Офіційні завдання ЗНО 2021 року з математики — 38 завдань, 210 хв, максимум 46 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «У під'їзді шістнадцятиповерхового будинку на першому поверсі розташовано 6 квартир, а на к…»
У під'їзді шістнадцятиповерхового будинку на першому поверсі розташовано 6 квартир, а на кожному з решти поверхів – по 8. На якому поверсі квартира № 31, якщо квартири від № 1 і далі пронумеровано послідовно від першого до останнього поверху?
А. 3
Б. 4
В. 5
Г. 6
Відповідь
Правильна відповідь: В — 5
Завдання 2
Кількість відвідувачів ботанічного саду протягом червня становила чверть від їхньої сумарної кількості в травні й червні. На якій із діаграм правильно зображено розподіл відвідувачів цього ботанічного саду впродовж цих двох місяців? – кількість відвідувачів у травні – кількість відвідувачів у червні
А.
Б.
В.
Г.
Відповідь
Правильна відповідь: Г —
Завдання 3
Точки $A$ та $B$ лежать на сфері радіуса 10 см. Укажіть найбільше можливе значення довжини відрізка $AB$.
А. 20 см
Б. $100\pi$ см
В. 10 см
Г. $20\pi$ см
Відповідь
Правильна відповідь: А — 20 см
Завдання 4
Обчисліть суму коренів рівняння $x^2 + 3x - 4 = 0$.
А. $-4$
Б. $-3$
В. 3
Г. 4
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $-3$
Завдання 5
У рівнобедреному трикутнику $ABC$ з основою $AC$ $\angle B = 40^\circ$. Визначте градусну міру кута $A$.
А. $80^\circ$
Б. $70^\circ$
В. $60^\circ$
Г. $50^\circ$
Д. $40^\circ$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $70^\circ$
Завдання 6
Укажіть функцію, графік якої проходить через початок координат.
А. $y = x - 1$
Б. $y = 1 - x$
В. $y = 1$
Г. $x = -1$
Д. $y = x$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $y = x$
Завдання 7
Спростіть вираз $2(x + 5y) - (4y - 7x)$.
А. $9x + y$
Б. $9x + 14y$
В. $-5x + 6y$
Г. $9x + 6y$
Д. $16x + 2y$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $9x + 6y$
Завдання 8
Точки $A$, $B$, $C$ та $D$ лежать в одній площині. Які з наведених тверджень є правильними? I. Якщо точка $B$ належить відрізку $CD$, то $CB + BD = CD$. II. Якщо точка $A$ не належить відрізку $CD$, то $CA + AD < CD$. III. Якщо відрізок $CD$ перетинає відрізок $AB$ в точці $O$ під прямим кутом і $AO = OB$, то $AC = CB$.
А. лише I та II
Б. лише I
В. лише I та III
Г. лише II
Д. I, II та III
Відповідь
Правильна відповідь: В — лише I та III
Завдання 9
Із заглибленням у надра Землі температура порід підвищується в середньому на 3 °С щокожні 100 м. Прилад на першому рівні ствола шахти показує температуру породи +12 °С. За якою формулою можна визначити температуру $t$ (у °С) породи на глибині, що на $h$ м нижче від першого рівня?
А. $t = 12 + \dfrac{3h}{100}$
Б. $t = 12 - \dfrac{3h}{100}$
В. $t = 3 + \dfrac{100h}{12}$
Г. $t = 3 + \dfrac{100}{12h}$
Д. $t = 12 + \dfrac{100h}{3}$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $t = 12 + \dfrac{3h}{100}$
У прямокутній системі координат на площині зображено план паркової зони, що має форму фігури, обмеженої графіками функцій $y = f(x)$ і $y = 3$ (див. рисунок). Укажіть формулу для обчислення площі $S$ цієї фігури.
А. $S = \displaystyle\int_{-1}^{3} (f(x) - 3)\,dx$
Б. $S = \displaystyle\int_{-1}^{3} (3 - f(x))\,dx$
Заїзна кишеня для висадки пасажирів громадського (маршрутного) транспорту й таксі, облаштована перед входом у супермаркет, має форму рівнобічної трапеції $ABCD$. Довжина більшої основи $AD$ становить 38 м, ширина кишені дорівнює 5 м. Уздовж меншої основи $BC$ й бічних сторін $AB$ й $CD$ планують установити запобіжні стовпчики на відстані 1 м один від одного. Частину з них уже встановили (див. рисунок). Скільки всього стовпчиків має бути за планом уздовж сторін $AB$, $BC$ й $CD$ цієї кишені, якщо вздовж $BC$ вже встановлено 15 стовпчиків?
А. 39
Б. 41
В. 42
Г. 43
Д. 45
Відповідь
Правильна відповідь: Б — 41
Завдання 17
Установіть відповідність між функцією (1–3) і властивістю (А – Д) її графіка.
Функція
$y = \log_2 x$
$y = x^2 + 3$
$y = \cos x$
Властивість графіка функції
А. не перетинає вісь $y$
Б. паралельний осі $x$
В. розташований у всіх координатних чвертях
Г. має лише одну спільну точку з графіком рівняння $x^2 + y^2 = 9$
Д. симетричний відносно початку координат
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — А, 2 — Г, 3 — В
Завдання 18
Увідповідніть вираз (1–3) із його значенням (А – Д), якщо $x = \sqrt{5} - 1$.
Вираз
$|x - \sqrt{5}|$
$(\sqrt{5} + 1)x$
$x^2 + 2x + 1$
Значення виразу
А. $-1$
Б. 1
В. 4
Г. 5
Д. 6
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — В, 3 — Г
Завдання 19
На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро якого дорівнює 2. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
Довжина діагоналі куба дорівнює
Відстань від точки $A$ до прямої $A_1C_1$ дорівнює
Відстань від точки $A$ до площини $(BB_1D_1)$ дорівнює
Закінчення речення
А. 2.
Б. $2\sqrt{2}$.
В. $2\sqrt{3}$.
Г. $\sqrt{3}$.
Д. $\sqrt{2}$.
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — В, 2 — А, 3 — Д
Завдання 20
На рисунках (1–5) наведено інформацію про п'ять паралелограмів. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
Паралелограм, діагоналі якого перетинаються під прямим кутом, зображено на
Паралелограм, менший кут якого дорівнює $30^\circ$, зображено на
Паралелограм, площа якого дорівнює 16, зображено на
Закінчення речення
А. рис.1.
Б. рис.2.
В. рис.3.
Г. рис.4.
Д. рис.5.
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — А, 2 — Б, 3 — Д
Завдання 21.1
На пачці морозива масою 500 г наведено інформацію (див. рисунок) про поживну (харчову) цінність цього продукту масою 100 г: білків – 3,5 г, жирів – 12 г, вуглеводів – 21 г. 1. Визначте енергетичну (калорійну) цінність (у ккал) цього морозива масою 100 г, якщо енергетична цінність білків масою 1 г становить 4 ккал, жирів масою 1 г – 9 ккал, вуглеводів масою 1 г – 4 ккал.
Відповідь
Правильна відповідь: 206
Завдання 21.2
(Умова завдання 21.) 2. Морозиво, з'їдене Ладою, становило 30 % від усієї пачки (500 г). Визначте енергетичну цінність (у ккал) спожитого нею морозива.
Відповідь
Правильна відповідь: 309
Завдання 22.1
На рисунку зображено прямокутник $ABCD$ й сектор $KAD$, у якому $\angle KAD = 90^\circ$. Площа сектора $KAD$ дорівнює $100\pi$ см2. Дуга $\overset{\frown}{KD}$ перетинає сторону $BC$ в точці $M$, причому $BM = 16$ см. 1. Визначте довжину (у см) сторони $AD$.
Відповідь
Правильна відповідь: 20
Завдання 22.2
(Умова завдання 22.) 2. Обчисліть площу (у см2) прямокутника $ABCD$.
Відповідь
Правильна відповідь: 240
Завдання 23.1
У прямокутній системі координат у просторі задано вектор $\vec{a}(2;\,-9;\,3)$. 1. Визначте координати вектора $\vec{b} = -2\vec{a}$. У відповіді запишіть їхню суму.
На виборах президента школи балотуються три кандидати: Наталя, Микола й Антон. За результатами опитування ймовірність того, що переможе Антон, дорівнює ймовірності того, що переможе Микола, й вдвічі менша за ймовірність того, що переможе Наталя. Якою за результатами опитування є ймовірність того, що президентом школи оберуть Миколу?
Відповідь
Правильна відповідь: 0.25
Завдання 26
Протягом 40 хвилин уроку учні виступили з трьома доповідями однакової тривалості й показали дві презентації. Показ кожної презентації тривав на 10 хвилин більше, ніж доповідь. Визначте тривалість однієї доповіді (у хв). Тривалістю пауз між доповідями й презентаціями знехтуйте.
Відповідь
Правильна відповідь: 4
Завдання 27
Обчисліть $400^{1 - \log_{20} 4}$.
Відповідь
Правильна відповідь: 25
Завдання 28
Розв'яжіть нерівність $|x - 9| \leqslant 3$. У відповіді запишіть суму всіх її цілих розв'язків на проміжку $[-15;\,15]$.
Відповідь
Правильна відповідь: 63
Завдання 29
Олег пише смс-повідомлення з трьох речень. У кінці кожного з них він прикріпить один із п'ятнадцяти веселих смайликів. Скільки всього є способів вибору таких смайликів для прикріплення, якщо всі смайлики в повідомленні мають бути різними?
Відповідь
Правильна відповідь: 2730
Завдання 30
Задано функцію $y = x^3 - 12x$. 1. Для значень аргументу $x = -1;\ 0;\ 2$ визначте відповідні їм значення $y$. 2. Визначте й запишіть координати точок перетину графіка функції $y = x^3 - 12x$ із віссю $x$. 3. Знайдіть похідну $f'$ функції $f(x) = x^3 - 12x$. 4. Визначте нулі функції $f'$. 5. Визначте проміжки зростання і спадання, точки екстремуму й екстремуми функції $f$. 6. Побудуйте ескіз графіка функції $f$.
Осьовим перерізом циліндра є прямокутник $ABCD$, сторона $AD$ якого лежить у нижній основі циліндра. Діагональ $AC$ перерізу утворює з площиною верхньої основи циліндра кут $\beta$. Діаметр основи циліндра дорівнює $d$. 1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр і його осьовий переріз $ABCD$. 2. Укажіть кут $\beta$, що утворює пряма $AC$ з площиною верхньої основи циліндра. 3. Визначте об'єм циліндра.
Осьовим перерізом циліндра є прямокутник $ABCD$, сторона $AD$ якого лежить у нижній основі циліндра. Діагональ $AC$ перерізу утворює з площиною верхньої основи циліндра кут $\beta$. Діаметр основи циліндра дорівнює $d$. На колі нижньої основи вибрано точку $K$ так, що відрізок $AK$ видно з точки $D$ під кутом $30^\circ$. 1. Зобразіть на рисунку заданий циліндр і вкажіть кут $\gamma$ між площиною $(CKA)$ і площиною нижньої основи. Обґрунтуйте його положення. 2. Визначте кут $\gamma$.
Офіційна відповідь не подається (завдання на доведення). Підказка: $\sin 330^\circ = -\dfrac{1}{2}$, тож права частина дорівнює $6a - 4$; а $6a^2 + 20a - 16 = 2(3a - 2)(a + 4)$, тож ліва частина теж дорівнює $6a - 4$ (за $a \ne -4$).
Завдання 34
Задано систему рівнянь $\begin{cases} ax^2 + ax + 3^{2 + y^2} = 27, \\ x + 3^{1 + y^2} = 8, \end{cases}$ де $x$, $y$ – змінні, $a$ – стала. 1. Розв'яжіть цю систему, якщо $a = 0$. 2. Визначте всі розв'язки заданої системи залежно від значень $a$.
Розв'язання
1. $(-1;\,-1)$ і $(-1;\,1)$. 2. Якщо $a \in [0;\,0{,}6)$, то розв'язками системи є $(-1;\,-1)$ і $(-1;\,1)$; якщо $a \in (-\infty;\,0) \cup [0{,}6;\,+\infty)$, то розв'язками системи є $(-1;\,-1)$; $(-1;\,1)$ і $\left(\dfrac{3}{a};\,\sqrt{\log_3 \dfrac{8a - 3}{3a}}\right)$; $\left(\dfrac{3}{a};\,-\sqrt{\log_3 \dfrac{8a - 3}{3a}}\right)$.
