ЗНО 2021 з математики · пробний тест

Офіційні завдання ЗНО 2021 року з математики — 38 завдань, 210 хв, максимум 46 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «Група з 15 школярів у супроводі трьох дорослих планує автобусну екскурсію в заповідник. Ор…»

⏱ Пройти як на ЗНО Тренування з перевіркою

Завдання 1

Група з 15 школярів у супроводі трьох дорослих планує автобусну екскурсію в заповідник. Оренда автобуса для екскурсії коштує 800 грн. Вартість вхідного квитка в заповідник становить 20 грн для школяра й 50 грн – для дорослого. Якої мінімальної суми грошей достатньо для проведення цієї екскурсії?
  1. А. 1050 грн
  2. Б. 1150 грн
  3. В. 1250 грн
  4. Г. 870 грн
Відповідь
Правильна відповідь: В — 1250 грн

Завдання 2

Рисунок до завдання 2
На рисунку зображено графік залежності шляху $S$ (у км), пройденого групою туристів, від часу $t$ (у год). Яке з наведених тверджень є правильним?
  1. А. Зупинка тривала 4 години.
  2. Б. До зупинки туристи пройшли 20 км.
  3. В. Після зупинки туристи пройшли більшу відстань, ніж до зупинки.
  4. Г. Туристи зробили зупинку через 4 години після початку руху.
Відповідь
Правильна відповідь: Г — Туристи зробили зупинку через 4 години після початку руху.

Завдання 3

Сума довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнює 60 см. Визначте суму довжин усіх ребер цього паралелепіпеда.
  1. А. 360 см
  2. Б. 240 см
  3. В. 180 см
  4. Г. 120 см
Відповідь
Правильна відповідь: Б — 240 см

Завдання 4

Розв’яжіть рівняння $\frac{x}{10}=2,5.$
  1. А. 0,25
  2. Б. 4
  3. В. 12,5
  4. Г. 25
Відповідь
Правильна відповідь: Г — 25

Завдання 5

Рисунок до завдання 5
На рисунку зображено трапецію $ABCD$. Визначте градусну міру кута $BCD$, якщо $\angle ADB=35^\circ, \angle BDC = 20^\circ$.
  1. А. 125°
  2. Б. 165°
  3. В. 155°
  4. Г. 145°
  5. Д. 140°
Відповідь
Правильна відповідь: А — 125°

Завдання 6

Рисунок до завдання 6
На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку [–2; 4]. Укажіть точку екстремуму цієї функції.
  1. А. $x_0=-2$
  2. Б. $x_0=-1$
  3. В. $x_0=1$
  4. Г. $x_0=3$
  5. Д. $x_0=4$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $x_0=-1$

Завдання 7

$(a-4)^2-a^2=$
  1. А. $-8a+16$
  2. Б. $8a+16$
  3. В. $16$
  4. Г. $-4a+16$
  5. Д. $-4a+8$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $-8a+16$

Завдання 8

Період $T$ електромагнітних коливань у коливальному контурі, що складається з послідовно з’єднаних конденсатора ємністю $C$ й котушки з індуктивністю $L$, обчислюють за формулою Томсона $T=2\mathbf{\pi}\sqrt{LC}$. Визначте із цієї формули індуктивність $L$.
  1. А. $L=\frac{T}{2\mathbf{\pi}C}$
  2. Б. $L=\frac{2\mathbf{\pi}C}{T}$
  3. В. $L=\frac 1C\sqrt{\frac{T}{2\mathbf{\pi}}}$
  4. Г. $L=\frac{4\mathbf{\pi}^2C}{T^2}$
  5. Д. $L=\frac{T^2}{4\mathbf{\pi}^2C}$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $L=\frac{T^2}{4\mathbf{\pi}^2C}$

Завдання 9

$$\frac{15^3}{3^2}=$$
  1. А. 5
  2. Б. 15
  3. В. 125
  4. Г. 375
  5. Д. 675
Відповідь
Правильна відповідь: Г — 375

Завдання 10

Які з наведених тверджень є правильними?
I. Діагоналі будь-якого паралелограма рівні.
II. Протилежні кути будь-якого паралелограма рівні.
III. Відстані від точки перетину діагоналей будь-якого паралелограма до його протилежних сторін рівні.
  1. А. лише ІІ
  2. Б. лише І і ІІІ
  3. В. І, ІІ, ІІІ
  4. Г. лише І і ІІ
  5. Д. лише ІІ і ІІІ
Відповідь
Правильна відповідь: Д — лише ІІ і ІІІ

Завдання 11

Розв’яжіть систему рівнянь $$\left\{ \begin{array}{l} 6(x+5)+10y=3,\\ 2x=y+4. \end{array} \right.$$ Для одержаного розв’язку $(x_0;\ y_0)$ укажіть суму $x_0+y_0$.
  1. А. –2,5
  2. Б. –3,5
  3. В. 3,5
  4. Г. 6,5
  5. Д. –1,5
Відповідь
Правильна відповідь: А — –2,5

Завдання 12

Укажіть похідну функції $f(x)=\dfrac{2x-3}{x}$.
  1. А. $f'(x)=\dfrac{3}{x^2}$
  2. Б. $f'(x)=\dfrac 3x$
  3. В. $f'(x)=\dfrac{4x-3}{x^2}$
  4. Г. $f'(x)=-\dfrac{3}{x^2}$
  5. Д. $f'(x)=2$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $f'(x)=\dfrac{3}{x^2}$

Завдання 13

Розв’яжіть нерівність $4\cdot 3^x\lt 3^x +6$.
  1. А. $(-\infty; \log_9 6)$
  2. Б. $(-\infty; \log_2 3)$
  3. В. $(-\infty; 2)$
  4. Г. $(-\infty; 1)$
  5. Д. $(-\infty; \log_3 2)$
Відповідь
Правильна відповідь: Д — $(-\infty; \log_3 2)$

Завдання 14

Спростіть вираз $2\cos(450^\circ + \mathbf{\alpha})-\sin \mathbf{\alpha}$.
  1. А. $\sin\mathbf{\alpha}$
  2. Б. $-3\sin\mathbf{\alpha}$
  3. В. $-2\cos\mathbf{\alpha}-\sin\mathbf{\alpha}$
  4. Г. $2\cos\mathbf{\alpha}-\sin\mathbf{\alpha}$
  5. Д. $3\sin\mathbf{\alpha}$
Відповідь
Правильна відповідь: Б — $-3\sin\mathbf{\alpha}$

Завдання 15

Бісектриса кута $A$ прямокутника $ABCD$ перетинає сторону $BC$ в точці $K$. Обчисліть площу чотирикутника $AKCD$, якщо $BK=KC=8\ \text{см}$.
  1. А. $48\ \text{см}^2$
  2. Б. $72\ \text{см}^2$
  3. В. $96\ \text{см}^2$
  4. Г. $128\ \text{см}^2$
  5. Д. $192\ \text{см}^2$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $96\ \text{см}^2$

Завдання 16

Рисунок до завдання 16
Цукерку циліндричної форми висотою 10 см і радіусом основи 1 см запаковано в коробку, що має форму правильної трикутної призми (див. рисунок). Основи циліндра вписано у відповідні основи призми. Основи коробки (призми) виготовлено з поліетилену, а всі її бічні грані – з паперу. Визначте площу паперу, витраченого на виготовлення такої коробки. Укажіть відповідь, найближчу до точної. Витратами паперу на з’єднання граней коробки знехтуйте.
  1. А. $55\ \text{см}^2$
  2. Б. $75\ \text{см}^2$
  3. В. $105\ \text{см}^2$
  4. Г. $115\ \text{см}^2$
  5. Д. $135\ \text{см}^2$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $105\ \text{см}^2$

Завдання 17

Установіть відповідність між початком речення (1 3) і його закінченням (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
  1. Графік функції $y=-x^3$
  2. Графік функції $y=\sqrt{x}$
  3. Графік функції $y=\cos x$
Закінчення речення
  1. А. розміщено лише в першій і другій координатних чвертях.
  2. Б. має з графіком рівняння $x^2+y^2=9$ лише одну спільну точку.
  3. В. симетричний відносно осі $y$.
  4. Г. симетричний відносно початку координат.
  5. Д. не має спільних точок із графіком рівняння $x=0$.
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — Б, 3 — В

Завдання 18

Рисунок до завдання 18
Установіть відповідність між початком речення (1–3) і його закінченням (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
  1. Трикутник, у якого центри вписаного й описаного кіл збігаються, зображено на
  2. Трикутник, один із внутрішніх кутів якого дорівнює 30°, зображено на
  3. Трикутник, у якого радіус описаного кола більший за 5 см, зображено на
Закінчення речення
  1. А. рис. 1.
  2. Б. рис. 2.
  3. В. рис. 3.
  4. Г. рис. 4.
  5. Д. рис. 5.
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — А, 2 — В, 3 — Д

Завдання 19

Установіть відповідність між виразом (1–3) і проміжком (А – Д), якому належить значення цього виразу, якщо $a=4,5$.
Вираз
  1. $a-2,7$
  2. $\sqrt[3]{3,5-a}$
  3. $\log_5 a$
Проміжок
  1. А. $(-2; 0)$
  2. Б. $(0; 1)$
  3. В. $(1; 2)$
  4. Г. $(2; 3)$
  5. Д. $(3; 5)$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — В, 2 — А, 3 — Б

Завдання 20

Довжина кола основи конуса дорівнює $36\mathbf{\pi}$, твірна нахилена до площини основи під кутом 30°. Установіть відповідність між відрізком (1–3) і його довжиною (А – Д).
Відрізок
  1. радіус основи конуса
  2. висота конуса
  3. радіус сектора, що є розгорткою бічної поверхні конуса
Довжина відрізка
  1. А. $6\sqrt{3}$
  2. Б. $18$
  3. В. $12\sqrt{3}$
  4. Г. $6$
  5. Д. $36$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Б, 2 — А, 3 — В

Завдання 21.1

Автомобіль двічі заправляли пальним і щоразу по 40 л. Ціна пального, використаного під час першого заправлення, становила 20 грн за 1 л. Порівняно з нею ціна пального, використаного для другого заправлення, була більшою на 2,5 %.
1. Скільки гривень коштував 1 л пального, використаного для другого заправлення?
2. Скільки всього витрачено грошей (у грн) за ці два заправлення автомобіля пальним?
Запишіть відповідь до частини 1.
Відповідь
Правильна відповідь: 20.5

Завдання 21.2

(Умова завдання 21.) Запишіть відповідь до частини 2.
Відповідь
Правильна відповідь: 1620

Завдання 22.1

У ромб $ABCD$ вписано квадрат $KLMN$, сторона $KL$ якого перетинає діагональ $AC$ в точці $P$ (див. рисунок). $AL=10\ \text{см},\ AP=8\ \text{см}$.

1. Обчисліть довжину сторони квадрата $KLMN$ (у см).
2. Обчисліть довжину діагоналі $BD$ ромба $ABCD$ (у см).
Запишіть відповідь до частини 1.
Відповідь
Правильна відповідь: 12

Завдання 22.2

(Умова завдання 22.) Запишіть відповідь до частини 2.
Відповідь
Правильна відповідь: 21

Завдання 23.1

У прямокутній системі координат у просторі початком вектора $\overrightarrow{AB}(9;\ 12;\ -8)$ є точка $A(3;\ -7;\ 11)$.
1. Визначте ординату точки $B$.
2. Обчисліть модуль вектора $\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}$.
Запишіть відповідь до частини 1.
Відповідь
Правильна відповідь: 5

Завдання 23.2

(Умова завдання 23.) Запишіть відповідь до частини 2.
Відповідь
Правильна відповідь: 51

Завдання 24.1

Суму $n$ перших членів арифметичної прогресії $(a_n)$ задано формулою: $$S_n=\frac{5,2-0,8n}{2}\cdot n.$$
1. Визначте суму перших шести членів цієї прогресії.
2. Визначте четвертий член цієї прогресії.
Запишіть відповідь до частини 1.
Відповідь
Правильна відповідь: 1.2

Завдання 24.2

(Умова завдання 24.) Запишіть відповідь до частини 2.
Відповідь
Правильна відповідь: -0.2

Завдання 25

Рисунок до завдання 25
На діаграмі відображено інформацію про результати складання письмового заліку студентами певної групи. Комісія з якості освіти розпочинає перевірку відповідності виставлених оцінок змісту залікових робіт студентів і відбирає для перевірки декілька робіт навмання. Яка ймовірність того, що першою буде відібрано роботу з оцінкою $D$? Отриману відповідь округліть до сотих.
Відповідь
Правильна відповідь: 0.13

Завдання 26

Тривалість зеленого сигналу світлофора на 15 с довша за тривалість червоного сигналу й у дванадцять разів довша за тривалість жовтого сигналу. Яка тривалість (у с) червоного сигналу, якщо тривалість зеленого сигналу відноситься до сумарної тривалості червоного й жовтого сигналів як 3 до 2?
Відповідь
Правильна відповідь: 21

Завдання 27

Обчисліть $$\frac{\sqrt{18-8\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{9+4\sqrt{2}}.$$
Відповідь
Правильна відповідь: 7

Завдання 28

Розв’яжіть рівняння $x+4|x|=3$. Якщо рівняння має єдиний корінь, запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповіді запишіть їхню суму.
Відповідь
Правильна відповідь: -0.4

Завдання 29

На курсах з вивчення іноземних мов як бонус запропоновано два безкоштовні заняття, одне з яких проводитимуть дистанційно, а друге – в аудиторії. Тему кожного з цих двох занять слухач може вибрати самостійно з 10 запропонованих. Скільки всього існує способів вибору форм проведення цих двох занять та різних тем до них?
Відповідь
Правильна відповідь: 90

Завдання 30

Задано функцію $y=2x+8$.
1. Для наведених у таблиці значень аргументу $x$ і значень функції $y$ визначте відповідні їм значення $y$ та $x$.
$x$ $y$
$0$
$0$
$9$
2. Запишіть координати точки $M$ перетину графіка заданої функції з віссю $x$.
3. Знайдіть загальний вигляд первісних функції $f(x)=2x+8$.
4. Знайдіть первісну $F(x)$ функції $f$, графік якої проходить через точку $M$.
5. Побудуйте графік функції $F$.
6. Визначте область значень функції $G(x)=3\cdot F(x)+1$.
Розв'язання
1. $x=0\Rightarrow y=8$; $y=0\Rightarrow x=-4$; $x=9\Rightarrow y=26$.
2. $M(-4;\,0)$.
3. $F(x)=x^2+8x+C$.
4. $0=16-32+C$, $C=16$: $F(x)=x^2+8x+16=(x+4)^2$.
5. Парабола з вершиною $(-4;\,0)$, вітки вгору (див. рисунок).
6. $F(x)\ge 0\Rightarrow G(x)=3F(x)+1\ge 1$: $E(G)=[1;\,+\infty)$.
Розв'язання

Завдання 31

У правильній чотирикутній піраміді $SABCD$ плоский кут при вершині $S$ піраміди дорівнює $\mathbf{\beta}$. Довжина апофеми піраміди дорівнює 6.
1. Зобразіть на рисунку задану піраміду й позначте кут $\mathbf{\beta}$.
2. Визначте довжину сторони основи піраміди $SABCD$.
3. Визначте об’єм піраміди $SABCD$.
Розв'язання
2. $12\operatorname{tg}\frac{\mathbf{\beta}}{2}$
3. $\frac{288\operatorname{tg}^2\frac{\mathbf{\beta}}{2}\sqrt{\cos\mathbf{\beta}}}{\cos\frac{\mathbf{\beta}}{2}}$

Завдання 32

У правильній чотирикутній піраміді $SABCD$ плоский кут при вершині $S$ піраміди дорівнює $\mathbf{\beta}$. Довжина апофеми піраміди дорівнює 6.
1. Зобразіть на рисунку задану піраміду й укажіть лінійний кут $\mathbf{\gamma}$ двогранного кута при її бічному ребрі. Обґрунтуйте його положення.
2. Визначте кут $\mathbf{\gamma}$.
Розв'язання
$2\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2}\cos\frac{\mathbf{\beta}}{2}}\right)$.

Завдання 33

Доведіть тотожність
$1-8\sin^2x\cos^2x-2\cos^22x=\frac{x^3-1}{x^2+x+1}-x$.
Розв'язання
Завдання на доведення — фінальної відповіді немає; оцінюється повнота й правильність міркувань.

Завдання 34

Задано рівняння $$\frac{(x-2)\cdot (x^2-3(a-1)x+2a^2-3a)}{\log_{0,5}(3-2x)+2}=0,$$ де $x$ – змінна, $a$ – стала.
1. Запишіть множину допустимих значень змінної $x$.
2. Розв’яжіть задане рівняння залежно від значень $a$.
Розв'язання
якщо $a\in(-\infty;\ -0,5)\cup (-0,5;\ 1,25)\cup (1,25;\ 1,5)\ x\in \left\{a;\ 2a-3\right\}$, якщо $a\in \left\{-0,5\right\}\cup [1,5;\ 2,25)\ x=2a-3$,
якщо $a=1,25\ x=a$,
якщо $a\in [2,25;\ +\infty)\ x\in \varnothing$.
⏱ Пройти цей тест онлайн

Інші варіанти з математики

Завдання — офіційні матеріали Українського центру оцінювання якості освіти (testportal.gov.ua).