ЗНО 2013 з математики · сесія 1

Офіційні завдання ЗНО 2013 року з математики — 33 завдання, 150 хв, максимум 54 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «Визначте m із співвідношення \dfrac{m}{2} = \dfrac{3}{n}, де n \ne 0.…»

⏱ Пройти як на ЗНО Тренування з перевіркою

Завдання 1

Визначте $m$ із співвідношення $\dfrac{m}{2} = \dfrac{3}{n}$, де $n \ne 0$.

А. $m = 6n$
Б. $m = \dfrac{6}{n}$
В. $m = \dfrac{2n}{3}$
Г. $m = \dfrac{3}{2n}$
Д. $m = \dfrac{n}{6}$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $m = \dfrac{6}{n}$

Завдання 2

Укажіть вираз, тотожно рівний виразу $(2x + 5)\cdot(3 - x)$.

А. $15 + x - 2x^2$
Б. $15 + x + 2x^2$
В. $15 + 6x - 2x^2$
Г. $15 + 11x - 2x^2$
Д. $15 + 11x + 2x^2$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $15 + x - 2x^2$

Завдання 3

Пряма $b$ не має спільних точок з площиною $\alpha$. Які з наведених тверджень є правильними?
I. Через пряму $b$ можна провести лише одну площину, перпендикулярну до площини $\alpha$.
II. Через пряму $b$ можна провести лише одну площину, паралельну площині $\alpha$.
III. У площині $\alpha$ можна провести лише одну пряму, паралельну прямій $b$.

А. лише I
Б. лише II
В. лише I і II
Г. лише II і III
Д. I, II і III

Відповідь

Правильна відповідь: В — лише I і II

Завдання 4

Укажіть ескіз графіка функції $y = x^3 - 1$.

Відповідь

Правильна відповідь: Г —

Завдання 5

Обчисліть $\dfrac{2^6\cdot 5^6}{10^4}$.

А. $10^{1{,}5}$
Б. $10^2$
В. $10^8$
Г. $10^9$
Д. $10^{10}$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $10^2$

Завдання 6

У трикутнику $ABC$: $\angle A = 65^\circ$, $BD$ – бісектриса кута $B$ (див. рисунок). Знайдіть градусну міру кута $BCA$, якщо $\angle ABD = 35^\circ$.

А. $35^\circ$
Б. $45^\circ$
В. $50^\circ$
Г. $55^\circ$
Д. $80^\circ$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $45^\circ$

Завдання 7

В арифметичній прогресії $(a_n)$ задано $a_1 = 4$, $a_2 = -1$. Укажіть формулу для знаходження $n$-го члена цієї прогресії.

А. $a_n = -1 + 5n$
Б. $a_n = 7 - 3n$
В. $a_n = 5 - n$
Г. $a_n = 1 + 3n$
Д. $a_n = 9 - 5n$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $a_n = 9 - 5n$

Завдання 8

На рисунку зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на проміжку $[-5;\,3]$. Укажіть проміжок, на якому функція $y = f(x)$ зростає.

А. $[0;\,3]$
Б. $[-1;\,2]$
В. $[1;\,3]$
Г. $[-3;\,3]$
Д. $[-5;\,1]$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $[-5;\,1]$

Завдання 9

Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} 2x + 5y = 5, \\ x - 2y = 7. \end{cases}$ Для одержаного розв'язку $(x_0;\,y_0)$ системи знайдіть суму $x_0 + y_0$.

А. $-18$
Б. 3
В. 4
Г. 8
Д. 12

Відповідь

Правильна відповідь: В — 4

Завдання 10

На діаграмі відображено нараховану фірмою загальну суму заробітної плати усім своїм працівникам у січні, лютому та березні 2011 року. У січні на фірмі працювали 15 співробітників, у лютому – 18, а в березні – 25. Як змінилася середня нарахована заробітна плата в цій фірмі в березні порівняно з січнем?

А. зменшилась більше ніж на 1000 грн
Б. зменшилась менше ніж на 1000 грн
В. не змінилась
Г. збільшилась менше ніж на 1000 грн
Д. збільшилась більше ніж на 1000 грн

Відповідь

Правильна відповідь: Г — збільшилась менше ніж на 1000 грн

Завдання 11

Знайдіть площу повної поверхні куба, діагональ якого дорівнює $2\sqrt{3}$ см.

А. 8 см²
Б. 16 см²
В. 20 см²
Г. 24 см²
Д. $36\sqrt{2}$ см²

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 24 см²

Завдання 12

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\sqrt{1 - x} = 4$.

А. $(-20;\,-10)$
Б. $(-10;\,-5)$
В. $(-5;\,5)$
Г. $(5;\,10)$
Д. $(10;\,20)$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $(-20;\,-10)$

Завдання 13

У координатній площині $xy$ зображено п'ять точок: $O$, $L$, $N$, $M$, $K$ (див. рисунок). Коло з центром в одній із цих точок дотикається до осі ординат у точці $M$. У якій точці знаходиться центр цього кола?

А. у точці $L$
Б. у точці $N$
В. у точці $M$
Г. у точці $O$
Д. у точці $K$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — у точці $N$

Завдання 14

Укажіть парну функцію.

А. $y = 4^x$
Б. $y = x$
В. $y = \sqrt{x}$
Г. $y = \operatorname{tg} x$
Д. $y = |x|$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $y = |x|$

Завдання 15

Менша сторона прямокутника дорівнює 16 м і утворює з його діагоналлю кут $60^\circ$. Середини всіх сторін прямокутника послідовно сполучено. Знайдіть площу утвореного чотирикутника.

А. $64\sqrt{3}$ м²
Б. $128\sqrt{3}$ м²
В. 128 м²
Г. 256 м²
Д. $256\sqrt{3}$ м²

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $128\sqrt{3}$ м²

Завдання 16

Розв'яжіть нерівність $2^x \leqslant 3$.

А. $(-\infty;\,\log_2 3]$
Б. $(0;\,\log_2 3]$
В. $\left(-\infty;\,\dfrac{3}{2}\right]$
Г. $(-\infty;\,\log_3 2]$
Д. $[\log_2 3;\,+\infty)$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $(-\infty;\,\log_2 3]$

Завдання 17

Переріз кулі площиною має площу $81\pi$ см². Знайдіть відстань від центра кулі до площини перерізу, якщо радіус кулі дорівнює 15 см.

А. 6 см
Б. 8 см
В. 9 см
Г. 12 см
Д. 15 см

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 12 см

Завдання 18

$\log_5 49 + 2\log_5 \dfrac{5}{7} =$

А. 25
Б. $\log_5 70$
В. $\log_5 49\dfrac{5}{7}$
Г. $\log_5 35$
Д. 2

Відповідь

Правильна відповідь: Д — 2

Завдання 19

Укажіть нерівність, що виконується для $\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2};\,\pi\right)$.

А. $1 - \sin^2\alpha < 0$
Б. $\cos\alpha\cdot\operatorname{tg}\alpha < 0$
В. $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha < 0$
Г. $1 - \cos^2\alpha < 0$
Д. $\sin\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha < 0$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $\sin\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha < 0$

Завдання 20

У трикутник $ABC$ вписано квадрат $KLMN$ (див. рисунок). Висота цього трикутника, проведена до сторони $AC$, дорівнює 6 см. Знайдіть периметр квадрата, якщо $AC = 10$ см.

А. 7,5 см
Б. 12,5 см
В. 17,5 см
Г. 15 см
Д. 20 см

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 15 см

Завдання 21

Установіть відповідність між фігурою (1–4) і тілом обертання (А – Д), яке утворено внаслідок обертання цієї фігури навколо прямої, зображеної пунктиром.

Фігура

фігура 1 (рівнобедрений трикутник)
фігура 2 (рівнобедрений трикутник)
фігура 3 (рівнобічна трапеція)
фігура 4 (рівнобічна трапеція)

Тіло обертання

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — А, 3 — В, 4 — Д

Завдання 22

У прямокутній системі координат на площині $xy$ задано точки $O(0;\,0)$ і $A(6;\,8)$. З точки $A$ на вісь $x$ опущено перпендикуляр. Точка $B$ – основа цього перпендикуляра. Установіть відповідність між величиною (1–4) та її числовим значенням (А – Д).

Величина

довжина вектора $\overrightarrow{OA}$
відстань від точки $A$ до осі $x$
ордината точки $B$
довжина радіуса кола, описаного навколо трикутника $OAB$

Числове значення

А. 0
Б. 5
В. 6
Г. 8
Д. 10

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Д, 2 — Г, 3 — А, 4 — Б

Завдання 23

Дві однакові автоматичні лінії виготовляють 16 т шоколадної глазурі за 4 дні. Установіть відповідність між запитанням (1–4) та правильною відповіддю на нього (А – Д). Уважайте, що кожна лінія виготовляє однакову кількість глазурі щодня.

Запитання

Скільки тонн шоколадної глазурі дві лінії виготовляють за 3 дні?
За скільки днів одна лінія виготовить 16 т шоколадної глазурі?
Скільки тонн шоколадної глазурі виготовить одна лінія за 2 дні?
Скільки таких ліній потрібно для виготовлення 48 т шоколадної глазурі за 4 дні?

Відповідь на запитання

А. 2
Б. 4
В. 6
Г. 8
Д. 12

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Д, 2 — Г, 3 — Б, 4 — В

Завдання 24

На рисунку зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на проміжку $[0;\,11]$ та диференційовної на проміжку $(0;\,11)$. Установіть відповідність між числом (1–4) та проміжком (А – Д), якому належить це число.

Число

$f(8)$
$f'(7)$
найменше значення функції $y = f(x)$ на її області визначення
$\displaystyle\int_1^3 f(x)\,dx$

Проміжок

А. $(-\infty;\,-2]$
Б. $(-2;\,-0{,}5]$
В. $(-0{,}5;\,2]$
Г. $(2;\,4]$
Д. $(4;\,+\infty)$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — В, 3 — А, 4 — Б

Завдання 25

Додатне число $A$ більше додатного числа $B$ у 3,8 раза. На скільки відсотків число $A$ більше за число $B$?

Відповідь

Правильна відповідь: 280

Завдання 26

Обчисліть значення виразу $\dfrac{a^2 - b^2}{a - b} - \dfrac{a^3 - b^3}{a^2 - b^2}$, якщо $a = 10{,}2$; $b = -0{,}2$.

Відповідь

Правильна відповідь: -0.204

Завдання 27

Розв'яжіть нерівність $\dfrac{3}{x - 2} + \dfrac{4}{x} \geqslant 1$. У відповіді запишіть суму всіх цілих її розв'язків.

Відповідь

Правильна відповідь: 34

Завдання 28

Знайдіть найменший додатний період функції $f(x) = 9 - 6\cos\left(20\pi x + 7\right)$.

Відповідь

Правильна відповідь: 0.1

Завдання 29

В автобусному парку налічується $n$ автобусів, шосту частину яких було обладнано інформаційними табло. Пізніше інформаційні табло встановили ще на 4 автобуси з наявних у парку. Після проведеного переобладнання навмання вибирають один з $n$ автобусів парку. Ймовірність того, що це буде автобус з інформаційним табло, становить 0,25. Визначте $n$. Уважайте, що кожен автобус обладнується лише одним табло.

Відповідь

Правильна відповідь: 48

Завдання 30

План паркової зони, обмеженої трикутником $ABC$, зображено на рисунку. Дуга $AB$ – велосипедна доріжка. Відомо, що дуга $AB$ є четвертою частиною кола радіуса 1,8 км. $CA$ і $CB$ – дотичні до цього кола ($A$ і $B$ – точки дотику). Обчисліть площу зображеної на плані паркової зони (у км²).

Відповідь

Правильна відповідь: 1.62

Завдання 31

На рисунку зображено графік функції $F(x) = x^2 + bx + c$, яка є первісною для функції $f(x)$. Визначте параметри $b$ і $c$, знайдіть функцію $f(x)$. У відповіді запишіть значення $f(-8)$.

Відповідь

Правильна відповідь: -22

Завдання 32

Основою піраміди $SABCD$ є трапеція $ABCD$ ($AD \parallel BC$), довжина середньої лінії якої дорівнює 5 см. Бічне ребро $SB$ перпендикулярне до площини основи піраміди і вдвічі більше від середньої лінії трапеції $ABCD$. Знайдіть відстань від середини ребра $SD$ до площини $SBC$ (у см), якщо об'єм піраміди дорівнює 210 см³.

Відповідь

Правильна відповідь: 6.3

Завдання 33

Знайдіть значення параметра $a$, при якому корінь рівняння $\lg(\sin 5\pi x) = \sqrt{16 + a - x}$ належить проміжку $\left(\dfrac{3}{2};\,2\right)$.

Відповідь

Правильна відповідь: -14.3

⏱ Пройти цей тест онлайн

Інші варіанти з математики

Завдання — офіційні матеріали Українського центру оцінювання якості освіти (testportal.gov.ua).