. $\dfrac{2b^4}{a^3}$
Д. $\dfrac{b^2}{2a}$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $\dfrac{2b^2}{a}$

Завдання 2

Розв'яжіть рівняння $x^2 - 10 = 5x + 14$.

А. $-8;\ 3$
Б. $-4;\ -1$
В. $-3;\ 8$
Г. $1;\ 4$
Д. $0;\ 5$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $-3;\ 8$

Завдання 3

Функція $y = f(x)$ визначена й зростає на проміжку $[-3;\,2]$. На рисунку зображено графік цієї функції на проміжку $[-3;\,0]$. Яка з наведених точок може належати графіку цієї функції?

А. $K$
Б. $L$
В. $O$
Г. $M$
Д. $N$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $L$

Завдання 4

Точка $B$ належить відрізку $AC$. Визначте відстань між серединами відрізків $AB$ і $BC$, якщо $AB = 10$ см, $BC = 5{,}2$ см.

А. 2,4 см
Б. 2,6 см
В. 5,0 см
Г. 7,6 см
Д. 10,2 см

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 7,6 см

Завдання 5

У таблиці наведено дані про температуру повітря в різний час того самого дня.

Час, години	6	9	12	15	18
Температура, °С	12	17	14	18	15

На графіках немає шкали (градації) температури повітря. На якому графіку правильно відображено дані, наведені в таблиці?

Відповідь

Правильна відповідь: Д —

Завдання 6

Розташуйте в порядку зростання числа $\dfrac{5}{17};\ \dfrac{5}{18};\ \dfrac{6}{17}$.

А. $\dfrac{5}{17};\ \dfrac{5}{18};\ \dfrac{6}{17}$
Б. $\dfrac{5}{18};\ \dfrac{5}{17};\ \dfrac{6}{17}$
В. $\dfrac{6}{17};\ \dfrac{5}{17};\ \dfrac{5}{18}$
Г. $\dfrac{5}{18};\ \dfrac{6}{17};\ \dfrac{5}{17}$
Д. $\dfrac{5}{17};\ \dfrac{6}{17};\ \dfrac{5}{18}$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $\dfrac{5}{18};\ \dfrac{5}{17};\ \dfrac{6}{17}$

Завдання 7

У прямокутній системі координат у просторі задано сферу з центром у точці $M$. Відрізок $AB$ – діаметр цієї сфери. Визначте координати точки $M$, якщо $A(2;\,-1;\,0)$, $B(8;\,3;\,2)$.

А. $(10;\,2;\,2)$
Б. $(6;\,4;\,2)$
В. $(3;\,2;\,1)$
Г. $(5;\,1;\,2)$
Д. $(5;\,1;\,1)$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $(5;\,1;\,1)$

Завдання 8

Яке з наведених чисел є розв'язком подвійної нерівності $5 \leqslant 3^x \leqslant 15$?

А. 5
Б. 4
В. 3
Г. 2
Д. 1

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 2

Завдання 9

На рисунку зображено фрагмент графіка однієї з наведених функцій на проміжку $\left[-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right]$. Укажіть цю функцію.

А. $y = 2\sin x$
Б. $y = \dfrac{1}{2}\sin x$
В. $y = -2\sin x$
Г. $y = -\dfrac{1}{2}\cos x$
Д. $y = 2\cos x$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $y = 2\sin x$

Завдання 10

Укажіть вираз, тотожно рівний виразу $x^2 + 4$.

А. $(x + 2)(x - 2)$
Б. $x(x + 4)$
В. $(x + 2)^2 + 4x$
Г. $(x + 2)^2$
Д. $(x - 2)^2 + 4x$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $(x - 2)^2 + 4x$

Завдання 11

Довжина сторони ромба дорівнює 12 см. Визначте довжину більшої діагоналі цього ромба, якщо його тупий кут дорівнює $120^\circ$.

А. $6\sqrt{3}$ см
Б. $8\sqrt{3}$ см
В. 12 см
Г. $12\sqrt{3}$ см
Д. 24 см

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $12\sqrt{3}$ см

Завдання 12

Площини $\alpha$ і $\beta$ паралельні. Які з наведених тверджень є правильними?
I. Існує пряма, що лежить і в площині $\alpha$, і в площині $\beta$.
II. Якщо пряма перпендикулярна до площини $\alpha$, то вона перпендикулярна до площини $\beta$.
III. Якщо пряма лежить у площині $\alpha$, то вона паралельна будь-якій прямій у площині $\beta$.

А. лише I
Б. лише I та II
В. лише II
Г. лише II та III
Д. лише III

Відповідь

Правильна відповідь: В — лише II

Завдання 13

Розв'яжіть нерівність $\dfrac{2x - 4}{x + 1} < 0$.

А. $(-\infty;\,2)$
Б. $(-\infty;\,-1) \cup (-1;\,2)$
В. $(-1;\,2)$
Г. $(-\infty;\,-1) \cup (2;\,+\infty)$
Д. $(-\infty;\,-1)$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $(-1;\,2)$

Завдання 14

Підлога кімнати має форму квадрата. На ній лежить квадратний килим, кожна сторона якого віддалена від найближчої стіни кімнати на 20 см (див. рисунок). Визначте периметр килима, якщо периметр підлоги дорівнює 18 м. Наявністю плінтусів на підлозі знехтуйте.

А. 10 м
Б. 13,6 м
В. 15,8 м
Г. 16,4 м
Д. 17,2 м

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 16,4 м

Завдання 15

Якщо $2\sin\alpha = \cos\alpha$, то $\operatorname{tg}\alpha =$

А. $-2$
Б. $-0{,}5$
В. 0,2
Г. 0,5
Д. 2

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 0,5

Завдання 16

В арифметичній прогресії $(a_n)$ перший член $a_1 = -21$, різниця $d = 1{,}5$. Скільки всього від'ємних членів має ця прогресія?

А. 13
Б. 14
В. 15
Г. 16
Д. 18

Відповідь

Правильна відповідь: Б — 14

Завдання 17

Якщо $a < 1$, то $|a - 1| + |-7| =$

А. $a - 8$
Б. $a + 6$
В. $-a + 6$
Г. $-a - 6$
Д. $-a + 8$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $-a + 8$

Завдання 18

Обчисліть інтеграл $\displaystyle\int_0^2 (f(x) + 6)\,dx$, якщо $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = 8$.

А. 20
Б. 14
В. 2
Г. 28
Д. 48

Відповідь

Правильна відповідь: А — 20

Завдання 19

Визначте площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, довжина сторони основи якої дорівнює 10 см, а довжина бічного ребра – 13 см.

А. 180 см²
Б. $15\sqrt{69}$ см²
В. $30\sqrt{69}$ см²
Г. 360 см²
Д. 390 см²

Відповідь

Правильна відповідь: А — 180 см²

Завдання 20

Якому проміжку належить корінь рівняння $\log_2 x = 2\log_2 3$?

А. $(0;\,2]$
Б. $(2;\,4]$
В. $(4;\,6]$
Г. $(6;\,8]$
Д. $(8;\,10]$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $(8;\,10]$

Завдання 21

Установіть відповідність між функцією (1–4) та прямою, зображеною на рисунку (А – Д), яка не має з графіком цієї функції жодної спільної точки.

Функція

$y = x$
$y = \sqrt{x} - 2$
$y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$
$y = -\pi$

Пряма (див. рисунок)

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — А, 2 — В, 3 — Г, 4 — Б

Завдання 22

Установіть відповідність між виразом (1–4) та твердженням про його значення (А – Д) при $a = 15$.

Вираз

$\dfrac{7}{3}a$
$2a - 1$
$a^2 + 12a + 36$
$a^2 - 13^2$

Твердження про значення виразу

А. менше за 20
Б. є простим числом
В. є парним
Г. ділиться націло на 3
Д. ділиться націло на 5

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Д, 2 — Б, 3 — Г, 4 — В

Завдання 23

Рівносторонній трикутник $ABC$ та рівнобедрений трикутник $ACD$, у якому $AC = DC$ і $\angle ACD = 40^\circ$, лежать в одній площині (див. рисунок). Установіть відповідність між кутом (1–4) та його градусною мірою (А – Д).

Кут

$\angle ABC$
$\angle ADC$
кут між прямими $AB$ і $AD$
кут між бісектрисами кутів $BAC$ і $CAD$

Градусна міра кута

А. $45^\circ$
Б. $50^\circ$
В. $60^\circ$
Г. $65^\circ$
Д. $70^\circ$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — В, 2 — Д, 3 — Б, 4 — Г

Завдання 24

Установіть відповідність між фігурою (1–4) і тілом обертання (А – Д), утвореним унаслідок обертання цієї фігури навколо прямої, зображеної пунктиром.

Фігура

фігура 1 (квадрат)
фігура 2 (квадрат)
фігура 3 (прямокутна трапеція)
фігура 4 (прямокутна трапеція)

Тіло обертання

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — А, 2 — Г, 3 — В, 4 — Б

Завдання 25.1

Для приготування чайної суміші змішали індійський та цейлонський чай у відношенні 10 : 13, причому індійського чаю взяли 180 г.
1. Скільки грамів чайної суміші отримали?

Відповідь

Правильна відповідь: 414

Завдання 25.2

(Умова завдання 25.) 2. На скільки відсотків у суміші цейлонського чаю більше, ніж індійського?

Відповідь

Правильна відповідь: 30

Завдання 26.1

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$ і кругові сектори $KAM$ та $BCP$, що мають одну спільну точку $O$. Площа сектора $BCP$ дорівнює $9\pi$ см², $AO = 4$ см.
1. Визначте радіус сектора $BCP$ (у см).

Відповідь

Правильна відповідь: 6

Завдання 26.2

(Умова завдання 26.) 2. Обчисліть площу прямокутника $ABCD$ (у см²).

Відповідь

Правильна відповідь: 48

Завдання 27

Знайдіть область визначення функції $y = \sqrt[4]{50 - 3x}$. У відповіді запишіть найбільше ціле двоцифрове число, що належить області визначення цієї функції.

Відповідь

Правильна відповідь: 16

Завдання 28

Човен проходить 24 км за течією ріки за 5 годин і 12 км проти течії за 3 години. Визначте швидкість течії ріки (у км/год). Уважайте, що власна швидкість човна та швидкість течії незмінні.

Відповідь

Правильна відповідь: 0.4

Завдання 29

Спортсмен робить один постріл у мішень. Імовірність того, що він улучить у мішень, у 7 разів більша за ймовірність того, що він у неї не влучить. Обчисліть імовірність того, що спортсмен улучить у мішень.

Відповідь

Правильна відповідь: 0.875

Завдання 30

У прямокутній системі координат на площині задано вектори $\vec{a}(-1;\,1)$ та $\vec{b}(-1;\,2)$. Визначте значення $m$, за якого вектори $\vec{a} + m\vec{b}$ та $\vec{b}$ перпендикулярні.

Відповідь

Правильна відповідь: -0.6

Завдання 31

Задано функцію $f(x) = x^2 + 3x - 10$.
1. Визначте координати точок перетину графіка функції $f$ з осями координат.
2. Побудуйте графік функції $f$.
3. Знайдіть похідну функції $f$.
4. Визначте кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції $f$ у точці з абсцисою $x_0 = -1$.

Розв'язання

1. $(-5;\,0)$; $(2;\,0)$; $(0;\,-10)$.
3. $f'(x) = 2x + 3$.
4. $k = 1$.

Завдання 32

Основою прямої призми $ABCDA_1B_1C_1D_1$ є прямокутник $ABCD$, у якому діагональ $AC = a$, $\angle BAC = \beta$. Площина, що проходить через вершину верхньої основи та діагональ нижньої основи призми, утворює з площиною основи гострий кут $\alpha$. Визначте об'єм заданої призми.

Розв'язання

$\dfrac{1}{4}a^3\sin^2 2\beta\,\operatorname{tg}\alpha$ або $a^3\sin^2\beta\cos^2\beta\,\operatorname{tg}\alpha$.

Завдання 33

Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} (2x + a)^2 = (2y + a)^2, \\ \sqrt{3ax - 8x - 6y} = x \end{cases}$ залежно від значень параметра $a$.

Розв'язання

$(0;\,0)$, якщо $a \in (-\infty;\,0]$;
$(0;\,0)$, $(3a;\,-4a)$, якщо $a \in \left(0;\,4\dfrac{2}{3}\right]$;
$(0;\,0)$, $(3a;\,-4a)$, $(3a - 14;\,3a - 14)$, якщо $a \in \left(4\dfrac{2}{3};\,+\infty\right)$.

⏱ Пройти цей тест онлайн

Інші варіанти з математики

Завдання — офіційні матеріали Українського центру оцінювання якості освіти (testportal.gov.ua).