ЗНО 2020 з математики · основна сесія

Офіційні завдання ЗНО 2020 року з математики — 38 завдань, 210 хв, максимум 48 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2} =…»

⏱ Пройти як на ЗНО Тренування з перевіркою

Завдання 1

$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2} =$

А. $-9$
Б. $-\dfrac{1}{9}$
В. $-\dfrac{1}{6}$
Г. $\dfrac{1}{9}$
Д. 9

Відповідь

Правильна відповідь: Д — 9

Завдання 2

Прямі $l$, $m$ і $n$ лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $\alpha$.

А. $110^\circ$
Б. $50^\circ$
В. $60^\circ$
Г. $70^\circ$
Д. $80^\circ$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $70^\circ$

Завдання 3

Копіювальна машина робить 3 копії за 4 секунди. Яку максимальну кількість копій можна одержати за 1 хвилину?

А. 45
Б. 60
В. 75
Г. 80
Д. 120

Відповідь

Правильна відповідь: А — 45

Завдання 4

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $\dfrac{5x + 8}{3} = 1$?

А. 1
Б. 0
В. 3
Г. $-2$
Д. $-1$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $-1$

Завдання 5

Сума довжин усіх ребер куба дорівнює 72 см. Визначте довжину одного ребра цього куба.

А. 6 см
Б. 8 см
В. 9 см
Г. 12 см
Д. 18 см

Відповідь

Правильна відповідь: А — 6 см

Завдання 6

На рисунку зображено графік функції $y = f(x)$, визначеної на проміжку $[-2;\,4]$. Укажіть нуль цієї функції.

А. $x = -2$
Б. $x = 0$
В. $x = 1$
Г. $x = 2$
Д. $x = 4$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $x = 1$

Завдання 7

Розв'яжіть рівняння $x^2 - 4x + 3 = 0$.

А. $-4;\ 3$
Б. $1;\ 3$
В. $-3;\ -1$
Г. $-2;\ 3$
Д. $-1;\ 4$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $1;\ 3$

Завдання 8

На вершину гори ведуть 5 доріг. Скільки всього є варіантів вибору маршруту підйому на вершину гори однією дорогою, а спуску – іншою?

А. 5
Б. 9
В. 10
Г. 20
Д. 25

Відповідь

Правильна відповідь: Г — 20

Завдання 9

Які з наведених тверджень є правильними?
I. Діагоналі будь-якого ромба ділять його кути навпіл.
II. Діагоналі будь-якого чотирикутника точкою перетину діляться навпіл.
III. Діагоналі будь-якого квадрата перпендикулярні.

А. лише I
Б. I, II та III
В. лише III
Г. лише I та II
Д. лише I та III

Відповідь

Правильна відповідь: Д — лише I та III

Завдання 10

На якому з рисунків зображено ескіз графіка функції $y = (0{,}5)^x$?

Відповідь

Правильна відповідь: Б —

Завдання 11

Радіус основи конуса дорівнює $r$, твірна – $l$. Твірна утворює з висотою конуса кут $60^\circ$ (див. рисунок). Визначте $\dfrac{r}{l}$.

А. $\dfrac{r}{l} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Б. $\dfrac{r}{l} = \dfrac{1}{2}$
В. $\dfrac{r}{l} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$
Г. $\dfrac{r}{l} = 2$
Д. $\dfrac{r}{l} = \sqrt{3}$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $\dfrac{r}{l} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Завдання 12

Розкладіть вираз $(x + y)^2 - 9x^2$ на множники.

А. $(-8x + y)(10x + y)$
Б. $(-2x - y)(4x - y)$
В. $(-2x + y)(4x + y)$
Г. $(4x + y)^2$
Д. $(-2x + y)^2$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $(-2x + y)(4x + y)$

Завдання 13

Графік довільної функції $y = f(x)$ паралельно перенесли вздовж осі $y$ на 3 одиниці вниз. Графік якої з наведених функцій отримали?

А. $y = f(x + 3)$
Б. $y = f(x) + 3$
В. $y = 3f(x)$
Г. $y = f(x) - 3$
Д. $y = f(x - 3)$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $y = f(x) - 3$

Завдання 14

Спростіть вираз $(1 + \operatorname{tg}^2\alpha)\sin^2\alpha$.

А. $\dfrac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha}$
Б. 1
В. $\cos^2\alpha\sin^2\alpha$
Г. $\cos^2\alpha$
Д. $\operatorname{tg}^2\alpha$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $\operatorname{tg}^2\alpha$

Завдання 15

Розв'яжіть систему нерівностей $\begin{cases} 6 > 2x, \\ 7x - 28 \leqslant 0. \end{cases}$

А. $(-\infty;\,3)$
Б. $(3;\,4]$
В. $(-\infty;\,-3)$
Г. $(-3;\,4]$
Д. $(-\infty;\,4]$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $(-\infty;\,3)$

Завдання 16

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\log_{64} x = \dfrac{1}{2}$.

А. $(-\infty;\,0]$
Б. $(0;\,1]$
В. $(1;\,6]$
Г. $(6;\,32)$
Д. $[32;\,+\infty)$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $(6;\,32)$

Завдання 17

Скільки всього цілих чисел містить інтервал $(\sqrt{8};\,\sqrt{81})$?

А. 8
Б. 7
В. 6
Г. 5
Д. 4

Відповідь

Правильна відповідь: В — 6

Завдання 18

На рисунку зображено прямокутник і трикутник, що є гранями правильної трикутної призми. Периметр цього прямокутника дорівнює 38 см. Визначте площу основи цієї призми, якщо довжина висоти призми дорівнює 11 см.

А. $16\sqrt{3}$ см²
Б. $32\sqrt{3}$ см²
В. 24 см²
Г. 64 см²
Д. $24\sqrt{3}$ см²

Відповідь

Правильна відповідь: А — $16\sqrt{3}$ см²

Завдання 19

Каркас колеса огляду складається з двох однакових кіл, до яких прикріплено 18 кабінок на однаковій відстані одна від одної, та ребер (радіусів кіл), що з'єднують місця прикріплення кабінок та центри кіл (див. рисунок). Довжина кожного ребра дорівнює 27 м. Визначте довжину дуги $\overset{\frown}{AB}$ кола із центром у точці $O$. Укажіть відповідь, найближчу до точної. Товщиною каркасу знехтуйте.

А. 12,6 м
Б. 9,5 м
В. 5,4 м
Г. 4,6 м
Д. 3,2 м

Відповідь

Правильна відповідь: Б — 9,5 м

Завдання 20

Функція $F(x) = 5x^4 - 1$ є первісною функції $f(x)$. Укажіть функцію $G(x)$, яка також є первісною функції $f(x)$.

А. $G(x) = x^5 - x$
Б. $G(x) = 5x^4 - x$
В. $G(x) = 20x^3$
Г. $G(x) = 5x^4 + 1$
Д. $G(x) = x^4 - 5$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $G(x) = 5x^4 + 1$

Завдання 21

До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

Функція $y = \sqrt{x - 4}$
Функція $y = x + 4$
Функція $y = x^3$

Закінчення речення

А. спадає на проміжку $(-\infty;\,+\infty)$.
Б. не визначена в точці $x = 1$.
В. є парною.
Г. набуває додатного значення в точці $x = -3$.
Д. є непарною.

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — Г, 3 — Д

Завдання 22

Установіть відповідність між виразом (1–3) та тотожно рівним йому виразом (А – Д), якщо $a$ – довільне від'ємне число.

Вираз

$a^0$
$|a| + a$
$a\log_2 2^a$

Тотожно рівний вираз

А. 0
Б. $2a$
В. $a^2$
Г. 1
Д. $-2a$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — А, 3 — В

Завдання 23

Бічні сторони $AB$ та $CD$ прямокутної трапеції $ABCD$ дорівнюють 6 см і 10 см відповідно. Менша діагональ трапеції лежить на бісектрисі її прямого кута (див. рисунок). Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною (А – Д).

Відрізок

основа $BC$
проекція сторони $CD$ на пряму $AD$
середня лінія трапеції $ABCD$

Довжина відрізка

А. 6 см
Б. 8 см
В. $10\sqrt{2}$ см
Г. 10 см
Д. 14 см

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — А, 2 — Б, 3 — Г

Завдання 24

Установіть відповідність між вимірами циліндра (1–3) та правильним щодо нього твердженням (А – Д).

Виміри циліндра

радіус основи дорівнює 6, висота – 4
радіус основи дорівнює 2, висота – 6
радіус основи дорівнює 4, висота – 6

Твердження щодо циліндра

А. циліндр утворено обертанням прямокутника зі сторонами 4 та 6 навколо більшої сторони
Б. площа основи циліндра дорівнює $12\pi$
В. твірна циліндра дорівнює 4
Г. площа бічної поверхні циліндра дорівнює $24\pi$
Д. об'єм циліндра дорівнює $48\pi$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — В, 2 — Г, 3 — А

Завдання 25.1

Вартість оренди автомобіля бюджетного класу складається з основної плати та додаткової плати за понаднормовий пробіг. За перевищення норми пробігу (50 км за одну добу) нараховують додаткову плату в розмірі 6 грн за кожен понаднормовий кілометр. Пробіг автомобіля, орендованого на 6 діб, становить 420 км.
1. Яку суму грошей $P$ (у грн) становитиме додаткова плата за понаднормовий пробіг орендованого автомобіля?

Відповідь

Правильна відповідь: 720

Завдання 25.2

(Умова завдання 25.) 2. Основна плата за оренду автомобіля є фіксованою й становить 400 грн за кожну добу. Скільки відсотків від основної плати за 6 діб становить сума грошей $P$?

Відповідь

Правильна відповідь: 30

Завдання 26.1

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$ та два кола, що мають зовнішній дотик. Коло із центром у точці $O_1$ дотикається сторін $AB$, $BC$ та $AD$, а коло із центром у точці $O_2$ проходить через вершини $C$ та $D$. Відстані від точки $O_2$ до вершини $C$ та сторони $CD$ дорівнюють 20 см та 12 см відповідно.
1. Визначте радіус меншого кола (у см).

Відповідь

Правильна відповідь: 16

Завдання 26.2

(Умова завдання 26.) 2. Обчисліть площу трикутника $DO_1C$ (у см²).

Відповідь

Правильна відповідь: 768

Завдання 27.1

В арифметичній прогресії $(a_n)$ відомо, що $a_2 - a_5 = 7{,}8$.
1. Визначте різницю $d$ цієї прогресії.

Відповідь

Правильна відповідь: -2.6

Завдання 27.2

(Умова завдання 27: $a_2 - a_5 = 7{,}8$.) 2. Визначте перший член $a_1$ цієї прогресії, якщо її третій член $a_3 = -1{,}8$.

Відповідь

Правильна відповідь: 3.4

Завдання 28

Човен проплив 18 км проти течії річки, витративши вдвічі менше часу, ніж на подолання 48 км за течією. Власна швидкість човна є сталою. Визначте власну швидкість човна (у км/год), якщо швидкість течії дорівнює 2,5 км/год.

Відповідь

Правильна відповідь: 17.5

Завдання 29

У першому рядку таблиці наведено значення температури повітря, яку вимірювали на метеостанції через кожні 3 години впродовж доби. У другому рядку зазначено частоту фіксувань відповідного значення температури впродовж доби. За даними метеостанції визначте середню температуру (у °С) протягом цієї доби.

Температура, °С	12	15	17	18
Частота фіксувань	1	4	2	1

Відповідь

Правильна відповідь: 15.5

Завдання 30

Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 12 см, апофема – 13 см. Обчисліть об'єм (у см³) цієї піраміди.

Відповідь

Правильна відповідь: 400

Завдання 31

Для участі в роботі студентської ради з кожної з двох груп навмання вибирають по 1 студенту. Серед 24 студентів першої групи проживають у гуртожитку 6 студентів, а серед 28 студентів другої групи – 14 студентів. Яка ймовірність того, що обидва вибрані для роботи в раді студенти будуть з тих, хто проживає в гуртожитку?

Відповідь

Правильна відповідь: 0.125

Завдання 32

У прямокутній системі координат $xy$ на площині коло задано рівнянням $x^2 - 4x + y^2 + 12y = 9$. Центр $O$ цього кола збігається з точкою перетину діагоналей паралелограма $ABCD$. Визначте координати вершини $C(x_C;\,y_C)$, якщо вектор $\overrightarrow{OA}(-1;\,2)$. У відповіді запишіть добуток $x_C \cdot y_C$.

Відповідь

Правильна відповідь: -24

Завдання 33

Задано функції $f(x) = 1$ та $g(x) = \sin x$. Завдання (1–3) виконайте на одному рисунку.
1. Побудуйте графік функції $f$.
2. Побудуйте графік функції $g$ на проміжку $\left[-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right]$.
3. Позначте на рисунку точку, що є спільною для обох побудованих графіків функцій $f$ і $g$, і запишіть її координати.
4. Знайдіть множину всіх коренів рівняння $f(x) = g(x)$ на інтервалі $(-\infty;\,+\infty)$.

Розв'язання

3. $\left(\dfrac{\pi}{2};\,1\right)$.
4. $\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n,\ n \in Z$.

Завдання 34

У прямокутному паралелепіпеді $ABCDA_1B_1C_1D_1$ через сторону $AD$ нижньої основи й середину ребра $B_1C_1$ проведено площину $\gamma$. Висота паралелепіпеда дорівнює 18, грань $CC_1D_1D$ є квадратом. Діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут $\alpha$.
1. Побудуйте переріз паралелепіпеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ площиною $\gamma$.
2. Укажіть вид перерізу та обґрунтуйте свій висновок.
3. Визначте площу перерізу.

Розв'язання

3. $S = \dfrac{324}{\operatorname{tg}\alpha} \cdot \sqrt{2(1 - \operatorname{tg}^2\alpha)}$ або $S = \dfrac{324}{\sin\alpha} \cdot \sqrt{2\cos 2\alpha}$.

Завдання 35

Задано рівняння $(5^{2x + 1} - 25^x - 20)\left(\sqrt{ax - 6} - \sqrt{a - 2x}\right) = 0$, де $x$ – змінна, $a$ – стала.
1. Розв'яжіть рівняння $5^{2x + 1} - 25^x - 20 = 0$.
2. Розв'яжіть задане рівняння залежно від значень $a$.

Розв'язання

1. $x = 0{,}5$.
2. Якщо $a \in (-\infty;\,-2\sqrt{3}) \cup [-2;\,2\sqrt{3})$, то рівняння коренів не має;
якщо $a \in [-2\sqrt{3};\,-2) \cup [2\sqrt{3};\,12)$, то $x = \dfrac{a + 6}{a + 2}$;
якщо $a \in [12;\,+\infty)$, то $x \in \left\{0{,}5;\ \dfrac{a + 6}{a + 2}\right\}$.

⏱ Пройти цей тест онлайн

Інші варіанти з математики

Завдання — офіційні матеріали Українського центру оцінювання якості освіти (testportal.gov.ua).