ЗНО 2014 з математики · додаткова сесія

Офіційні завдання ЗНО 2014 року з математики — 36 завдань, 150 хв, максимум 56 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на відрізку [-7; 7]. Користуючись р…»

⏱ Пройти як на ЗНО Тренування з перевіркою

Завдання 1

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на відрізку $[-7; 7].$ Користуючись рисунком, знайдіть $f(2).$

А. $-4$
Б. $0$
В. $6$
Г. $2$
Д. $5$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $5$

Завдання 2

$-2xy^2-(3xy^2-2x^2y)=$

А. $-5xy^2+2x^2y$
Б. $-5xy^2-2x^2y$
В. $xy^2-2x^2y$
Г. $-6xy^2+2x^2y$
Д. $-3xy^2$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $-5xy^2+2x^2y$

Завдання 3

Задано точки $K(0; 1; 0)$ i $M(0; 0; 1).$ Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{KM}.$

А. $\overrightarrow{KM}(0; 1; 1)$
Б. $\overrightarrow{KM}(0; -1; 1)$
В. $\overrightarrow{KM}(0; 1; -1)$
Г. $\overrightarrow{KM}(2; 0; 0)$
Д. $\overrightarrow{KM}(0; 0; 0)$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $\overrightarrow{KM}(0; -1; 1)$

Завдання 4

Блок соціальної реклами складається з $4$ рекламних роликів: про шкідливість паління, про охорону навколишнього середовища, про дотримання правил дорожнього руху та про велосипедне місто. Ролик про шкідливість паління заплановано показати двічі – першим і останнім, а інші три ролики – по одному разу. Скільки всього існує варіантів формування цього блоку соціальної реклами за вказаним порядком рекламних роликів?

А. $6$
Б. $8$
В. $12$
Г. $24$
Д. $120$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $6$

Завдання 5

На координатній площині $xy$ зображено коло, яке дотикається до прямих $x=2$, $x=6$ та осі $x$ (див. рисунок). Визначте координати точки, яка є центром цього кола.

А. $(4; 1)$
Б. $(6; 2)$
В. $(4; 4)$
Г. $(2; 4)$
Д. $(4; 2)$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $(4; 2)$

Завдання 6

Розв'яжіть рівняння $\dfrac{1}{2x}=\dfrac{1}{2-3x}.$

А. $-2$
Б. $-0{,}4$
В. $2{,}5$
Г. $0{,}4$
Д. $2$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $0{,}4$

Завдання 7

Прямі $k$, $l$, $m$ i $n$ лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $\alpha.$

А. $15^\circ$
Б. $25^\circ$
В. $35^\circ$
Г. $45^\circ$
Д. $55^\circ$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $35^\circ$

Завдання 8

Розв'яжіть систему $$\left\{\begin{array}{l} 4y=6x,\\ x-y=12. \end{array}\right.$$ Якщо $(x_0; y_0)$ – розв'язок цієї системи, то $x_0=$

А. $-24$
Б. $36$
В. $4{,}8$
Г. $7{,}2$
Д. $-36$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $-24$

Завдання 9

$\sqrt{(-2)^2}+\sqrt[\scriptstyle 3]{(-3)^3}=$

А. $-23$
Б. $-5$
В. $-1$
Г. $1$
Д. $5$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $-1$

Завдання 10

Спростіть вираз $\dfrac{a^2-1}{1-\dfrac 1a}.$

А. $a(a-1)$
Б. $-a^3$
В. $-a(a+1)$
Г. $\frac{a+1}{a}$
Д. $a(a+1)$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $a(a+1)$

Завдання 11

На якому з рисунків зображено фрагмент графіка функції $y=\cos (x+2\pi)$ на проміжку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$?

Відповідь

Правильна відповідь: Б —

Завдання 12

У геометричній прогресії $(b_n){:}$ $b_1=\dfrac 12$, $b_2=\dfrac 14.$ Визначте $b_4.$

А. $-\frac 14$
Б. $2$
В. $4$
Г. $\frac{1}{16}$
Д. $\frac{1}{32}$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $\frac{1}{16}$

Завдання 13

З вершини $B$ квадрата $ABCD$ проведено перпендикуляр $SB$ до площини цього квадрата (див. рисунок). Які з наведених тверджень є правильними?

I. $\angle SBA=90^\circ.$
II. $\angle SAD=\angle SDA.$
III. $\angle SAD=90^\circ.$

А. лише І
Б. лише І i II
В. лише І i ІІI
Г. лише ІII
Д. I, II i III

Відповідь

Правильна відповідь: В — лише І i ІІI

Завдання 14

Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння $3^x=\dfrac{1}{27}$?

А. $(-\infty; -5]$
Б. $(-5; -2]$
В. $(-2; 0]$
Г. $(0; 2]$
Д. $(2; +\infty)$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $(-5; -2]$

Завдання 15

Об'єм циліндра дорівнює $72\pi$ см$^3.$ Знайдіть висоту цього циліндра, якщо радіус його основи дорівнює $3$ см.

А. $24$ см
Б. $12$ см
В. $9$ см
Г. $8$ см
Д. $6$ см

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $8$ см

Завдання 16

Спростіть вираз $(1-\cos^2 \alpha)\mathrm{ctg}^2\alpha.$

А. $\cos^2 \alpha$
Б. $\sin 2\alpha$
В. $\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}$
Г. $\sin^2 \alpha$
Д. $\mathrm{tg}^2\ \alpha$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $\cos^2 \alpha$

Завдання 17

Основою прямої призми є трикутник, довжини сторін якого відносяться як $2:3:4.$ Обчисліть площу бічної поверхні цієї призми, якщо площа найменшої бічної грані дорівнює $12$ см$^2.$

А. $42$ см$^2$
Б. $54$ см$^2$
В. $60$ см$^2$
Г. $84$ см$^2$
Д. $108$ см$^2$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $54$ см$^2$

Завдання 18

Розв'яжіть нерівність $x^3\ge x^2.$

А. $(-\infty; 0]\cup [1; +\infty)$
Б. $[0; 1]$
В. $[1; +\infty)$
Г. $\{0\}\cup [1; +\infty)$
Д. $[-1; +\infty)$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $\{0\}\cup [1; +\infty)$

Завдання 19

На рисунку зображено графік неперервної функції $y=f(x).$ Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

А. $\mathop{\int}\limits_{-1}^1 f(x)dx$
Б. $2\mathop{\int}\limits_{0}^1 f(x)dx$
В. $\mathop{\int}\limits_{0}^1 f(x)dx - \mathop{\int}\limits_{-1}^0 f(x)dx$
Г. $2\mathop{\int}\limits_{-1}^0 f(x)dx$
Д. $\mathop{\int}\limits_{-1}^0 f(x)dx - \mathop{\int}\limits_{0}^1 f(x)dx$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $\mathop{\int}\limits_{-1}^0 f(x)dx - \mathop{\int}\limits_{0}^1 f(x)dx$

Завдання 20

Автомобіль рухався по дорозі паралельно паркану $NP$ і зупинився біля закритих воріт $KL$ так, як зображено на рисунку. Відомо, що розмах стулки воріт $LM$ становить $2$ м, $OQ=1$ м. Укажіть найменшу з наведених довжину відрізка $LO$, при якій стулка $LM$ не зачепить автомобіль за умови повного відкривання воріт. Уважайте, що ворота перпеникулярні до площини дороги і мають прямокутну форму. Товщиною стулок знехтуйте.

А. $1{,}6$ м
Б. $1{,}7$ м
В. $1{,}8$ м
Г. $1{,}9$ м
Д. $2$ м

Відповідь

Правильна відповідь: В — $1{,}8$ м

Завдання 21

До кожного початку речення (1–4), де $a\gt 0$, $b\gt 0$, доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

Якщо $\log_2 a=2\log_2 b$, то
Якщо $a^3=8b^3$, то
Якщо $\sqrt{a}=2\sqrt{b}$, то
Якщо $2^a=4\cdot 2^b$, то

Закінчення речення

А. $a=2b$
Б. $a=2+b$
В. $a=4b$
Г. $a=b^2$
Д. $a=4+b$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — А, 3 — В, 4 — Б

Завдання 22

На сторонах квадрата $ABCD$ задано точки $K$, $L$, $M$ i $N$ так, що $KM\ ||\ AD$, $LN\ ||\ CD$ (див. рисунок). Відрізки $KM$ i $LN$ перетинаються в точці $O.$ $OL=8$, $OM=6$, $ON=2.$ До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

Довжина відрізка $OK$ дорівнює
Радіус кола, описаного навколо прямокутника $OLCM$, дорівнює
Довжина середньої лінії трапеції $OBCM$ дорівнює
Довжина відрізка $AP$, де $P$ – точка перетину бісектриси кута $NOM$ зі стороною $AD$, дорівнює

Закінчення речення

А. $4$
Б. $5$
В. $6$
Г. $8$
Д. $3$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — А, 2 — Б, 3 — Г, 4 — В

Завдання 23

Установіть відповідність між твердженням (1–4) та функцією (А – Д), для якої це твердження є правильним.

Твердження

графік функції проходить через точку $(0; 1)$
найменшого значення функція набуває в точці $x=-2$
областю визначення функції є множина $(-\infty; 2)\cup (2; +\infty)$
графік функції симетричний відносно осі $y$

Функція

А. $y=\frac{2}{x-2}$
Б. $y=(x+2)^2$
В. $y=3^x$
Г. $y=|x|$
Д. $y=x^3$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — В, 2 — Б, 3 — А, 4 — Г

Завдання 24

У шкільній олімпіаді з географії взяли участь $20$ учнів десятих класів. Бали, набрані учасниками олімпіади, утворили певний ряд даних, на основі якого склали його статистичний розподіл частот:

Бал	$5$	$7$	$9$	$10$	$12$	$15$	$16$	$18$
Частота бала	$3$	$4$	$2$	$1$	$5$	$3$	$1$	$1$

За цим статистичним розподілом частот установіть відповідність між характеристикою ряду даних (1–4) та її числовим значенням (А – Д).

Характеристика ряду даних

розмах
мода
медіана
середнє значення

Числове значення характеристики

А. $10{,}5$
Б. $11$
В. $11{,}5$
Г. $12$
Д. $13$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Д, 2 — Г, 3 — Б, 4 — А

Завдання 25.1

У ромбі $ABCD$ з вершини тупого кута $D$ до сторони $BC$ проведено перпендикуляр $DK.$ $BK=4$ см, $KC=6$ см.
1. Визначте довжину перпендикуляра $DK$ (у см).
2. Обчисліть площу ромба $ABCD$ (у см$^2$).
Запишіть відповідь до частини 1.

Відповідь

Правильна відповідь: 8

Завдання 25.2

(Умова завдання 25.) Запишіть відповідь до частини 2.

Відповідь

Правильна відповідь: 80

Завдання 26.1

Якщо додатні числа $x$ i $y$ задовольняють умову $\dfrac xy=\dfrac 14$, то:
1. $\dfrac{x+y}{y}=$
2. $\log_2 x-\log_2 y=$
Запишіть відповідь до частини 1.

Відповідь

Правильна відповідь: 1.25

Завдання 26.2

(Умова завдання 26.) Запишіть відповідь до частини 2.

Відповідь

Правильна відповідь: -2

Завдання 27

Визначте вартість (у грн) спожитої за місяць користувачем пільгової категорії електроенергії (див. фрагмент квитанції).
Пільга $(\%)$, ліміт $(\text{кВт}\cdot \text{год})$ $25\%$ при нормі $75\ \text{кВт}\cdot \text{год}$

Поточні показання, $\text{кВт}\cdot \text{год}$	Попередні показання, $\text{кВт}\cdot \text{год}$	Спожито, $\text{кВт}\cdot \text{год}$	Тариф, грн	Сума до сплати, грн
$6275$	$6160$	$115$	$0{,}28$	?

Урахуйте те, що тариф (вартість однієї $\text{кВт}\cdot \text{год}$) становить $0{,}28$ грн. Надана цьому користувачеві пільга полягає в тому, що за $75\ \text{кВт}\cdot \text{год}$ зі спожитих за місяць користувач сплачує на $25\ \%$ менше від їхньої вартості за тарифом.

Відповідь

Правильна відповідь: 26.95

Завдання 28

Графік функції $y=\sqrt{2x^2+x+1}$ проходить через точку $(x_0; 4)$, де $x_0\gt 0.$
Обчисліть $x_0.$

Відповідь

Правильна відповідь: 2.5

Завдання 29

Обчисліть значення виразу $2\sin\alpha\cos\alpha$, якщо $\sin\alpha+\cos\alpha=1{,}2.$

Відповідь

Правильна відповідь: 0.44

Завдання 30

Розв'яжіть нерівність $$x^2+2^{\log_2(-2x)}-15\lt 0.$$ У відповіді запишіть суму всіх цілих розв'язків цієї нерівності.

Відповідь

Правильна відповідь: -3

Завдання 31

Два кола, радіус кожного з яких дорівнює $2$ см, дотикаються з середини до кола радіусом $8$ см у точках $A$ i $B$ відповідно (див. рисунок). Визначте відстань (у см) між центрами цих рівних кіл, якщо $AB=10$ см. Уважайте, що всі кола лежать в одній площині.

Відповідь

Правильна відповідь: 7.5

Завдання 32

Усі вершини трапеції $ABCD$ належать графіку функції $y=36-x^2$, побудованому в прямокутній декартовій системі координат. Більша основа $AD$ лежить на осі $x.$ Яку найбільшу площу може мати трапеція $ABCD$?

Відповідь

Правильна відповідь: 256

Завдання 33

У конус вписано піраміду, основою якої є прямокутний трикутник. Бічна грань, що містить один з катетів основи, утворює з площиною основи кут $60^\circ.$ Знайдіть об'єм піраміди (у см$^3$), якщо твірна конуса дорівнює $9$ см і нахилена до площини основи під кутом $45^\circ.$

Відповідь

Правильна відповідь: 81

Завдання 34

Знайдіть найбільше значення параметра $a$, при якому система рівнянь $$\left\{\begin{array}{l} (2a-1)\sin x+\cos x=2,\\ a\sin x+(2a-1)\cos x=a+1 \end{array}\right.$$ має безліч розв'язків.

Відповідь

Правильна відповідь: 1.5

⏱ Пройти цей тест онлайн

Інші варіанти з математики

Завдання — офіційні матеріали Українського центру оцінювання якості освіти (testportal.gov.ua).