Офіційні завдання ЗНО 2016 року з математики — 35 завдань, 180 хв, максимум 48 балів. Відповідь до кожного завдання — під кнопкою «Відповідь». Перше завдання: «На рисунку зображено прямі m і n, що перетинаються. Визначте градусну міру кута \gamma, як…»
У прямокутній декартовій системі координат у просторі на осі $z$ вибрано точку $M$ (див. рисунок). Серед наведених варіантів укажіть можливі координати цієї точки.
А. $(1;\,0;\,0)$
Б. $(1;\,1;\,0)$
В. $(0;\,0;\,1)$
Г. $(0;\,0;\,-1)$
Д. $(0;\,1;\,0)$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $(0;\,0;\,1)$
Завдання 9
Задано арифметичну прогресію $(a_n)$, у якій різниця $d = 0{,}5$, п'ятнадцятий член $a_{15} = 12$. Визначте перший член прогресії $a_1$.
А. 24
Б. 12,5
В. 6
Г. 5
Д. 4,5
Відповідь
Правильна відповідь: Г — 5
Завдання 10
На рисунку жирними точками позначено річні мінімуми площі поверхні арктичного льоду, що спостерігалися в період з 2004 р. по 2014 р. (для наочності точки з'єднано відрізками). По горизонталі відмічено роки, а по вертикалі – площу поверхні льоду (у млн км2). Користуючись наведеною інформацією, визначте із вказаного періоду рік, у якому величина річного мінімуму площі поверхні льоду змінилась найбільше порівняно з попереднім роком.
А. 2006 р.
Б. 2007 р.
В. 2009 р.
Г. 2012 р.
Д. 2013 р.
Відповідь
Правильна відповідь: Д — 2013 р.
Завдання 11
Прямі $a$ та $b$ мимобіжні. Які з наведених тверджень є правильними? I. Прямі $a$ та $b$ перетинаються. II. Прямі $a$ та $b$ лежать в одній площині. III. Існує пряма, паралельна прямій $a$, що перетинає пряму $b$.
А. лише I
Б. лише II
В. лише I та II
Г. лише III
Д. I, II та III
Відповідь
Правильна відповідь: Г — лише III
Завдання 12
Якому проміжку належить число $\sqrt[3]{18}$?
А. $[0;\,1)$
Б. $[1;\,2)$
В. $[2;\,3)$
Г. $[3;\,4)$
Д. $[4;\,+\infty)$
Відповідь
Правильна відповідь: В — $[2;\,3)$
Завдання 13
$\log_2 5 + \log_2 1{,}6 =$
А. 3
Б. 3,3
В. 0,25
Г. 4
Д. $\log_2 6{,}6$
Відповідь
Правильна відповідь: А — 3
Завдання 14
Екрани телевізорів, зображених на рис. 1 і 2, мають форму прямокутників, відповідні сторони яких пропорційні. Діагоналі екранів цих телевізорів дорівнюють відповідно 32 дюйма і 48 дюймів. Визначте, у скільки разів площа екрана телевізора, зображеного на рис. 2, більша за площу екрана телевізора, зображеного на рис. 1.
А. в 1,5 раза
Б. у 16 разів
В. у 2,56 раза
Г. у 4 рази
Д. у 2,25 раза
Відповідь
Правильна відповідь: Д — у 2,25 раза
Завдання 15
Обчисліть значення виразу $4\sin^2\alpha$, якщо $4\cos^2\alpha = 1$.
А. 3
Б. $\dfrac{3}{4}$
В. $\dfrac{1}{4}$
Г. 4
Д. 0
Відповідь
Правильна відповідь: А — 3
Завдання 16
Використовуючи формулу Ньютона – Лейбніца, обчисліть $\displaystyle\int_1^2 6x^2\,dx$.
А. 12
Б. 14
В. 18
Г. 22
Д. 42
Відповідь
Правильна відповідь: Б — 14
Завдання 17
Визначте об'єм правильної трикутної призми, бічні грані якої є квадратами, а периметр основи дорівнює 12.
А. $16\sqrt{3}$
Б. 64
В. 48
Г. $64\sqrt{3}$
Д. 576
Відповідь
Правильна відповідь: А — $16\sqrt{3}$
Завдання 18
Яка з наведених парабол може бути графіком функції $y = x^2 + px + q$, якщо рівняння $x^2 + px + q = 0$ не має дійсних коренів?
А.
Б.
В.
Г.
Д.
Відповідь
Правильна відповідь: Д —
Завдання 19
Розв'яжіть рівняння $3\cdot\dfrac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{3}$.
А. $\dfrac{\pi}{6} + \pi n,\ n \in Z$
Б. $\dfrac{\pi}{3} + \pi n,\ n \in Z$
В. $\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n,\ n \in Z$
Г. $\pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n,\ n \in Z$
Д. $\dfrac{\pi}{9} + \dfrac{\pi n}{3},\ n \in Z$
Відповідь
Правильна відповідь: А — $\dfrac{\pi}{6} + \pi n,\ n \in Z$
Завдання 20
Розв'яжіть нерівність $\log_3 x < -1$.
А. $\left(\dfrac{1}{3};\,+\infty\right)$
Б. $\left(-\infty;\,\dfrac{1}{3}\right)$
В. $\left(-\dfrac{1}{3};\,0\right)$
Г. $\left(0;\,\dfrac{1}{3}\right)$
Д. $(-\infty;\,-3)$
Відповідь
Правильна відповідь: Г — $\left(0;\,\dfrac{1}{3}\right)$
Завдання 21
На рисунках (1–5) зображено графіки функцій, визначених на відрізку $[-3;\,3]$. До кожного запитання (1–4) доберіть правильну відповідь (А – Д).
Запитання
На якому рисунку зображено графік функції, що проходить через точку $(1;\,0)$?
На якому рисунку зображено графік парної функції?
На якому рисунку зображено графік функції, що має дві спільні точки з графіком функції $y = \log_{\frac{1}{3}} x$?
На якому рисунку зображено графік функції, що зростає на відрізку $[-2;\,3]$?
Відповідь
А. рис. 1
Б. рис. 2
В. рис. 3
Г. рис. 4
Д. рис. 5
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — А, 2 — Б, 3 — Г, 4 — В
Завдання 22
Установіть відповідність між числовим виразом (1–4) та його значенням (А – Д), якщо $a = \dfrac{25}{4}$.
Вираз
$\dfrac{2a}{3}$
$\dfrac{1}{a}$
$|9 - 2a|$
$a^{\frac{1}{2}}$
Значення виразу
А. $\dfrac{4}{25}$
Б. $2\dfrac{1}{2}$
В. $-3\dfrac{1}{2}$
Г. $3\dfrac{1}{2}$
Д. $4\dfrac{1}{6}$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Д, 2 — А, 3 — Г, 4 — Б
Завдання 23
На рисунку зображено коло з центром у точці $O$, радіус якого дорівнює 6. Хорду $BC$ видно з центра кола під кутом $60^\circ$, $BK$ – діаметр. Через точку $A$ до кола проведено дотичну $AB$, причому $AO = 2AB$. Установіть відповідність між відрізком (1–4) та його довжиною (А – Д).
Відрізок
$BK$
$AB$
$BC$
$CK$
Довжина відрізка
А. 6
Б. $2\sqrt{3}$
В. 12
Г. $6\sqrt{3}$
Д. $3\sqrt{3}$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — В, 2 — Б, 3 — А, 4 — Г
Завдання 24
Установіть відповідність між геометричним тілом (1–4) та площею його повної поверхні (А – Д).
Геометричне тіло
циліндр з радіусом основи 3 та висотою 4
конус з радіусом основи 3 та твірною 5
куб з ребром $\sqrt{3\pi}$
куля радіуса $2\sqrt{3}$
Площа повної поверхні
А. $18\pi$
Б. $24\pi$
В. $36\pi$
Г. $42\pi$
Д. $48\pi$
Відповідь
Правильна відповідь: 1 — Г, 2 — Б, 3 — А, 4 — Д
Завдання 25.1
У бібліотеці є лише підручники, словники, довідники та книги з художньої літератури. Відсотковий розподіл кількості цих книг у бібліотеці відображено на діаграмі. 1. Визначте загальну кількість книг у цій бібліотеці, якщо кількість підручників дорівнює 84.
Відповідь
Правильна відповідь: 700
Завдання 25.2
(Умова завдання 25.) 2. Скільки потрібно придбати додатково підручників, щоб отримана після цього їхня сумарна кількість відносилася до кількості довідників як 4 : 1?
Відповідь
Правильна відповідь: 140
Завдання 26.1
На рисунку зображено квадрат $ABCD$, сторона якого дорівнює 12. На сторонах $AD$ і $BC$ квадрата вибрано точки $K$ і $M$ так, що $AK = 4$, $MC = 3$. 1. Визначте відстань між серединами відрізків $AB$ і $KM$.
Відповідь
Правильна відповідь: 6.5
Завдання 26.2
(Умова завдання 26.) 2. Обчисліть довжину відрізка $KM$.
Відповідь
Правильна відповідь: 13
Завдання 27
Обчисліть значення похідної функції $y = \sqrt{13 - 3x}$ у точці $x_0 = 3$.
Відповідь
Правильна відповідь: -0.75
Завдання 28
У готелі для проживання туристів є одномісні, двомісні та тримісні номери. Їх всього 124. Якщо всі номери в готелі заповнені, то одночасно в ньому проживає 255 туристів. Скільки всього в цьому готелі тримісних номерів, якщо кількість одномісних номерів дорівнює кількості двомісних номерів?
Відповідь
Правильна відповідь: 46
Завдання 29
У прямокутній системі координат на площині задано паралелограм $ABCD$, $\cos A = 0{,}44$. Визначте довжину діагоналі $BD$ паралелограма, якщо скалярний добуток векторів $\overrightarrow{AB}(6;\,-8)$ і $\overrightarrow{AD}$ дорівнює 88.
Відповідь
Правильна відповідь: 18
Завдання 30
У чайному кіоску в наявності є лише розфасований у коробки по 100 г листовий чорний чай 8 видів, серед яких є вид «чорна перлина». Покупець вирішив придбати в цьому кіоску для подарункового набору три коробки чорного чаю трьох різних видів, серед яких обов'язково повинен бути вид «чорна перлина». Скільки всього в покупця є варіантів такого придбання трьох коробок чаю для набору з наявних у кіоску?
Відповідь
Правильна відповідь: 21
Завдання 31
Побудуйте графік функції $y = \dfrac{x^2 - x - 2}{|x + 1|}$. Користуючись графіком, визначте область значень цієї функції.
Розв'язання
Область значень: $(-3;\,+\infty)$.
Завдання 32
Основою піраміди $SABCD$ є ромб $ABCD$, більша діагональ якого $AC = 30$. Грань $SBC$ є рівнобедреним трикутником ($SB = SC$) і перпендикулярна до площини основи піраміди. Ребро $SC$ нахилено до площини основи піраміди під кутом $30^\circ$. Визначте кут між площинами $(SAD)$ і $(ABC)$, якщо висота піраміди дорівнює 5.
Розв'язання
$\operatorname{arctg}\dfrac{1}{3}$.
Завдання 33
Розв'яжіть рівняння $\dfrac{\sqrt{x^2 + (4a - 4)x + 4a^2} - 2\sqrt{2a}}{5\cdot 5^{2x} - 5^{a + x} - 5^{a - 1} + 5^x} = 0$ залежно від значень параметра $a$.
Розв'язання
Рівняння не має змісту, якщо $a \in (-\infty;\,0)$; $x = -2a;\ 4 - 2a$, якщо $a \in \left[0;\,\dfrac{1}{3}\right) \cup \left(\dfrac{1}{3};\,1\dfrac{2}{3}\right) \cup \left(1\dfrac{2}{3};\,+\infty\right)$; $x = -3\dfrac{1}{3}$, якщо $a = 1\dfrac{2}{3}$; $x = 3\dfrac{1}{3}$, якщо $a = \dfrac{1}{3}$.
