ЗНО 2013 з математики · сесія 2

Офіційні завдання ЗНО 2013 року з математики — 33 завдання, 150 хв, максимум 54 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «Три промені зі спільним початком лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну …»

⏱ Пройти як на ЗНО Тренування з перевіркою

Завдання 1

Рисунок до завдання 1
Три промені зі спільним початком лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $\gamma$, якщо $\alpha = 20^\circ$, $\beta = 50^\circ$.
  1. А. $330^\circ$
  2. Б. $290^\circ$
  3. В. $250^\circ$
  4. Г. $160^\circ$
  5. Д. $110^\circ$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $290^\circ$

Завдання 2

Рисунок до завдання 2
Діаграма, зображена на рисунку, містить інформацію про кількість електроенергії (у кВт · год), спожитої певною сім'єю в кожному місяці 2012 року. Користуючись діаграмою, установіть, які з наведених тверджень є правильними.
I. У грудні порівняно з липнем спожито електроенергії більше, ніж у 2 рази.
II. За всі літні місяці спожито електроенергії на 150 кВт · год менше, ніж за всі весняні місяці.
III. Середньомісячне споживання електроенергії за рік є більшим за 120 кВт · год.
  1. А. лише I
  2. Б. лише I і II
  3. В. лише I і III
  4. Г. лише II і III
  5. Д. I, II і III
Відповідь
Правильна відповідь: Д — I, II і III

Завдання 3

Остача від ділення натурального числа $k$ на 5 дорівнює 2. Укажіть остачу від ділення на 5 числа $k + 21$.
  1. А. 0
  2. Б. 1
  3. В. 2
  4. Г. 3
  5. Д. 4
Відповідь
Правильна відповідь: Г — 3

Завдання 4

У геометричній прогресії $(b_n)$ задано $b_3 = 0{,}2$; $b_4 = \dfrac{3}{4}$. Знайдіть знаменник цієї прогресії.
  1. А. $\dfrac{15}{4}$
  2. Б. $\dfrac{3}{20}$
  3. В. $\dfrac{3}{8}$
  4. Г. $\dfrac{4}{15}$
  5. Д. $\dfrac{11}{20}$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $\dfrac{15}{4}$

Завдання 5

Рисунок до завдання 5
На рисунку зображено графік неперервної функції $y = f(x)$, визначеної на відрізку $[-3;\,7]$. Скільки всього точок екстремуму має ця функція на відрізку $[-3;\,7]$?
  1. А. 1
  2. Б. 2
  3. В. 3
  4. Г. 5
  5. Д. 6
Відповідь
Правильна відповідь: В — 3

Завдання 6

Які з наведених тверджень є правильними?
I. Через дві прямі, що перетинаються, можна провести лише одну площину.
II. Через точку, що не належить площині, можна провести безліч прямих, паралельних цій площині.
III. Якщо дві різні площини паралельні одній і тій самій прямій, то вони паралельні між собою.
  1. А. лише I
  2. Б. лише I і II
  3. В. лише I і III
  4. Г. лише II і III
  5. Д. I, II і III
Відповідь
Правильна відповідь: Б — лише I і II

Завдання 7

Розв'яжіть рівняння $2x(x + 2) = 5(x + 2)$.
  1. А. $-2{,}5;\ 2$
  2. Б. $-2$
  3. В. 2,5
  4. Г. $-2;\ 0{,}4$
  5. Д. $-2;\ 2{,}5$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $-2;\ 2{,}5$

Завдання 8

Розв'яжіть нерівність $\dfrac{1}{x - 5} < 0$.
  1. А. $(-\infty;\,5)$
  2. Б. $(-\infty;\,-5)$
  3. В. $(-\infty;\,5) \cup (5;\,+\infty)$
  4. Г. $(-5;\,+\infty)$
  5. Д. $(5;\,+\infty)$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $(-\infty;\,5)$

Завдання 9

Якщо $x + 2y - 6z = -1$ і $-y + 3z = 5$, то $x =$
  1. А. 9
  2. Б. 11
  3. В. 4
  4. Г. $-9$
  5. Д. $-11$
Відповідь
Правильна відповідь: А — 9

Завдання 10

Рисунок до завдання 10
На рисунку зображено графік функції $y = x^2 - 2x$. Укажіть графік функції $y = |x^2 - 2x|$.
  1. А.
  2. Б.
  3. В.
  4. Г.
  5. Д.
Відповідь
Правильна відповідь: А —

Завдання 11

$\dfrac{\lg 25}{\lg 5} =$
  1. А. $\lg 5$
  2. Б. 5
  3. В. $\lg 20$
  4. Г. 2
  5. Д. 0,5
Відповідь
Правильна відповідь: Г — 2

Завдання 12

Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює 3 см, а периметр її бічної грані – 22 см. Знайдіть площу бічної поверхні цієї призми.
  1. А. 66 см2
  2. Б. 72 см2
  3. В. 96 см2
  4. Г. 114 см2
  5. Д. 264 см2
Відповідь
Правильна відповідь: В — 96 см2

Завдання 13

Знайдіть значення виразу $\dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{a}$, якщо $\dfrac{\sqrt{3}a - \sqrt{3}b}{ab} = \sqrt{12}$.
  1. А. $-2$
  2. Б. 0,5
  3. В. 2
  4. Г. 3
  5. Д. 6
Відповідь
Правильна відповідь: В — 2

Завдання 14

Рисунок до завдання 14
У трикутнику $ABC$ задано $AC = 2$ см, $\angle A = 50^\circ$, $\angle B = 70^\circ$ (див. рисунок). Визначте $BC$ (у см) за теоремою синусів.
  1. А. $BC = \dfrac{2\sin 70^\circ}{\sin 50^\circ}$
  2. Б. $BC = \dfrac{\sin 50^\circ}{2\sin 70^\circ}$
  3. В. $BC = \dfrac{2}{\sin 50^\circ\sin 70^\circ}$
  4. Г. $BC = \dfrac{\sin 70^\circ}{2\sin 50^\circ}$
  5. Д. $BC = \dfrac{2\sin 50^\circ}{\sin 70^\circ}$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $BC = \dfrac{2\sin 50^\circ}{\sin 70^\circ}$

Завдання 15

Рисунок до завдання 15
На координатній площині $xy$ зображено коло, центр якого збігається з початком координат (див. рисунок). Точки $K(8;\,6)$ і $M(x;\,y)$ належать цьому колу. Визначте координати точки $M$.
  1. А. $(-10;\,0)$
  2. Б. $(10;\,0)$
  3. В. $(0;\,-14)$
  4. Г. $(0;\,-10)$
  5. Д. $(0;\,10)$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $(0;\,-10)$

Завдання 16

Рисунок до завдання 16
У трикутнику $ABC$ точка $M$ – середина сторони $BC$, $AC = 24$ см (див. рисунок). Знайдіть відстань $d$ від точки $M$ до сторони $AC$, якщо площа трикутника $ABC$ дорівнює 96 см2.
  1. А. 2 см
  2. Б. 3 см
  3. В. 4 см
  4. Г. 6 см
  5. Д. 8 см
Відповідь
Правильна відповідь: В — 4 см

Завдання 17

Спростіть вираз $\sin^2\alpha(1 - \operatorname{ctg}^2\alpha)$.
  1. А. $\cos(2\alpha)$
  2. Б. $\operatorname{tg}^2\alpha$
  3. В. 1
  4. Г. $\operatorname{ctg}^2\alpha$
  5. Д. $-\cos(2\alpha)$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $-\cos(2\alpha)$

Завдання 18

Знайдіть похідну функції $y = e^{-2x}$.
  1. А. $y' = e^{-2x}$
  2. Б. $y' = -2e^{-2x}$
  3. В. $y' = -2xe^{-2x - 1}$
  4. Г. $y' = 2e^{-2x}$
  5. Д. $y' = -\dfrac{1}{2}e^{-2x}$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $y' = -2e^{-2x}$

Завдання 19

Розв'яжіть нерівність $\log_{0{,}4} x \geqslant \log_{0{,}4} 2$.
  1. А. $(-\infty;\,2]$
  2. Б. $(0{,}4;\,2]$
  3. В. $(0;\,+\infty)$
  4. Г. $[2;\,+\infty)$
  5. Д. $(0;\,2]$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $(0;\,2]$

Завдання 20

Рисунок до завдання 20
Для розігрівання в мікрохвильовій печі рідких страв використовують посудину у формі циліндра, радіус основи якого дорівнює 9 см. Посудина ставиться на горизонтальний диск у формі круга і накривається кришкою, що має форму півсфери (див. рисунок). Радіус півсфери дорівнює 12 см і є меншим за радіус круга. Укажіть найбільше з наведених значень, якому може дорівнювати висота посудини, якщо посудина не торкається кришки.
  1. А. 3 см
  2. Б. 5 см
  3. В. 6 см
  4. Г. 7 см
  5. Д. 8 см
Відповідь
Правильна відповідь: Г — 7 см

Завдання 21

З пунктів $A$ і $B$ одночасно по шосе назустріч один одному виїхали два велосипедисти. Вони їхали без зупинок зі сталими швидкостями: перший – зі швидкістю $x$ км/год, другий – зі швидкістю $y$ км/год ($x > y$). Через $t$ годин ($t > 1$) вони зустрілися в точці $C$ і, не зупиняючись, продовжили рух без зміни напрямків. До кожного запитання (1–4) доберіть правильну відповідь (А – Д).
Запитання
  1. На скільки кілометрів зменшилася відстань по шосе між велосипедистами через 1 годину після початку руху?
  2. Чому дорівнює відстань по шосе між пунктами $A$ і $B$ (у км)?
  3. На скільки кілометрів більше проїхав перший велосипедист, ніж другий, за час від початку руху до моменту зустрічі?
  4. За скільки годин перший велосипедист подолає відстань по шосе від точки $C$ до пункту $B$?
Відповідь
  1. А. $(x + y)t$
  2. Б. $(x - y)t$
  3. В. $\dfrac{yt}{x}$
  4. Г. $\dfrac{(x - y)t}{y}$
  5. Д. $x + y$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Д, 2 — А, 3 — Б, 4 — В

Завдання 22

Установіть відповідність між твердженням (1–4) та функцією (А – Д), для якої це твердження є правильним.
Твердження
  1. графік функції не перетинає жодну з осей координат
  2. областю значень функції є проміжок $(0;\,+\infty)$
  3. функція спадає на всій області визначення
  4. на відрізку $[-1{,}5;\,1{,}5]$ функція має два нулі
Функція
  1. А. $y = -x + 2$
  2. Б. $y = x^2 - 2$
  3. В. $y = -\dfrac{1}{x}$
  4. Г. $y = 3^x$
  5. Д. $y = \cos x$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — В, 2 — Г, 3 — А, 4 — Б

Завдання 23

У прямокутній системі координат на площині дано вектори $\vec{a}(3;\,4)$ і $\vec{b}(-2;\,2)$. До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
  1. Довжина вектора $\vec{a}$
  2. Сумою векторів $\vec{a}$ і $\vec{c}(-3;\,k)$ є нульовий вектор, якщо $k$
  3. Вектори $\vec{b}$ і $\vec{d}(-4;\,m)$ колінеарні, якщо $m$
  4. Скалярний добуток векторів $\vec{a}$ і $\vec{b}$
Закінчення речення
  1. А. дорівнює 7.
  2. Б. дорівнює 2.
  3. В. дорівнює $-4$.
  4. Г. дорівнює 5.
  5. Д. дорівнює 4.
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — В, 3 — Д, 4 — Б

Завдання 24

Рисунок до завдання 24
Установіть відповідність між тілом обертання, заданим умовою (1–4), та формулою (А – Д) для обчислення його об'єму $V$.
Тіло обертання
  1. квадрат зі стороною $a$ обертається навколо прямої, що проходить через сторону цього квадрата (рис. 1)
  2. прямокутний рівнобедрений трикутник із катетом $a$ обертається навколо прямої, що проходить через катет цього трикутника (рис. 2)
  3. прямокутний рівнобедрений трикутник із катетом $a$ обертається навколо прямої, що проходить через вершину гострого кута цього трикутника перпендикулярно до одного з його катетів (рис. 3)
  4. круг, радіус якого дорівнює $\dfrac{3}{4}a$, обертається навколо прямої, що проходить через центр цього круга (рис. 4)
Формула об'єму
  1. А. $V = \dfrac{1}{3}\pi a^3$
  2. Б. $V = \dfrac{9}{16}\pi a^3$
  3. В. $V = \dfrac{2}{3}\pi a^3$
  4. Г. $V = \pi a^3$
  5. Д. $V = 2\pi a^3$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — А, 3 — В, 4 — Б

Завдання 25

У магазині молодіжного одягу діє акція: при покупці будь-яких двох однакових футболок за одну з них платять на 40 % менше, ніж за іншу. За дві однакові футболки, придбані в цьому магазині під час акції, Микола заплатив 200 гривень. Скільки гривень заплатить Микола, якщо він купить лише одну таку футболку?
Відповідь
Правильна відповідь: 125

Завдання 26

Розв'яжіть рівняння $3^x\cdot 4^x = (12^{x + 1})^5$.
Відповідь
Правильна відповідь: -1.25

Завдання 27

Знайдіть значення виразу $|y - 2x|$, якщо $4x^2 - 4xy + y^2 = \dfrac{9}{4}$.
Відповідь
Правильна відповідь: 1.5

Завдання 28

Знайдіть найбільше значення функції $y = \dfrac{(1 - 2\cos x)^4}{2}$.
Відповідь
Правильна відповідь: 40.5

Завдання 29

У прямокутний трикутник $ABC$ вписано коло, яке дотикається катетів $AC$ та $BC$ у точках $K$ і $M$ відповідно. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника $ABC$ (у см), якщо $AK = 4{,}5$ см, $MB = 6$ см.
Відповідь
Правильна відповідь: 5.25

Завдання 30

Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції $y = \dfrac{22}{3} - (x + 1)^2$ і прямими $y = \dfrac{x}{3}$, $x = -1$ та $x = 1$.
Відповідь
Правильна відповідь: 12

Завдання 31

У фестивалі беруть участь 25 гуртів, серед яких є по одному гурту з України і Чехії. Порядок виступу гуртів визначається жеребкуванням, за яким кожен із гуртів має однакові шанси отримати будь-який порядковий номер від 1 до 25. Знайдіть імовірність того, що на цьому фестивалі гурт з України виступатиме першим, а порядковий номер виступу гурту з Чехії буде парним.
Відповідь
Правильна відповідь: 0.02

Завдання 32

Основою піраміди є ромб, тупий кут якого дорівнює $120^\circ$. Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом $30^\circ$. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см2), якщо її висота дорівнює 4 см.
Відповідь
Правильна відповідь: 96

Завдання 33

При якому найбільшому від'ємному значенні параметра $a$ рівняння $\sqrt[4]{|x| - 1} - 2x = a$ має один корінь?
Відповідь
Правильна відповідь: -1.625
⏱ Пройти цей тест онлайн

Інші варіанти з математики

Завдання — офіційні матеріали Українського центру оцінювання якості освіти (testportal.gov.ua).