ЗНО 2019 з математики · пробний тест

Офіційні завдання ЗНО 2019 року з математики — 35 завдань, 210 хв, максимум 48 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «Обчисліть значення виразу 3(a-1), якщо a=0\mathord{,}7.…»

⏱ Пройти як на ЗНО Тренування з перевіркою

Завдання 1

Обчисліть значення виразу $3(a-1)$, якщо $a=0\mathord{,}7.$

А. $-0\mathord{,}9$
Б. $1\mathord{,}1$
В. $5\mathord{,}1$
Г. $-0\mathord{,}6$
Д. $2\mathord{,}7$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $-0\mathord{,}9$

Завдання 2

На рисунку зображено квадрат $ABCD.$ Точки $K$ та $M$ – середини сторін $AB$ та $CD$ відповідно. Визначте периметр чотирикутника $AKMD$, якщо периметр заданого квадрата дорівнює $72$ см.

А. $36$ см
Б. $42$ см
В. $48$ см
Г. $54$ см
Д. $60$ см

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $54$ см

Завдання 3

Один кілограм яблук коштує на базарі від $9$ грн до $12$ грн, а один кілограм груш – від $19$ грн до $25$ грн. Оксана заплатила за куплені на базарі $2$ кг яблук та $3$ кг груш $m$ гривень. Укажіть нерівність, що виконуватиметься для $m.$

А. $28\lt m\lt 37$
Б. $18\lt m\lt 75$
В. $75\lt m\lt 99$
Г. $42\lt m\lt 66$
Д. $75\lt m\lt 81$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $75\lt m\lt 99$

Завдання 4

Укажіть рівняння прямої, ескіз графіка якої зображено на рисунку.

А. $x=4$
Б. $y=x+4$
В. $y=x-4$
Г. $y=4$
Д. $y=4-x$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $y=4-x$

Завдання 5

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $2|x|=2$?

А. $x=4$
Б. $x=2$
В. $x=0$
Г. $x=-1$
Д. $x=-2$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $x=-1$

Завдання 6

На круговій діаграмі (круг поділено пунктирними лініями на рівні сектори) показано розподіл кількості столів, які продано магазином протягом місяця (див. рисунок). Загальна кількість проданих столів за цей період становила $156.$ На скільки журнальних столів було продано менше, ніж письмових?

А. $13$
Б. $26$
В. $39$
Г. $52$
Д. $65$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $26$

Завдання 7

Радіус основи конуса дорівнює $4$, його висота – $h$, а твірна – $l$. Укажіть серед наведених правильне співвідношення для $h$ і $l.$

А. $16+h^2=l^2$
Б. $4+h=l$
В. $16-h^2=l^2$
Г. $h^2-l^2=16$
Д. $8+h^2=l^2$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $16+h^2=l^2$

Завдання 8

Розв’яжіть рівняння $3^{7x}=9.$ Отриманий корінь рівняння округліть до десятих.

А. $0\mathord{,}2$
Б. $0\mathord{,}29$
В. $0\mathord{,}3$
Г. $0\mathord{,}4$
Д. $3\mathord{,}5$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $0\mathord{,}3$

Завдання 9

На колі з центром $O$ вибрано точки $A$ та $B$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $AOB$, якщо довжина дуги $\overset{\smile}{AB}$ становить $\frac 16$ довжини цього кола.

А. $30^\circ$
Б. $45^\circ$
В. $60^\circ$
Г. $75^\circ$
Д. $90^\circ$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $60^\circ$

Завдання 10

Спростіть вираз $\frac{a^{24}}{(a^4)^2}.$

А. $a^{18}$
Б. $a^{3}$
В. $a^{8}$
Г. $a^{4}$
Д. $a^{16}$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $a^{16}$

Завдання 11

Площа основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює $36$ см$^2.$ Визначте об’єм цієї піраміди, якщо її висота вдвічі більша за сторону основи.

А. $108$ см$^3$
Б. $144$ см$^3$
В. $216$ см$^3$
Г. $288$ см$^3$
Д. $432$ см$^3$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $144$ см$^3$

Завдання 12

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[–3; 2].$ Укажіть точку екстремуму функції $y=f(x+3)-2.$

А. $x_0=-2$
Б. $x_0=1$
В. $x_0=4$
Г. $x_0=-1$
Д. $x_0=3$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $x_0=-2$

Завдання 13

У трикутнику $ABC$ кут $B$ – тупий. Які з наведених тверджень є правильними?
I. $\angle A+\angle C\lt 90^\circ.$
II. $AB+BC\lt AC.$
III. Центр кола, описаного навколо трикутника $ABC$, лежить поза його межами.

А. лише І i ІІ
Б. лише І
В. лише ІI та ІІI
Г. I, II i III
Д. лише І i ІІI

Відповідь

Правильна відповідь: Д — лише І i ІІI

Завдання 14

Укажіть нулі функції $f(x)=2x^2-5x-3.$

А. $-3; 0$
Б. $-3; \frac 12$
В. $-3$
Г. $-\frac 12; 3$
Д. $-1; 6$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $-\frac 12; 3$

Завдання 15

Якому проміжку належить значення виразу $\sin\frac{7\mathbf{\pi}}{6}-1$?

А. $(-\infty; -2)$
Б. $[-2; -1)$
В. $[-1; 0)$
Г. $[0; 1)$
Д. $[1; +\infty)$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $[-2; -1)$

Завдання 16

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\frac{3x-2}{x+1}=7.$

А. $(-\infty; -2)$
Б. $(-2; 0]$
В. $(0; 2]$
Г. $(2; 4]$
Д. $(4; +\infty)$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $(-\infty; -2)$

Завдання 17

Спростіть вираз $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}+2)^2}.$

А. $2\sqrt{3}$
Б. $-4$
В. $-2\sqrt{3}+4$
Г. $4$
Д. $2\sqrt{3}$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $4$

Завдання 18

Розв’яжіть нерівність $x^3-2x\lt (x+2)(x^2-2x+4).$

А. $(-4; +\infty)$
Б. $(-\infty; -4)$
В. $(-0\mathord{,}25; +\infty)$
Г. $(-\infty; -0\mathord{,}25)$
Д. $(4; +\infty)$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $(-4; +\infty)$

Завдання 19

У коробку у формі прямокутного паралелепіпеда щільно укладено у $2$ ряди $10$ шматочків крейди (див. рисунок 1). Кожний шматочок має форму циліндра висотою $10$ см і діаметром основи $15$ мм (див. рисунок 2).

Визначте площу плівки, якою в один шар щільно з усіх боків без накладань обгорнуто цю коробку. Місцями з’єднання плівки та товщиною стінок коробки знехтуйте.

А. $225$ cм$^2$
Б. $255$ cм$^2$
В. $450$ cм$^2$
Г. $600$ cм$^2$
Д. $75$ cм$^2$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $255$ cм$^2$

Завдання 20

На рисунку зображено графік непарної функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[–5; 5].$ Яке з наведених співвідношень є справедливим для $f(x)$?

А. $\mathop{\int}\limits_{-3}^0f(x)dx\lt 0$
Б. $\mathop{\int}\limits_{0}^3f(x)dx\gt 0$
В. $\mathop{\int}\limits_{-3}^3f(x)dx\lt 0$
Г. $\mathop{\int}\limits_{-3}^3f(x)dx\gt 0$
Д. $\mathop{\int}\limits_{-3}^3f(x)dx=0$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $\mathop{\int}\limits_{-3}^3f(x)dx=0$

Завдання 21

Установіть відповідність між функцією (1–4) та кількістю точок перетину її графіка з осями координат (А – Д).

Функція

$y=x^3-1$
$y=2^{-x}$
$y=-\frac 2x$
$y=\operatorname{ctg}\ x$

Кількість точок перетину

А. жодної
Б. одна
В. дві
Г. три
Д. безліч

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — В, 2 — Б, 3 — А, 4 — Д

Завдання 22

Установіть відповідність між виразом (1–4) та тотожно рівним йому виразом (А – Д), якщо $a\gt 0$, $a\ne 1$, $m\ne 0$, $n\ne 0$, $m\ne -n.$

Вираз

$\frac{n^2-m^2}{n+m}$
$\frac 1n: \frac 1m$
$\log_{a^m}a^n$
$n(6m+1)-m(6n-1)$

Тотожно рівний вираз

А. $mn$
Б. $\frac{m}{n}$
В. $\frac nm$
Г. $n+m$
Д. $n-m$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Д, 2 — Б, 3 — В, 4 — Г

Завдання 23

Установіть відповідність між чотирикутником (1–4) та довжиною його висоти (А – Д).

Чотирикутник

ромб, гострий кут якого дорівнює $60^\circ$, а менша діагональ – $8\sqrt{3}$ см
ромб, гострий кут якого дорівнює $30^\circ$, а периметр – $80$ см
прямокутна трапеція, основи якої дорівнюють $13$ см і $7$ см, а більша бічна сторона – $10$ см
трапеція, середня лінія якої дорівнює $6$ см, а площа – $84$ см

Довжина висоти

А. $7$ см.
Б. $8$ см.
В. $10$ см.
Г. $12$ см.
Д. $14$ см.

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — В, 3 — Б, 4 — Д

Завдання 24

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ – прямокутний паралелепіпед. Увідповідніть площину (1–4) та паралельну їй пряму (А – Д).

Площина

Пряма

А. $BC$
Б. $A_1D$
В. $A_1B$
Г. $BD$
Д. $DD_1$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — А, 2 — В, 3 — Д, 4 — Г

Завдання 25.1

Підлога кімнати має форму прямокутника розміром $5\mathord{,}5$ м на $7\mathord{,}5$ м.
Цю підлогу планують застелити ковроліном шириною $3$ м, використавши для цього два шматки однакової довжини. Вартість ковроліну такої ширини в маркеті становить
$200$ грн за $1$ м$^2.$ У маркеті діє акція: якщо площа придбаного ковроліну становить $50$ або більше квадратних метрів, то покупцеві надають знижку $8\ \%$ від вартості купленого ковроліну.
1. Яку суму грошей (у грн) заплатить покупець, якщо купить $50$ м$^2$ ковроліну та скористається акційною пропозицією?
2. На скільки гривень менше заплатить покупець порівняно з покупкою $50$ м$^2$ ковроліну за акційною пропозицією, якщо вибере найбільш економний варіант покупки ковроліну?
Запишіть відповідь до частини 1.

Відповідь

Правильна відповідь: 9200

Завдання 25.2

(Умова завдання 25.) Запишіть відповідь до частини 2.

Відповідь

Правильна відповідь: 200

Завдання 26.1

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$ та півколо з центром $O.$ $AD$ – діаметр півкола. $BK : KM=1 : 3$, $AB=4$ см.

1. Визначте радіус півкола (у см).
2. Обчисліть площу трикутника $KOM$ (у см$^2$).
Запишіть відповідь до частини 1.

Відповідь

Правильна відповідь: 5

Завдання 26.2

(Умова завдання 26.) Запишіть відповідь до частини 2.

Відповідь

Правильна відповідь: 12

Завдання 27

Четвертий член геометричної прогресії у $8$ разів більший за перший член. Сума третього й четвертого членів цієї прогресії на $14$ менша за їхній добуток. Визначте перший член прогресії, якщо всі її члени є додатними числами.

Відповідь

Правильна відповідь: 0.875

Завдання 28

За течією річки моторний човен проходить $32$ км за $1$ годину $20$ хвилин, а проти течії – проходить $48$ км за $3$ години. Визначте власну швидкість човна (у км/год). Уважайте, що вона є сталою протягом усього руху.

Відповідь

Правильна відповідь: 20

Завдання 29

Для оформлення салону краси вирішили замовити в магазині квітів $2$ орхідеї різних кольорів та $5$ кущів хризантем п’яти різних кольорів. Усього в магазині є в продажу орхідеї $10$ кольорів та кущі хризантем $8$ кольорів. Скільки всього є способів формування такого замовлення?

Відповідь

Правильна відповідь: 2520

Завдання 30

На колі із центром $O$, яке задано рівнянням $x^2+y^2=80$, вибрано точку $M(x_0; y_0)$, так, що вектор $\overrightarrow{OM}$ перпендикулярний до вектора $\overrightarrow{a} (–2; 1).$ Визначте абсцису $x_0$ точки $M$, якщо $x_0\lt 0.$

Відповідь

Правильна відповідь: -4

Завдання 31

Задано функцію $f(x)=\sqrt{x}+2.$
1. Побудуйте графік функції $f.$
2. Знайдіть координати $x_0$ і $y_0$ точки перетину графіка функції $f$ з прямою $y=3.$
3. Обчисліть значення похідної функції $f$ в точці $x=x_0.$
4. Запишіть рівняння дотичної, проведеної до графіка функції $f$ у точці з абсцисою $x_0.$

Розв'язання

3. $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1}}=0\mathord{,}5.$
4. $y=0\mathord{,}5x+2\mathord{,}5.$

Завдання 32

Площина $\mathbf{\beta}$ проходить через точку $A$, розташовану на поверхні кулі. Відстань від центра цієї кулі до площини $\mathbf{\beta}$ дорівнює $d\ (d$ менше радіуса кулі, $d\ne 0).$ Радіус кулі, проведений в точку $A$, утворює з площиною $\mathbf{\beta}$ кут $\mathbf{\alpha}.$
1. Зобразіть переріз кулі площиною $\mathbf{\beta}$ і укажіть на рисунку відстань $d.$
2. Обґрунтуйте положення кута $\mathbf{\alpha}.$
3. Визначте площу цього перерізу.

Розв'язання

3. $\mathbf{\pi}d^2\operatorname{ctg}^2\ \mathbf{\alpha}.$

Завдання 33

Задано систему нерівностей $$\left\{\begin{array}{l} \mathbf{\pi}^2-x^2\ge 0,\\ (\log_3 a)\cdot (2\sin^2 x-(2a-1)\sin x-a)\ge 0, \end{array}\right.$$ де $x$ – змінна, $a$ – додатна стала.
1. Розв'яжіть першу нерівність цієї системи.
2. Знайдіть множину розв’язків другої нерівності залежно від значень $a.$
3. Визначте всі розв'язки системи залежно від значень $a.$

Розв'язання

$a=1$, тоді $x\in [-\mathbf{\pi}; \mathbf{\pi}].$
$a\in (0; 1)$, тоді $x\in \left[-\mathbf{\pi}; -\frac{5\mathbf{\pi}}{6}\right]\cup \left[-\frac{\mathbf{\pi}}{6}; \arcsin\ a\right]\cup [\mathbf{\pi}-\arcsin\ a; \mathbf{\pi}].$
$a\in (1; +\infty)$, тоді $x\in \left[-\frac{5\mathbf{\pi}}{6}; -\frac{\mathbf{\pi}}{6}\right].$

⏱ Пройти цей тест онлайн

Інші варіанти з математики

Завдання — офіційні матеріали Українського центру оцінювання якості освіти (testportal.gov.ua).