ЗНО 2020 з математики · пробний тест

Офіційні завдання ЗНО 2020 року з математики — 38 завдань, 210 хв, максимум 48 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «Відстань між Києвом та Стокгольмом дорівнює 1265 км . Округліть її до сотень кілометрів.…»

⏱ Пройти як на ЗНО Тренування з перевіркою

Завдання 1

Відстань між Києвом та Стокгольмом дорівнює $1265$ км. Округліть її до сотень кілометрів.

А. $1000$ км
Б. $1200$ км
В. $1260$ км
Г. $1270$ км
Д. $1300$ км

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $1300$ км

Завдання 2

Довжини сторін $AB$ та $BC$ прямокутника $ABCD$ відносяться як $2:5$, а його периметр дорівнює $28$ см. Визначте довжину більшої сторони цього прямокутника.

А. $10$ см
Б. $20$ см
В. $7$ см
Г. $14$ см
Д. $8$ см

Відповідь

Правильна відповідь: А — $10$ см

Завдання 3

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $\frac x2+\frac x3=2$?

А. $0\mathord{,}4$
Б. $1\mathord{,}2$
В. $2\mathord{,}4$
Г. $5$
Д. $12$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $2\mathord{,}4$

Завдання 4

Сума довжин усіх бічних ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює $120$ см. Визначте довжину його висоти.

А. $15$ см
Б. $30$ см
В. $40$ см
Г. $60$ см
Д. $10$ см

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $30$ см

Завдання 5

$\frac{3x^2y}{9xy^3}=$

А. $27x^3y^4$
Б. $\frac{x^3y^4}{3}$
В. $\frac{3x}{y^2}$
Г. $\frac{x^3}{3y^4}$
Д. $\frac{x}{3y^2}$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $\frac{x}{3y^2}$

Завдання 6

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[-3; 3].$ Одна з наведених точок, абсциса якої є від’ємним числом, а ордината – додатним, належить цьому графіку. Укажіть цю точку.

А. $(2; -2)$
Б. $(-1; 2)$
В. $(-3; -2)$
Г. $(-2; 2)$
Д. $(1; 2)$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $(-1; 2)$

Завдання 7

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $x^3=-0\mathord{,}027.$

А. $(-9; -0\mathord{,}5)$
Б. $(-0\mathord{,}5; 0\mathord{,}25)$
В. $(-0\mathord{,}25; 0)$
Г. $(0; 0\mathord{,}25)$
Д. $(0\mathord{,}25; 9)$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $(-0\mathord{,}5; 0\mathord{,}25)$

Завдання 8

Укажіть формулу для обчислення площі $S$ бічної поверхні циліндра, довжина кола основи якого дорівнює $l$, а висота – $h.$

А. $S=\frac lh$
Б. $S=2lh$
В. $S=lh^2$
Г. $S=lh$
Д. $S=\frac hl$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $S=lh$

Завдання 9

Якщо $x=t-2$, то $x^2-t^2=$

А. $4-2t$
Б. $4-4t$
В. $4$
Г. $-4t-4$
Д. $2t^2+4$

Відповідь

Правильна відповідь: Б — $4-4t$

Завдання 10

У кіоску продають морозиво $12$ різних видів, з них $4$ види – з горіхами, решта – фруктові. Яка ймовірність того, що вибраний навмання покупцем один вид морозива буде фруктовим?

А. $\frac 16$
Б. $\frac 18$
В. $\frac 23$
Г. $\frac{1}{12}$
Д. $\frac 13$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $\frac 23$

Завдання 11

Кінетичну енергію $E$ тіла масою $m$, яке рухається зі швидкістю $v$, обчислюють за формулою $E=\frac{mv^2}{2}.$ Виразіть $m$ із цієї формули.

А. $m=\frac{2E}{v^2}$
Б. $m=\frac{v^2}{2E}$
В. $m=\frac{E}{2v^2}$
Г. $m=\frac{2v^2}{E}$
Д. $m=\frac{2}{Ev^2}$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $m=\frac{2E}{v^2}$

Завдання 12

Які з наведених тверджень є правильними?
I. Бічні сторони будь-якої трапеції паралельні.
II. Сума кутів, прилеглих до бічної сторони будь-якої трапеції, дорівнює $180^\circ.$
III. Сума протилежних кутів будь-якої трапеції дорівнює $180^\circ.$

А. лише І
Б. лише ІI
В. лише І i ІІ
Г. лише ІI i ІІI
Д. I, II i III

Відповідь

Правильна відповідь: Б — лише ІI

Завдання 13

На якому рисунку зображено ескіз графіка функції $y=3^x$?

Відповідь

Правильна відповідь: Г —

Завдання 14

Розв’яжіть рівняння $4+\log_{\frac 12}x=0.$

А. $\frac{1}{16}$
Б. $-\frac{1}{16}$
В. $2$
Г. $\frac 18$
Д. $16$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $16$

Завдання 15

Якщо $2\cos\mathbf{\alpha}-5\sin\mathbf{\alpha}=0$, то $\operatorname{tg}\ \mathbf{\alpha}=$

А. $\frac 25$
Б. $-\frac 25$
В. $-3$
Г. $-\frac 52$
Д. $\frac 52$

Відповідь

Правильна відповідь: А — $\frac 25$

Завдання 16

Розв’яжіть систему нерівностей $$\left\{\begin{array}{l} -x\gt -3,\\ 2x+5\gt 0. \end{array}\right.$$

А. $(-2\mathord{,}5; +\infty)$
Б. $(-3; +\infty)$
В. $(3; +\infty)$
Г. $(2\mathord{,}5; 3)$
Д. $(-2\mathord{,}5; 3)$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $(-2\mathord{,}5; 3)$

Завдання 17

Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює $24$, апофема утворює з площиною основи піраміди кут $45^\circ.$ Визначте довжину сторони основи цієї піраміди.

А. $24$
Б. $16\sqrt{3}$
В. $24\sqrt{2}$
Г. $48$
Д. $48\sqrt{2}$

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $48$

Завдання 18

Укажіть область значень функції $y=2\cos x+3.$

А. $[0; 3]$
Б. $[-5; 5]$
В. $[1; 5]$
Г. $[3; 5]$
Д. $(-\infty; +\infty)$

Відповідь

Правильна відповідь: В — $[1; 5]$

Завдання 19

Функція $F(x)=2x^3-1$ є первісною функції $f(x).$ Укажіть функцію $f(x).$

А. $f(x)=6x^2-1$
Б. $f(x)=6x-1$
В. $f(x)=4x^2$
Г. $f(x)=\frac{x^4}{2}-x$
Д. $f(x)=6x^2$

Відповідь

Правильна відповідь: Д — $f(x)=6x^2$

Завдання 20

На рисунку зображено автомобільний тунель, поперечний переріз $ABCD$ якого утворено хордою $BC$, діаметром $AD$ та двома рівними дугами $\overset{\smile}{AB}$ й $\overset{\smile}{DC}$ кола із центром у точці $O$. Хорду $BC$ довжиною $6$ м видно із центра $O$ під кутом $90^\circ.$ У тунелі прокладено дорогу з двома смугами руху транспорту однакової ширини, розділювальною смугою шириною $0\mathord{,}4$ м та двома технічними смугами завширшки $0\mathord{,}8$ м кожна. Визначте ширину однієї смуги руху транспорту. Укажіть відповідь, найближчу до точної.

А. $1\mathord{,}8$ м
Б. $2$ м
В. $3$ м
Г. $3\mathord{,}2$ м
Д. $3\mathord{,}4$ м

Відповідь

Правильна відповідь: Г — $3\mathord{,}2$ м

Завдання 21

Установіть відповідність між функцією (1–3) та її властивістю (А – Д)

Функція

$y=x^2+3$
$y=2x-5$
$y=\frac 3x$

Властивість функції

А. графік функції симетричний відносно осі $y$
Б. графік функції розташований лише в першій координатній чверті
В. функція набуває від’ємного значення в точці $x=2\mathord{,}4$
Г. графік функції проходить через початок координат
Д. графік функції симетричний відносно початку координат

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — А, 2 — В, 3 — Д

Завдання 22

На координатній осі $x$ вибрано точку з координатою $a$ так, як зображено на рисунку. Установіть відповідність між виразом (1–3) та точкою на осі $x$ (А – Д), координата якої дорівнює значенню цього виразу.

Вираз

$-2a$
$3^a$
$|a-1|$

Точка на осі $x$

А. $M$
Б. $L$
В. $P$
Г. $K$
Д. $N$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — В, 3 — А

Завдання 23

Довжина сторони ромба $ABCD$ дорівнює $8$, $\angle B=60^\circ.$ Установіть відповідність між величиною (1–3) та її значенням (А – Д).

Величина

довжина діагоналі $AC$
довжина висоти ромба $ABCD$
відстань від точки $A$ до центра кола, яке вписане в ромб

Значення величини

А. $4$
Б. $4\sqrt{3}$
В. $8$
Г. $8\sqrt{3}$
Д. $8\sqrt{2}$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — В, 2 — Б, 3 — А

Завдання 24

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Установіть відповідність між початком речення (1–3) та його закінченням (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

Точка $C_1$ симетрична точці $A_1$ відносно площини
Пряма $AD$ паралельна площині
Пряма $CC_1$ є прямою перетину площин $(BB_1C_1)$ та

Закінчення речення

А. $(AA_1B_1).$
Б. $(DD_1C_1).$
В. $(A_1B_1C_1).$
Г. $(AA_1D_1).$
Д. $(BB_1D_1).$

Відповідь

Правильна відповідь: 1 — Д, 2 — В, 3 — Б

Завдання 25.1

Сім’я за оренду двох велосипедів для батьків та одного велосипеда для дитини заплатила $1200$ грн. Вартість оренди одного велосипеда для дорослих в $1\mathord{,}5$ раза більша за вартість оренди одного велосипеда для дитини.
1. Визначте вартість (у грн) оренди велосипеда для дитини.
2. Оренда шолома та пари рукавичок становить $15\ \%$ від вартості оренди велосипеда для дитини. Скільки гривень ця сім’я заплатить за користування трьома шоломами та трьома парами рукавичок?
Запишіть відповідь до частини 1.

Відповідь

Правильна відповідь: 300

Завдання 25.2

(Умова завдання 25.) Запишіть відповідь до частини 2.

Відповідь

Правильна відповідь: 135

Завдання 26.1

У паралелограмі $ABCD$ з вершини тупого кута $B$ проведено висоти $BK$ та $BM$ (див. рисунок). $BK=16$ см, $AK=12$ см, $BM=24$ см.

1. Визначте довжину сторони $AB$ (у см).
2. Обчисліть площу (у см$^2$) паралелограма $ABCD.$
Запишіть відповідь до частини 1.

Відповідь

Правильна відповідь: 20

Завдання 26.2

(Умова завдання 26.) Запишіть відповідь до частини 2.

Відповідь

Правильна відповідь: 480

Завдання 27.1

Добуток другого та четвертого членів геометричної прогресії дорівнює $36.$ Усі члени цієї прогресії є додатними.
1. Визначте третій член цієї прогресії.
2. Визначте перший член цієї прогресії, якщо він удвічі більший за другий її член.
Запишіть відповідь до частини 1.

Відповідь

Правильна відповідь: 6

Завдання 27.2

(Умова завдання 27.) Запишіть відповідь до частини 2.

Відповідь

Правильна відповідь: 24

Завдання 28

Андрій у понеділок, вівторок та п’ятницю витрачав по $16$ грн на день, у середу й четвер – по $11$ грн на день, у суботу – $35$ грн, а в неділю грошей не витрачав.
Скільки гривень витрачав Андрій у середньому на день цього тижня?

Відповідь

Правильна відповідь: 15

Завдання 29

Рекламна пауза на телевізійному каналі триває $15$ хвилин. За цей час показують по одному разу $10$ рекламних роликів однакової тривалості та трейлер фільму. Відомо, що якби цей трейлер показували на початку й наприкінці рекламної паузи, то решти часу вистачило б якраз на показ $8$ таких рекламних роликів. Скільки секунд триває показ трейлера цього фільму? Уважайте, що між показами рекламних роликів та трейлера фільму немає пауз.

Відповідь

Правильна відповідь: 150

Завдання 30

Визначте довжину твірної конуса (у см), якщо його об’єм дорівнює $800\mathbf{\pi}$ см$^3$, а площа основи – $100\mathbf{\pi}$ см$^2.$

Відповідь

Правильна відповідь: 26

Завдання 31

Довідкову інформацію промовляють почергово по одному разу п’ятьма мовами: українською, англійською, німецькою, російською та польською. Скільки всього є варіантів послідовностей озвучування цієї інформації цими п’ятьма мовами, якщо спочатку її промовляють українською?

Відповідь

Правильна відповідь: 24

Завдання 32

У прямокутній системі координат $xy$ на площині задано рівнобедрений трикутник $ACB$, у якому $AC=BC$, $A(2; -5)$, $B(4; 3).$ Навколо цього трикутника описано коло, задане рівнянням $(x-3)^2+y^2+2y=16.$ Визначте площу трикутника $ABC$.

Відповідь

Правильна відповідь: 17

Завдання 33

Задано функції $f(x)=3-\frac x4$ та $g(x)=\log_2 x.$
Завдання (1–3) виконайте на одному рисунку.
1. Побудуйте графік функції $f.$
2. Побудуйте графік функції $g.$
3. Позначте точку перетину графіків функцій $f$ і $g$ та запишіть її координати.
4. Скориставшись рисунком, розв’яжіть нерівність $f(x)\ge g(x).$

Розв'язання

3. $(4; 2).$
4. $x\in (0; 4].$

Завдання 34

Задано правильну трикутну призму $ABCA_1B_1C_1$, основою якої є трикутник $ABC.$ Висота призми дорівнює $H$, діагональ бічної грані нахилена до площини основи під кутом $\mathbf{\alpha}.$ Через висоту $BK$ трикутника $ABC$ та вершину $C_1$ проведено площину $\mathbf{\gamma}.$
1. Побудуйте переріз призми $ABCA_1B_1C_1$ площиною $\mathbf{\gamma}.$
2. Визначте вид перерізу й обґрунтуйте свій висновок.
3. Визначте площу перерізу.

Розв'язання

$\frac{\sqrt{3}H^2}{8}\sqrt{4+\operatorname{ctg}^2\mathbf{\alpha}}\cdot \operatorname{ctg}\ \mathbf{\alpha}.$

Завдання 35

Задано рівняння $\frac{(x-\sqrt{x}-2)(a^2-16)}{2^x-a}=0$, де $x$ – змінна,
$a$ – стала.
1. Розв'яжіть рівняння $x-\sqrt{x}-2=0.$
2. Розв'яжіть задане рівняння залежно від значень $a.$

Розв'язання

1. $x=4$.
2. якщо $a\in (-\infty; -4)\cup (-4; 4)\cup (4; 16)\cup (16; +\infty)$, $x=4$;
якщо $a=-4$, $x\in [0; +\infty)$;
якщо $a=4$, $x\in [0; 2)\cup (2; +\infty)$;
якщо $a=16$, $x\in \varnothing$ (рівняння не має коренів).

⏱ Пройти цей тест онлайн

Інші варіанти з математики

Завдання — офіційні матеріали Українського центру оцінювання якості освіти (testportal.gov.ua).