Офіційні завдання НМТ 2024 року з математики — 22 завдання, 60 хв, максимум 32 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «На рисунку відображено зміну густини (мкг/м 3 ) дрібнодисперсного пилу в повітрі протягом …»
На рисунку відображено зміну густини (мкг/м3) дрібнодисперсного пилу в повітрі протягом доби в деякому районі міста. Укажіть із-поміж наведених проміжок часу (год), упродовж якого густина такого пилу в повітрі лише зменшувалася.
А. $[2;\,6]$
Б. $[8;\,12]$
В. $[12;\,14]$
Г. $[14;\,16]$
Д. $[20;\,24]$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $[20;\,24]$
Завдання 2
Зовнішній кут при вершині $A$ трикутника $ABC$ дорівнює $100^\circ$, $\angle C = 20^\circ$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $B$.
А. $100^\circ$
Б. $90^\circ$
В. $120^\circ$
Г. $80^\circ$
Д. $70^\circ$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $80^\circ$
Завдання 3
Розкладіть вираз $4x^2 - 144$ на множники.
А. $(2x-12)(2x+12)$
Б. $(2x-72)(2x+72)$
В. $(2x-12)^2$
Г. $(2x-72)^2$
Д. $2(x-6)(x+6)$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $(2x-12)(2x+12)$
Завдання 4
На рисунку зображено циліндр, прямокутник $ABCD$ – його осьовий переріз. Укажіть відрізок, який є твірною цього циліндра.
А. $AD$
Б. $BC$
В. $AC$
Г. $BD$
Д. $AB$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $AB$
Завдання 5
Яке з наведених чисел є коренем рівняння $|3x + 2| = 2$?
А. $\dfrac{4}{3}$
Б. $-\dfrac{4}{3}$
В. $\dfrac{3}{2}$
Г. $-\dfrac{2}{3}$
Д. $-\dfrac{1}{3}$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $-\dfrac{4}{3}$
Завдання 6
Микола частує свою родину фруктовим салатом із яблук, бананів й апельсинів. Для приготування однієї порції салату потрібно 1 банан, 2 апельсини та 3 яблука. Скільки апельсинів використав Микола, якщо він приготував за цим рецептом салат із 24 фруктів?
А. 4
Б. 5
В. 8
Г. 12
Д. 18
Відповідь
Правильна відповідь: В — 8
Завдання 7
На рисунку зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на проміжку $[-3;\,3]$. У яких координатних чвертях розташований графік функції $y = f(x-4)$?
А. лише в I та II
Б. лише в II та III
В. лише в III та IV
Г. лише в I та IV
Д. у всіх чвертях
Відповідь
Правильна відповідь: Г — лише в I та IV
Завдання 8
Обчисліть $\dfrac{\sqrt[3]{189}}{\sqrt[3]{7}}$.
А. 3
Б. 7
В. 9
Г. 21
Д. 27
Відповідь
Правильна відповідь: А — 3
Завдання 9
Обчисліть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 8 см, а апофема на 2 см більша за сторону основи піраміди.
А. 72 см2
Б. 384 см2
В. 192 см2
Г. 120 см2
Д. 240 см2
Відповідь
Правильна відповідь: Г — 120 см2
Завдання 10
Які з наведених тверджень є правильними? I. Існує паралелограм, діагональ якого дорівнює сумі двох його сусідніх сторін. II. Існує паралелограм, один із кутів якого вдвічі більший за інший кут. III. Існує паралелограм, діагоналі якого перпендикулярні.
А. лише II
Б. лише I та III
В. лише II та III
Г. лише I та II
Д.I, II та III
Відповідь
Правильна відповідь: В — лише II та III
Завдання 11
Розв'яжіть систему нерівностей $\begin{cases} 5^x < 25, \\ 2 - x < 8. \end{cases}$
А. $(2;\,6)$
Б. $(2;\,+\infty)$
В. $(-6;\,5)$
Г. $(-\infty;\,-6)$
Д. $(-6;\,2)$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $(-6;\,2)$
Завдання 12
В арифметичній прогресії $(a_n)$ відомо, що $a_6 - a_1 = -30$. Обчисліть значення виразу $a_6 - a_4$.
А. $12$
Б. $10$
В. $-15$
Г. $-10$
Д. $-12$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $-12$
Завдання 13
Укажіть проміжок, якому належить значення виразу $\log_{0{,}2} 125$.
А. $(-\infty;\,-3)$
Б. $[-3;\,0)$
В. $[0;\,3)$
Г. $[3;\,25)$
Д. $[25;\,+\infty)$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $[-3;\,0)$
Завдання 14
Укажіть корінь рівняння $\operatorname{tg}(3x) = -1$.
А. $-\dfrac{\pi}{12}$
Б. $-\dfrac{\pi}{3}$
В. $\dfrac{\pi}{12}$
Г. $-\dfrac{4\pi}{3}$
Д. $-\dfrac{\pi}{4}$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $-\dfrac{\pi}{12}$
Завдання 15
На рисунку зображено прямокутник $ABCD$. Точка $K$ лежить на стороні $AD$. Визначте довжину сторони $AD$, якщо $BK = d$, $\angle AKB = \alpha$, $\angle KCD = \beta$.
А. $d(\sin\alpha + \cos\alpha\,\operatorname{tg}\beta)$
Б. $d(\cos\alpha + \sin\alpha\,\operatorname{tg}\beta)$
В. $d\left(\sin\alpha + \dfrac{\cos\alpha}{\operatorname{tg}\beta}\right)$
Г. $d\left(\cos\alpha + \dfrac{\sin\alpha}{\operatorname{tg}\beta}\right)$
Д. $d(\cos\alpha + \sin\alpha\sin\beta)$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $d(\cos\alpha + \sin\alpha\,\operatorname{tg}\beta)$
Завдання 16
У прямокутній декартовій системі координат на площині зображено замкнену ламану $ABCA$, де $A(-1;\,0)$, $B(0;\,1)$, $C(1;\,0)$. Узгодьте функцію (1–3) з кількістю (А – Д) спільних точок її графіка та ламаної $ABCA$.
Функція
$y = 0$
$y = 1 - x^2$
$y = \cos x$
Кількість спільних точок
А. жодної
Б. лише одна
В. лише дві
Г. лише три
Д. безліч
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Д, 2 — Г, 3 — Б
Завдання 17
Узгодьте вираз (1–3) з твердженням (А – Д) про його значення, якщо $a = 3$.
Вираз
$a^{-1}$
$a^0$
$\sin(\pi a)$
Твердження про значення виразу
А. є раціональним числом, що не є цілим
Б. є натуральним числом
В. є цілим від'ємним числом
Г. є ірраціональним числом
Д. дорівнює 0
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — А, 2 — Б, 3 — Д
Завдання 18
Навколо кола описано рівнобічну трапецію (див. рисунок), периметр якої дорівнює 100 см. Різниця основ трапеції дорівнює 14 см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Сергій купив 4 чорні, 6 червоних і $n$ синіх ручок по 27 грн, 15 грн і 10 грн кожна. Середня ціна однієї ручки виявилася меншою за 13 грн. Укажіть найменше можливе значення $n$.
Відповідь
Правильна відповідь: 23
Завдання 21
У прямокутній системі координат у просторі задано правильну чотирикутну призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Діагоналі основи $ABCD$ перетинаються в точці $M$. Висота призми втричі більша за сторону $AB$. Обчисліть об'єм цієї призми, якщо $A(4;\,\sqrt{10};\,3)$, $M(-2;\,0;\,1)$.
Відповідь
Правильна відповідь: 3000
Завдання 22
Знайдіть усі значення $a$, за яких рівняння $\dfrac{x^2 - ax + 4}{x - 5} = 0$ має лише один корінь. Якщо таких значень кілька, то запишіть у відповіді їхній добуток.
