Офіційні завдання ЗНО 2021 року з математики — 38 завдань, 210 хв, максимум 46 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «На діаграмі відображено інформацію про кількість проданих телевізорів у супермаркеті побут…»
На діаграмі відображено інформацію про кількість проданих телевізорів у супермаркеті побутової техніки протягом перших шести місяців року. Яке з наведених тверджень є правильним?
А. найменшу кількість телевізорів продано у квітні
Б. у січні продано $240$ телевізорів
В. у березні продано телевізорів більше, ніж у лютому
Г. у червні продано менше трьохсот телевізорів
Відповідь
Правильна відповідь: В — у березні продано телевізорів більше, ніж у лютому
Завдання 2
Кожен із $40$ учасників семінару має бути забезпечений двома однаковими пляшками води. Укажіть найменшу кількість упаковок, кожна з яких містить $12$ пляшок води, яких вистачить для всіх учасників семінару.
А. $8$
Б. $7$
В. $6$
Г. $3$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $7$
Завдання 3
На рисунку зображено пряму трикутну призму. Її бічною гранню є
А. трикутник
Б. паралелограм, що не є прямокутником
В. відрізок
Г. прямокутник
Відповідь
Правильна відповідь: Г — прямокутник
Завдання 4
Розв'яжіть рівняння $x^2-8x+15=0.$
А. $3; 5$
Б. $-3; -5$
В. $-3; 5$
Г. $3; -5$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $3; 5$
Завдання 5
На рисунку зображено паралелограм $ABCD$, точка $B$ лежить на прямій $MC.$ Визначте градусну міру кута $CDA$, якщо $\angle MBA=25^\circ.$
А. $115^\circ$
Б. $65^\circ$
В. $175^\circ$
Г. $165^\circ$
Д. $155^\circ$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $155^\circ$
Завдання 6
На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[-1; 4].$ Укажіть поміж наведених координати точки, що належить цьому графіку.
А. $(2; 0)$
Б. $(0; 1)$
В. $(-2; 2)$
Г. $(4; -2)$
Д. $(-2; 4)$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $(4; -2)$
Завдання 7
$(\sqrt{2}-a)(\sqrt{2}+a)=$
А. $2-a$
Б. $2-a^2$
В. $\sqrt{2}-a^2$
Г. $2-\sqrt{a}$
Д. $\sqrt[4]{2}-a^2$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $2-a^2$
Завдання 8
Значення температури $\mathrm{F}$ за шкалою Фаренгейта пов'язане зі значенням температури $\mathrm{C}$ за шкалою Цельсія співвідношенням $\mathrm{F}=1\mathord{,}8\cdot \mathrm{C}+32.$ Скільки градусів показуватиме термометр зі шкалою Фаренгейта, якщо за таких самих умов термометр зі шкалою Цельсія показуватиме $50\ ^\circ\mathrm{C}$?
А. $-10\ ^\circ\mathrm{F}$
Б. $122\ ^\circ\mathrm{F}$
В. $10\ ^\circ\mathrm{F}$
Г. $41\ ^\circ\mathrm{F}$
Д. $932\ ^\circ\mathrm{F}$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $122\ ^\circ\mathrm{F}$
Завдання 9
Спростіть вираз $\frac{(2x^2)^3}{4x^9}.$
А. $\frac{2}{x^3}$
Б. $\frac{2}{x^4}$
В. $\frac{4}{x^3}$
Г. $\frac{3}{2x^4}$
Д. $\frac{1}{2x}$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $\frac{2}{x^3}$
Завдання 10
Які з наведених тверджень є правильними? І. Протилежні сторони будь-якого паралелограма рівні. ІІ. Довжина сторони будь-якого трикутника менша за суму довжин двох інших його сторін. ІІІ. Довжина сторони будь-якого квадрата вдвічі менша за його периметр.
А. лише І
Б. лише І та IІІ
В. лише І та ІІ
Г. лише ІІ та ІІI
Д. І, ІІ та ІІІ
Відповідь
Правильна відповідь: В — лише І та ІІ
Завдання 11
Розв'яжіть систему рівнянь $$\left\{\begin{array}{l} 10x-4y=26,\\ 6x+4y=6. \end{array}\right.$$ Для одержаного розв'язку $(x_0; y_0)$ обчисліть добуток $x_0\cdot y_0.$
А. $-3$
Б. $-6$
В. $4$
Г. $6$
Д. $3$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $-3$
Завдання 12
Укажіть похідну функції $f(x)=4x^3+\operatorname{tg}\ x.$
А. $f'(x)=12x^2+\frac{1}{\operatorname{tg}\ x}$
Б. $f'(x)=12x-\frac{1}{\operatorname{tg}\ x}$
В. $f'(x)=x^4+\frac{1}{\cos^2 x}$
Г. $f'(x)=12x^2+\frac{1}{\cos^2 x}$
Д. $f'(x)=x^4-\frac{1}{\operatorname{tg}\ x}$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $f'(x)=12x^2+\frac{1}{\cos^2 x}$
Площа бічної поверхні циліндра дорівнює $24\mathbf{\pi}$, а довжина кола його основи – $4\mathbf{\pi}.$ Визначте висоту цього циліндра.
А. $2$
Б. $3$
В. $4$
Г. $6$
Д. $8$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $6$
Завдання 16
На рисунку зображено поверхню повітряного змія, що складається з двох рівних прямокутних трикутників $AMB$ й $CNB$ та ромба $ABCD.$ Точки $A$ i $C$ належать відрізкам $DM$ i $DN$ відповідно. Гострий кут ромба дорівнює $60^\circ$, $BD=2$ м. Визначте площу поверхні (чотирикутника $MBND$) цього змія, якщо всі його елементи лежать в одній площині. Виберіть відповідь, найближчу до точної.
А. $1\mathord{,}5$ м$^2$
Б. $1\mathord{,}7$ м$^2$
В. $2\mathord{,}6$ м$^2$
Г. $3\mathord{,}4$ м$^2$
Д. $3\mathord{,}9$ м$^2$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $1\mathord{,}7$ м$^2$
Завдання 17
На рисунках (1-3) зображено графіки функцій, кожна з яких визначена на проміжку $[-3; 3].$ Установіть відповідність між графіком (1-3) функції та властивістю (А – Д) цієї функції.
Графік функції
Властивість функції
А. графік функції двічі перетинає графік функції $y=2^x$
Б. графік функції є фрагментом графіка функції $y=1-x$
В. графік функції є фрагментом графіка функції $y=1+x$
Г. функція є непарною
Д. функція зростає на проміжку $[0; 3]$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — А, 3 — Д
Завдання 18
Установіть відповідність між виразом (1–3) та твердженням про його значення (А – Д), яке є правильним, якщо $a=-0\mathord{,}6.$
Вираз
$a^2$
$|a|$
$\log_2(4+a)$
Твердження про значення виразу
А. дорівнює дробу $\frac 35$
Б. є від'ємним не цілим числом
В. належить проміжку $[0; 0\mathord{,}5]$
Г. є цілим числом
Д. більше за $1$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — В, 2 — А, 3 — Д
Завдання 19
У прямокутник $ABCD$ вписано рівнобедрений трикутник $AKD$ так, як показано на рисунку. $AD=12$ см, $AK=10$ см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
Довжина сторони $AB$ дорівнює
Радіус кола, описаного навколо прямокутника $ABCD$, дорівнює
Довжина середньої лінії трапеції $ABKD$ дорівнює
Закінчення речення
А. $2\sqrt{13}$ см.
Б. $8$ см.
В. $9$ см.
Г. $4\sqrt{13}$ см.
Д. $4$ см.
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — А, 3 — В
Завдання 20
На рисунку зображено прямокутний паралелепіпед $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
Пряма $BD$
Пряма $A_1C_1$
Площина $ABC_1$
Закінчення речення
А. паралельна площині $ABC$.
Б. належить площині $ABC$.
В. перпендикулярна до площини $ABC$.
Г. паралельна прямій $CD$.
Д. перпендикулярна до прямої $CD$.
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — А, 3 — Г
Завдання 21.1
3a $800$ г борошна фабрики «Колос» заплатили $16$ грн $56$ коп., а за $1$ кг борошна фабрики «Хлібна» – $18$ грн. 1. Скільки гривень коштує $1$ кг борошна фабрики «Колос»? 2. На скільки відсотків $1$ кг борошна фабрики «Колос» дорожчий за $1$ кг борошна фабрики «Хлібна»? Запишіть відповідь до частини 1.
Відповідь
Правильна відповідь: 20.7
Завдання 21.2
(Умова завдання 21.) Запишіть відповідь до частини 2.
Відповідь
Правильна відповідь: 15
Завдання 22.1
На колі із центром у точці $O$ вибрано точки $A$, $B$ й $C$ так, що $\angle ACB=15^\circ$ (див. рисунок). Довжина меншої дуги $AB$ кола дорівнює $8\mathbf{\pi}$ см. 1. Визначте градусну міру центрального кута $AOB$, що спирається на меншу дугу $AB.$ 2. Визначте радіус цього кола (у см). Запишіть відповідь до частини 1.
Відповідь
Правильна відповідь: 30
Завдання 22.2
(Умова завдання 22.) Запишіть відповідь до частини 2.
Відповідь
Правильна відповідь: 48
Завдання 23.1
У прямокутній системі координат у просторі задано точки $A(-7; 4; -3)$ i $B(17; -4; 3).$ Точка $C$ є серединою відрізка $AB.$ 1. Визначте абсцису точки $C.$ 2. Обчисліть довжину (модуль) вектора $\overrightarrow{AC}.$ Запишіть відповідь до частини 1.
Відповідь
Правильна відповідь: 5
Завдання 23.2
(Умова завдання 23.) Запишіть відповідь до частини 2.
Відповідь
Правильна відповідь: 13
Завдання 24.1
В арифметичній прогресії $(a_n)$ відомо, що $a_2=1$, $a_4=9.$ 1. Визначте різницю цієї прогресії. 2. Обчисліть суму $S_{20}$ двадцяти перших членів цієї прогресії. Запишіть відповідь до частини 1.
Відповідь
Правильна відповідь: 4
Завдання 24.2
(Умова завдання 24.) Запишіть відповідь до частини 2.
Відповідь
Правильна відповідь: 700
Завдання 25
У шухляді лежать лише олівці та ручки. Відомо, що олівців на $12$ менше, ніж ручок. Скільки олівців лежить у шухляді, якщо ймовірність вибрати навмання iз шухляди одну ручку дорівнює $\frac 58$?
Відповідь
Правильна відповідь: 18
Завдання 26
Велосипедист витратив $2$ години на дорогу з міста $A$ до міста $B.$ Мотоцикліст виїхав з міста $A$ на півтори години пізніше за велосипедиста, але прибув у місто $B$ одночасно з велосипедистом. Визначте відстань (у км) між містами $A$ та $B$, якщо швидкість мотоцикліста на $48$ км/год більша за швидкість велосипедиста. Уважайте, що велосипедист та мотоцикліст рухалися з міста $A$ до міста $B$ тією самою дорогою зі сталими швидкостями та без зупинок.
Відповідь
Правильна відповідь: 32
Завдання 27
Обчислить значення виразу $$\frac{\log_527}{\log_52-\log_5162}.$$
Відповідь
Правильна відповідь: -0.75
Завдання 28
Розв'яжіть рівняння $|5-4x|=3.$ Якщо рівняння має єдиний корінь, то запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповіді запишіть їхню суму.
Відповідь
Правильна відповідь: 2.5
Завдання 29
Туристичне бюро запропонувало Ганні відвідати на вихідний три міста. Ганна дізналася з Інтернету, що в кожному з них є $10$ цікавих туристичних об'єктів. Дівчина планує вибрати для поїздки лише одне місто і відвідати в ньому чотири цікавих об'єкти. Скільки всього в Ганни є варіантів вибору міста й чотирьох таких об'єктів у ньому? Уважайте, що порядок відвідування об'єктів неважливий.
Відповідь
Правильна відповідь: 630
Завдання 30
Задано функцію $y=\sqrt{x}-2.$ 1. Для наведених у таблиці значень $x$ та $y$ заданої функції визначте відповідні їм значення $y$ та $x.$ Результати запишіть у таблицю.
$x$
$y$
$0$
$0$
$9$
2. Побудуйте графік функції $y=\sqrt{x}-2.$ 3. Позначте на рисунку точки перетину графіка функції з осями координат та укажіть координати цих точок. 4. Знайдіть одну з первісних $F(x)$ для функції $f(x)=\sqrt{x}-2.$ 5. Запишіть формулу для обчислення площі $S$ фігури, обмеженої графіком функції $f$ та осями координат. 6. Обчисліть площу $S$ цієї фігури.
Розв'язання
1. $x=0\Rightarrow y=-2$; $y=0\Rightarrow x=4$; $x=9\Rightarrow y=1$. 2–3. Перетин з осями: $(4;\,0)$ і $(0;\,-2)$ (див. рисунок). 4. $F(x)=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}-2x$. 5. $S=\displaystyle\int_0^4\left(2-\sqrt{x}\right)dx$. 6. $S=8-\dfrac{16}{3}=\dfrac{8}{3}$.
Завдання 31
У правильній чотирикутній піраміді $SABCD$ з основою $ABCD$ бічне ребро утворює з площиною основи кут $\mathbf{\beta}.$ Довжина бічного ребра дорівнює $12.$ 1. Зобразіть на рисунку правильну чотирикутну піраміду $SABCD$ тa позначте кут $\mathbf{\beta}$ між бічним ребром $SA$ та площиною основи піраміди. 2. Визначте довжину висоти піраміди. 3. Знайдіть об'єм піраміди $SABCD.$
Відповідно до умови завдання 31: 1. Зобразіть на рисунку правильну чотирикутну піраміду $SABCD$ тa укажіть лінійний кут $\mathbf{\gamma}$ двогранного кута при ребрі основи цієї піраміди. Обґрунтуйте його положення. 2. Визначте кут $\mathbf{\gamma}.$
Доведіть, що $x^4+y^4\ge x^3y+xy^3$ для всіх дійсних чисел $x$ та $y.$
Розв'язання
Завдання на доведення — фінальної відповіді немає; оцінюється повнота й правильність міркувань.
Завдання 34
Задано рівняння $$(25x+2a\cdot 5^x+a^2)\cdot \sqrt{\frac{x+8}{x+3}-2}=0,$$ де $x$ – змінна, $a$ – стала. 1. Розв'яжіть рівняння $$\sqrt{\frac{x+8}{x+3}-2}=0.$$ 2. Розв'яжіть задане рівняння залежно від значень $a.$
Розв'язання
1. $2.$ 2. при $a\in (-\infty; -25]\cup \left[-\frac{1}{125}; +\infty\right)\ \ x=2.$ при $a\in\left(-25; -\frac{1}{125}\right)\ \ x=2$, $x=\log_5(-a).$
