Офіційні завдання ЗНО 2017 року з математики — 35 завдань, 210 хв, максимум 48 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «Різниця двох кутів, отриманих при перетині двох прямих (див. рисунок), дорівнює 120^\circ.…»
Різниця двох кутів, отриманих при перетині двох прямих (див. рисунок), дорівнює $120^\circ.$ Визначте градусну міру кута $\alpha.$
А. $30^\circ$
Б. $100^\circ$
В. $120^\circ$
Г. $140^\circ$
Д. $150^\circ$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $150^\circ$
Завдання 2
Розв'яжіть нерівність $-\frac x5\gt 5.$
А. $(-\infty; -25)$
Б. $(-\infty; -1)$
В. $(-\infty; 25)$
Г. $(-1; +\infty)$
Д. $(-25; +\infty)$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $(-\infty; -25)$
Завдання 3
Спростіть вираз $(a^6)^4:a^2$, де $a\ne 0.$
А. $a^5$
Б. $a^8$
В. $a^{10}$
Г. $a^{12}$
Д. $a^{22}$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $a^{22}$
Завдання 4
На діаграмі відображено дані про обсяг виробництва какао-бобів (у тис. тонн) у 2009 році в семи країнах-лідерах. Користуючись діаграмою, укажіть проміжок, якому належить значення маси (у тис. тонн) какао-бобів, вирощенних у країні, що посіла у 2009 році третє місце за обсягом їх виробництва.
А. $[200; 300]$
Б. $[300; 400]$
В. $[600; 700]$
Г. $[700; 800]$
Д. $[1200; 1300]$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $[600; 700]$
Завдання 5
Розв'яжіть рівняння $3^{x+4}=27.$
А. $x=-2$
Б. $x=-1$
В. $x=0$
Г. $x=3$
Д. $x=5$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $x=-1$
Завдання 6
На рисунку зображено прямокутний паралелепіпед $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Яка з наведених прямих лежить в одній площині з прямою $CC_1$?
А. $AB$
Б. $DB_1$
В. $A_1D_1$
Г. $BD$
Д. $AA_1$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $AA_1$
Завдання 7
Обчисліть значення виразу $25-2a-2b$, якщо $a+b=6.$
А. $1$
Б. $23$
В. $21$
Г. $13$
Д. $19$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $13$
Завдання 8
На якому з наведених рисунків зображено ескіз графіка функції $y=-\frac 1x$?
А.
Б.
В.
Г.
Д.
Відповідь
Правильна відповідь: Д —
Завдання 9
Визначте відстань від точки $A(-1; -3; 4)$ до координатної площини $xz.$
А. $1$
Б. $4$
В. $5$
Г. $3$
Д. $\sqrt{26}$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $3$
Завдання 10
Обчисліть $\sqrt{(-3)^2}+\sqrt[3]{(-5)^3}.$
А. $-8$
Б. $-2$
В. $2$
Г. $8$
Д. $15$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $-2$
Завдання 11
Довжини сторін трикутника відносяться як $3:4:5.$ Визначте довжину найбільшої сторони цього трикутника, якщо його периметр дорівнює $72$ см.
А. $20$ см
Б. $24$ см
В. $30$ см
Г. $35$ см
Д. $36$ см
Відповідь
Правильна відповідь: В — $30$ см
Завдання 12
Якщо $x=t-2$, то $x^2-t^2=$
А. $4-2t$
Б. $4-4t$
В. $4$
Г. $-4t-4$
Д. $2t^2+4$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $4-4t$
Завдання 13
Обчисліть другий член $b_2$ геометричної прогресії $(b_n)$, якщо $b_1=-0\mathord{,}25$, $b_4=2.$
А. $0\mathord{,}5$
Б. $0\mathord{,}25$
В. $-0\mathord{,}5$
Г. $-1$
Д. $-2$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $0\mathord{,}5$
Завдання 14
Використовуючи позначені на рисунку точки, укажіть трикутник, площа якого вдвічі більша за площу прямокутника $ABCD.$
А. $AKL$
Б. $ALD$
В. $ACN$
Г. $AOM$
Д. $ABM$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $AOM$
Завдання 15
Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння $\log_3x=-2$?
А. $(-4; -1]$
Б. $(-1; 2]$
В. $(2; 5]$
Г. $(5; 8]$
Д. $(8; 11]$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $(-1; 2]$
Завдання 16
На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[-3; 2].$ Укажіть точку перетину графіка функції $y=f(x)-2$ з віссю $y.$
А. $(0; 2)$
Б. $(0; 6)$
В. $(0; 0)$
Г. $(-4; 0)$
Д. $(2; 0)$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $(0; 2)$
Завдання 17
Для запобігання паркуванню транспорту на площі міста встановили $50$ суцільних бетонних півкуль, радіус кожної з яких дорівнює $30$ см. Який об'єм (у м$^3$) бетону використано на виготовлення цих півкуль? Укажіть відповідь, найближчу до точної.
А. $2\mathord{,}9$ м$^3$
Б. $5\mathord{,}7$ м$^3$
В. $8\mathord{,}6$ м$^3$
Г. $2\mathord{,}1$ м$^3$
Д. $17\mathord{,}1$ м$^3$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $2\mathord{,}9$ м$^3$
Завдання 18
Для якого з наведених виразів виконується рівність $|x|=-x$?
А. $x=\frac 12-\frac 25$
Б. $x=\frac 12\cdot \frac 25$
В. $x=\frac 25-\frac 12$
Г. $x=\frac 12+\frac 25$
Д. $x=\frac 12:\frac 25$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $x=\frac 25-\frac 12$
Завдання 19
Задано функцію $y=3x.$ Які з наведених тверджень є правильними? I. Будь-яка первісна цієї функції є парною. II. Графік будь-якої первісної цієї функції проходить через точку $O(0; 0).$ III. Графік будь-якої первісної цієї функції не перетинає вісь $x.$
А. лише І
Б. лише ІI
В. лише ІII
Г. лише І та ІІ
Д. лише І та ІІI
Відповідь
Правильна відповідь: А — лише І
Завдання 20
Розв'яжіть нерівність $-x^2-x+6\lt 0.$
А. $(-\infty; -2)\cup (3; +\infty)$
Б. $(-3; 2)$
В. $(-\infty; -3)\cup (2; +\infty)$
Г. $(-2; 3)$
Д. $(6; +\infty)$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $(-\infty; -3)\cup (2; +\infty)$
Завдання 21
Установіть відповідність між функцією (1–4) та її найбільшим значенням на проміжку $[0; 5]$ (А – Д).
Функція
$y=2x-7$
$y=-x^2+2$
$y=\sin 2x$
$y=\sqrt{x-1}+3$
Найбільше значення функції на проміжку $[0; 5]$
А. $1$
Б. $2$
В. $3$
Г. $4$
Д. $5$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — В, 2 — Б, 3 — А, 4 — Д
Завдання 22
Установіть відповідність між тригонометричним виразом (1–4) та його значенням (А – Д).
Тригонометричний вираз
$\cos^2 15^\circ+\sin^2 15^\circ$
$4\sin \frac{\pi}{6}+2\sin \frac{3\pi}{2}$
$2\cos \frac{\pi}{6}\sin \frac{\pi}{6}$
$\frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{3}}$
Значення тригонометричного виразу
А. $\sqrt{3}$
Б. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
В. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Г. $1$
Д. $0$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — Д, 3 — В, 4 — А
Завдання 23
У циліндрі з центрами основ $O$ i $O_1$ проведено хорду $AB$ в нижній основі (див. рисунок). $\angle AOB=90^\circ$, $\angle OBO_1=60^\circ.$ Площа основи циліндра дорівнює $9\pi.$ Установіть відповідність між величиною (1–4) та її значенням (А – Д).
Величина
радіус основи циліндра
довжина хорди $AB$
висота циліндра
об'єм піраміди $O_1AOB$
Значення величини
А. $\frac{9\sqrt{3}}{2}$
Б. $3$
В. $9\sqrt{3}$
Г. $3\sqrt{2}$
Д. $3\sqrt{3}$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — Г, 3 — Д, 4 — А
Завдання 24
На кожному з рисунків зображено коло з центром у точці $O$ та хорду $AB.$ $\angle ACB$ i $\angle ADB$ – вписані кути, які спираються на хорду $AB.$ Установіть відповідність між вписаним кутом $ACB$, зображеним на рисунках (1–4), та його градусною мірою (А – Д).
Градусна міра вписаного кута $ACB$
А. $100^\circ$
Б. $90^\circ$
В. $80^\circ$
Г. $60^\circ$
Д. $50^\circ$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — В, 2 — Д, 3 — Б, 4 — А
Завдання 25.1
Перший автомат за $2$ хвилини наповнює гелієм $3$ однакові повітряні кульки, а другий автомат за цей самий час – на $100\ \%$ більше таких кульок. Уважайте, що продуктивність роботи автоматів є сталою. 1. За скільки секунд другий автомат наповнює гелієм одну повітряну кульку? 2. Скільки всього повітряних кульок наповнять гелієм обидва автомати за $10$ хвилин одночасно? Запишіть відповідь до частини 1.
Відповідь
Правильна відповідь: 20
Завдання 25.2
(Умова завдання 25.) Запишіть відповідь до частини 2.
Відповідь
Правильна відповідь: 45
Завдання 26.1
Периметр трапеції дорівнює $132$ см, а довжина вписаного в неї кола становить $24\pi$ см. 1. Визначте довжину (у см) середньої лінії цієї трапеції. 2. Визначте площу (у см$^2$) цієї трапеції. Запишіть відповідь до частини 1.
Відповідь
Правильна відповідь: 33
Завдання 26.2
(Умова завдання 26.) Запишіть відповідь до частини 2.
Відповідь
Правильна відповідь: 792
Завдання 27
За $4$ кг огірків і $5$ кг помідорів заплатили $87$ гривень. Після того як огірки подорожчали на третину, а помідори подешевшали на третину, за $4$ кг огірків і $5$ кг помідорів заплатили $86$ гривень. Визначте початкову вартість $x$ одного кілограма огірків і початкову вартість $y$ одного кілограма помідорів. У відповіді запишіть суму $x+y$ (у грн).
Відповідь
Правильна відповідь: 19.5
Завдання 28
Дотична, проведена до графіка функції $y=f(x)$ у точці $M(5; -9)$, паралельна осі абсцис. Обчисліть значення виразу $3\cdot f'(5)+10\cdot f(5).$
Відповідь
Правильна відповідь: -90
Завдання 29
Музей має надати чотири картини відомого художника для виставки, присвяченої дню його народження. Одну картину вибирають з діючої експозиції музею, що містить $5$ робіт цього художника, а три інші – з архіву, у якому є $10$ його картин. Скільки всього способів такого вибору?
Відповідь
Правильна відповідь: 600
Завдання 30
У прямокутній системі координат на площині зображено вектори $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ та $\overrightarrow{c}.$ Визначте косинус кута між векторами $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ та $\overrightarrow{c}.$
Відповідь
Правильна відповідь: 0.6
Завдання 31
Задано функцію $y=\frac{2-x}{x^2+x-6}.$ 1. Розв’яжіть рівняння $x^2+x-6=0.$ 2. Спростіть вираз $\frac{2-x}{x^2+x-6}.$ 3. Побудуйте графік функції $y=\frac{2-x}{x^2+x-6}.$ 4. Користуючись графіком, визначте область значень цієї функції.
Основою піраміди $SABCD$ є паралелограм $ABCD$ з гострим кутом $A.$ Ребро $SB$ перпендикулярне до прямих $AB$ і $BC.$ Проекцією ребра $SD$ на площину основи піраміди є відрізок довжиною $10$ см, який утворює зі стороною $AD$ кут $30^\circ.$ Визначте кут між площинами $(SAD)$ i $(ABC)$, якщо $SD=15$ см.
Розв'язання
$\mathrm{arctg}\ \sqrt{5}.$
Завдання 33
Розв’яжіть рівняння $$\frac{3x^2-6ax-a+2^{\log_2(x-a)}}{|\cos(\pi x)+1|-1}=0$$ залежно від значень параметра $a.$
Розв'язання
якщо $a\lt -\frac 13$, то $x=-\frac 13$; якщо $a\in \left[-\frac 13; 0\right]$ та $a=\frac 14+\frac n2,\ n=0$, $1$, $2\text{...}$, то коренів немає; якщо $a\in (0; +\infty)$, та $a\ne \frac 14+\frac n2,\ n=0$, $1$, $2\text{...}$, то $x=2a.$
