ЗНО 2009 з математики

Офіційні завдання ЗНО 2009 року з математики — 33 завдання, 150 хв, максимум 40 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «Спростіть вираз \dfrac{3x + 12}{x^2 - 16}.…»

⏱ Пройти як на ЗНО Тренування з перевіркою

Завдання 1

Спростіть вираз $\dfrac{3x + 12}{x^2 - 16}$.

А. $\dfrac{3}{4 - x}$
Б. $\dfrac{3}{x + 4}$
В. $\dfrac{3}{x - 4}$
Г. $-\dfrac{3}{x + 4}$
Д. $\dfrac{1}{x - 4}$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $\dfrac{3}{x - 4}$

Завдання 2

У трикутнику $ABC$: $\angle A = 65^\circ$, $BD$ – бісектриса кута $B$ (див. рисунок). Знайдіть градусну міру кута $BCA$, якщо $\angle ABD = 35^\circ$.

А. $35^\circ$
Б. $45^\circ$
В. $50^\circ$
Г. $55^\circ$
Д. $65^\circ$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $45^\circ$

Завдання 3

Обчисліть $\dfrac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{2}}$.

А. 64
Б. 18
В. 8
Г. 4
Д. 2

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 4

Завдання 4

Яка з поданих нижче послідовностей є арифметичною прогресією?

А. 9; 7; 4; 1
Б. −4; −2; 0; 1
В. 3; 6; 12; 24
Г. 1; 3; 6; 10
Д. 3; 7; 11; 15

Відповідь

Правильна відповідь: Д — 3; 7; 11; 15

Завдання 5

У Оксани є певна кількість горіхів. Коли вона розклала їх у купки по 5 горіхів, то два горіхи залишилися, а коли розклала їх по 3, то зайвих горіхів не виявилося. Яка кількість горіхів із запропонованих варіантів МОГЛА БУТИ в Оксани?

А. 32
Б. 45
В. 57
Г. 63
Д. 81

Відповідь

Правильна відповідь: В — 57

Завдання 6

Розв'яжіть нерівність $\left(\dfrac{1}{5}\right)^x \leqslant \dfrac{1}{25}$.

А. $(-\infty;\,5]$
Б. $(-\infty;\,2]$
В. $(0;\,2]$
Г. $[2;\,+\infty)$
Д. $[5;\,+\infty)$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $[2;\,+\infty)$

Завдання 7

У сонячний день довжина тіні від дерева становить 16 м. У той самий час тінь від хлопчика, який має зріст 1,5 м, дорівнює 2 м (див. рисунок). Визначте висоту дерева.

А. 12 м
Б. 12,5 м
В. 13 м
Г. 14 м
Д. 15,5 м

Відповідь

Правильна відповідь: А — 12 м

Завдання 8

За переказ грошей клієнт повинен сплатити банку винагороду в розмірі 2% від суми переказу. Скільки всього грошей (у гривнях) йому потрібно сплатити в касу банку, якщо сума переказу становить 30 000 грн?

А. 36 000 грн
Б. 30 600 грн
В. 30 060 грн
Г. 30 030 грн
Д. 30 006 грн

Відповідь

Правильна відповідь: Б — 30 600 грн

Завдання 9

Якщо $a = 1 - \dfrac{b}{c}$, то $b =$

А. $c(1 - a)$
Б. $c(a - 1)$
В. $\dfrac{c}{1 - a}$
Г. $\dfrac{1 - a}{c}$
Д. $1 - ac$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $c(1 - a)$

Завдання 10

Укажіть правильну нерівність.

А. $\dfrac{3}{8} > \dfrac{5}{8}$
Б. $\dfrac{7}{2} < \dfrac{7}{3}$
В. $\dfrac{8}{9} > \dfrac{9}{8}$
Г. $\dfrac{5}{6} > \dfrac{4}{5}$
Д. $\dfrac{19}{21} < \dfrac{6}{7}$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $\dfrac{5}{6} > \dfrac{4}{5}$

Завдання 11

Укажіть рисунок, на якому зображено графік парної функції.

Відповідь

Правильна відповідь: В —

Завдання 12

Знайдіть вектор $\vec{c} = 2\vec{a} - \vec{b}$, якщо $\vec{a}(3;\,-1;\,2)$, $\vec{b}(-2;\,2;\,5)$.

А. $\vec{c}(5;\,-3;\,-3)$
Б. $\vec{c}(4;\,0;\,-1)$
В. $\vec{c}(8;\,0;\,-1)$
Г. $\vec{c}(4;\,-4;\,-1)$
Д. $\vec{c}(8;\,-4;\,-1)$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $\vec{c}(8;\,-4;\,-1)$

Завдання 13

У туриста є 10 однакових за розмірами консервних банок, серед яких 4 банки – з тушкованим м'ясом, 6 банок – з рибою. Під час зливи етикетки відклеїлися. Турист навмання взяв одну банку. Яка ймовірність того, що вона буде з рибою?

А. $\dfrac{1}{10}$
Б. $\dfrac{2}{3}$
В. $\dfrac{1}{6}$
Г. $\dfrac{3}{5}$
Д. $\dfrac{2}{5}$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $\dfrac{3}{5}$

Завдання 14

Знайдіть похідну функції $y = x^4 + 3\cos x$.

А. $y' = 4x^3 + 3\sin x$
Б. $y' = 4x - 3\sin x$
В. $y' = 4x^3 - 3\sin x$
Г. $y' = \dfrac{x^5}{5} + 3\sin x$
Д. $y' = x^3 - 3\sin x$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $y' = 4x^3 - 3\sin x$

Завдання 15

Укажіть УСІ ПРАВИЛЬНІ твердження.
I. Через точку $A$, що не належить площині $\alpha$, можна провести лише одну пряму, паралельну площині $\alpha$.
II. Через точку $A$, що не належить площині $\alpha$, можна провести лише одну площину, паралельну площині $\alpha$.
III. Через точку $A$, що не належить площині $\alpha$, можна провести лише одну пряму, перпендикулярну до площини $\alpha$.
IV. Через точку $A$, що не належить площині $\alpha$, можна провести лише одну площину, перпендикулярну до площини $\alpha$.

А. II
Б. II, III
В. I, IV
Г. I, III, IV
Д. II, III, IV

Відповідь

Правильна відповідь: Б — II, III

Завдання 16

Графік функції $y = f(x)$ проходить через точку $M(1;\,1)$ (див. рисунок). При якому значенні $a$ графік функції $y = f(x) + a$ проходить через точку $N(1;\,3)$?

А. $a = 2$
Б. $a = -2$
В. такого значення не існує
Г. $a = \dfrac{1}{3}$
Д. $a = 3$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $a = 2$

Завдання 17

Розв'яжіть рівняння $2\sin x = 1$.

А. $\pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n,\ n \in Z$
Б. $(-1)^n\dfrac{\pi}{3} + \pi n,\ n \in Z$
В. $(-1)^n\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n,\ n \in Z$
Г. $\pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in Z$
Д. $(-1)^n\dfrac{\pi}{6} + \pi n,\ n \in Z$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $(-1)^n\dfrac{\pi}{6} + \pi n,\ n \in Z$

Завдання 18

До складу української Прем'єр-ліги з футболу входять 16 команд. Упродовж сезону кожні дві команди грають між собою 2 матчі. Скільки всього матчів буде зіграно за сезон?

А. 120
Б. 128
В. 200
Г. 240
Д. 256

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 240

Завдання 19

Гострий кут паралелограма дорівнює $60^\circ$, а його сторони – 3 см і 4 см. Обчисліть довжину меншої діагоналі паралелограма.

А. $\sqrt{37}$ см
Б. $\sqrt{31}$ см
В. 5 см
Г. $\sqrt{19}$ см
Д. $\sqrt{13}$ см

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $\sqrt{13}$ см

Завдання 20

Свинцеву кулю радіуса 5 см переплавили в кульки однакового розміру, радіус кожної з яких – 1 см. Скільки таких кульок одержали? Втратами свинцю під час переплавлення знехтуйте.

А. 125
Б. 50
В. 25
Г. 10
Д. 5

Відповідь

Правильна відповідь: А — 125

Завдання 21

Обчисліть $\dfrac{2^{-1{,}6}\cdot 4^{4{,}8}}{8^{\frac{2}{3}}}$.

Відповідь

Правильна відповідь: 64

Завдання 22

У трапеції $ABCD$: $\angle A = 90^\circ$, $AB = 12$ см (див. рисунок). Діагональ $BD$ ділить середню лінію $KL$ трапеції на відрізки $KM$ і $ML$, причому $KM = 5{,}5$ см і $ML = 3$ см. Обчисліть периметр трапеції $ABCD$ (у см).

Відповідь

Правильна відповідь: 42

Завдання 23

Обчисліть $\cos\alpha$, якщо $\sin\alpha = 0{,}8$ і $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

Відповідь

Правильна відповідь: -0.6

Завдання 24

Об'єм куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ дорівнює 216 см³ (див. рисунок). Обчисліть об'єм піраміди $D_1ACD$ (у см³).

Відповідь

Правильна відповідь: 36

Завдання 25

Розв'яжіть рівняння $\log_6(x - 3) + \log_6(x - 8) = 2$. Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь; якщо воно має два корені, то у відповідь запишіть їх суму.

Відповідь

Правильна відповідь: 12

Завдання 26

У фермерському господарстві «Надія» кожен рік озимою пшеницею засівають 600 га полів. Середня врожайність цієї культури в 2007 році становила 24 центнери з одного гектара. Завдяки сприятливим погодним умовам у 2008 році озимої пшениці було зібрано на 19 200 центнерів більше, ніж у 2007. Обчисліть середню врожайність озимої пшениці, вирощеної у господарстві «Надія» в 2008 році (у ц/га). (Середня врожайність сільськогосподарської культури – це відношення маси зібраного врожаю цієї культури до загальної площі полів, на яких вона була вирощена.)

Відповідь

Правильна відповідь: 56

Завдання 27

Знайдіть КІЛЬКІСТЬ усіх цілих розв'язків нерівності $\dfrac{x^2 - x - 12}{(x + 1)^2} \leqslant 0$. Якщо нерівність має безліч цілих розв'язків, то у відповідь запишіть число 100.

Відповідь

Правильна відповідь: 7

Завдання 28

Кімната має форму прямокутного паралелепіпеда (ширина кімнати – 4 м, довжина – 5 м, висота – 2,5 м). Площа стін кімнати дорівнює 0,8 площі бічної поверхні цього паралелепіпеда. Скільки фарби (у кг) потрібно для того, щоб повністю пофарбувати СТІНИ і СТЕЛЮ цієї кімнати, якщо на 1 м² витрачається 0,25 кг фарби?

Відповідь

Правильна відповідь: 14

Завдання 29

Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} 3^{x - 2y} = \dfrac{1}{3}, \\ 3^x + 3^{2y} = 4\sqrt{3}. \end{cases}$ Для одержаного розв'язку $(x_0;\,y_0)$ системи обчисліть ДОБУТОК $x_0\cdot y_0$.

Відповідь

Правильна відповідь: 0.375

Завдання 30

Знайдіть найбільше значення функції $y = \dfrac{1}{3\sin x + 5}$. Якщо функція не має найбільшого значення, то у відповідь запишіть число 100.

Відповідь

Правильна відповідь: 0.5

Завдання 31

Радіус основи конуса $R$, твірна нахилена до площини основи під кутом $\alpha$. Через вершину конуса проведено площину під кутом $\varphi$ до його висоти. Ця площина перетинає основу конуса по хорді. Знайдіть площу утвореного перерізу.

Розв'язання

$S = \dfrac{R^2\operatorname{tg}\alpha\sqrt{1 - \operatorname{tg}^2\alpha\,\operatorname{tg}^2\varphi}}{\cos\varphi}$.

Завдання 32

Задано функції $f(x) = x^2 + 1$ і $g(x) = 7 - x$.
1. Знайдіть абсциси точок перетину графіків функцій $f(x)$ і $g(x)$. У прямокутній системі координат зобразіть фігуру, обмежену цими графіками.
2. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій $f(x)$ і $g(x)$.

Розв'язання

1. $-3$; $2$.
2. $20\dfrac{5}{6}$ (кв. од.).

Завдання 33

Розв'яжіть нерівність $2\cdot\sqrt{x^2 - 6x + 9} - \sqrt{(x - 1)^2 + 4x} \leqslant x$.

Розв'язання

$[1{,}25;\,+\infty)$.

⏱ Пройти цей тест онлайн

Інші варіанти з математики

Завдання — офіційні матеріали Українського центру оцінювання якості освіти (testportal.gov.ua).